Steinerova věta nebo věta o paralelních osách pro výpočet momentu setrvačnosti

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-17 05:20

Při matematickém popisu rotačního pohybu je důležité znát moment setrvačnosti systému vůči ose. V obecném případě postup pro zjištění této veličiny zahrnuje implementaci integračního procesu. Výpočet usnadňuje tzv. Steinerova věta. Podívejme se na to podrobněji v článku.

Co je moment setrvačnosti?

Před formulací Steinerovy věty je nutné se zabývat samotným pojmem moment setrvačnosti. Předpokládejme, že existuje nějaké těleso určité hmotnosti a libovolného tvaru. Tímto tělesem může být buď hmotný bod, nebo jakýkoli dvourozměrný či trojrozměrný předmět (tyč, válec, koule atd.). Pokud daný objekt vykonává kruhový pohyb kolem nějaké osy s konstantním úhlovým zrychlením α, pak lze napsat následující rovnici:

M=Iα

Hodnota M zde představuje celkový moment sil, který udává zrychlení α celému systému. Koeficient úměrnosti mezi nimi - I, se nazývámoment setrvačnosti. Tato fyzikální veličina se vypočítá pomocí následujícího obecného vzorce:

I=∫_m (r²dm)

Zde r je vzdálenost mezi prvkem o hmotnosti dm a osou rotace. Tento výraz znamená, že je nutné najít součet součinů druhých mocnin vzdáleností r² a elementární hmotnosti dm. To znamená, že moment setrvačnosti není čistou charakteristikou těla, což jej odlišuje od lineární setrvačnosti. Závisí to na rozložení hmoty v objektu, který se otáčí, stejně jako na vzdálenosti k ose a na orientaci těla vůči ní. Například tyč bude mít jiné I, pokud se otočí kolem těžiště a kolem konce.

Moment setrvačnosti a Steinerův teorém

Slavný švýcarský matematik Jakob Steiner dokázal větu o rovnoběžných osách a momentu setrvačnosti, který nyní nese jeho jméno. Tato věta předpokládá, že moment setrvačnosti pro absolutně jakékoli tuhé těleso libovolné geometrie vzhledem k nějaké ose rotace je roven součtu momentu setrvačnosti kolem osy, která protíná těžiště tělesa a je rovnoběžná s první. a součin hmotnosti těla krát čtverec vzdálenosti mezi těmito osami. Matematicky je tato formulace zapsána následovně:

I_Z=I_O + ml²

I_Z a I_O - momenty setrvačnosti kolem osy Z a osy O rovnoběžné s ní, které prochází těžištěm tělesa, l - vzdálenost mezi přímkami Z a O.

Věta umožňuje při znalosti hodnoty I_O vypočítatjakýkoli jiný okamžik I_Z kolem osy, která je rovnoběžná s O.

Důkaz teorému

Vzorec Steinerovy věty můžete snadno získat sami. K tomu uvažujme libovolné těleso v rovině xy. Nechť počátek souřadnic prochází těžištěm tohoto tělesa. Vypočítejme moment setrvačnosti I_O, který prochází počátkem kolmo k rovině xy. Protože vzdálenost k libovolnému bodu tělesa je vyjádřena vzorcem r=√ (x² + y²), dostaneme integrál:

I_O=∫_m (r²dm)=∫ m _((x2^+y2^{) dm)}

Posuňme nyní osu rovnoběžně s osou x o vzdálenost l, například v kladném směru, potom bude výpočet pro novou osu momentu setrvačnosti vypadat takto:

I_Z=∫_m(((x+l)²+y ²)dm)

Rozšiřte celý čtverec v závorkách a rozdělte integrandy, dostaneme:

I_Z=∫_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m ((x² +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

Prvním z těchto členů je hodnota I_O, třetí člen po integraci udává termín l²m a zde je druhý člen nulový. Vynulování zadaného integrálu je způsobeno tím, že se bere ze součinu x a hmotnostních prvků dm, které vprůměr dává nulu, protože těžiště je v počátku. Výsledkem je vzorec Steinerovy věty.

Uvažovaný případ v rovině lze zobecnit na trojrozměrné tělo.

Kontrola Steinerova vzorce na příkladu tyče

Uveďme jednoduchý příklad, který demonstruje použití výše uvedené věty.

Je známo, že pro tyč o délce L a hmotnosti m je moment setrvačnosti I_O (osa prochází těžištěm) roven m L² /12 a okamžik I_Z (osa prochází koncem tyče) je roven mL 2^{/3. Zkontrolujme tato data pomocí Steinerovy věty. Protože vzdálenost mezi dvěma nápravami je L/2, dostaneme okamžik I}Z_:

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

To znamená, že jsme zkontrolovali Steinerův vzorec a dostali stejnou hodnotu pro I_Z jako ve zdroji.

Podobné výpočty lze provést pro jiná tělesa (válec, koule, disk), při získání potřebných momentů setrvačnosti a bez provedení integrace.

Moment setrvačnosti a kolmé osy

Uvažovaná věta se týká rovnoběžných os. Pro úplnost informace je užitečné uvést i větu pro kolmé osy. Je formulován následovně: pro plochý předmět libovolného tvaru bude moment setrvačnosti kolem osy k němu kolmé roven součtu dvou momentů setrvačnosti kolem dvou vzájemně kolmých a ležícíchv rovině objektu os, přičemž všechny tři osy procházejí stejným bodem. Matematicky je to napsáno takto:

I_z=I_x + I_y

Zde z, x, y jsou tři vzájemně kolmé osy rotace.

Zásadní rozdíl mezi touto větou a Steinerovou větou je v tom, že je použitelná pouze na ploché (dvourozměrné) pevné objekty. Nicméně v praxi je široce používán, mentálním rozřezáním těla na samostatné vrstvy a následným přidáním získaných momentů setrvačnosti.