Logaritmy: příklady a řešení

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-02 17:43

Jak víte, při násobení výrazů pomocí mocnin se jejich exponenty vždy sčítají (a^ba^c=a^{b+ c). Tento matematický zákon odvodil Archimedes a později, v 8. století, vytvořil matematik Virasen tabulku celočíselných ukazatelů. Byli to oni, kdo sloužil k dalšímu objevování logaritmů. Příklady použití této funkce najdeme téměř všude tam, kde je potřeba zjednodušit těžkopádné násobení na jednoduché sčítání. Pokud strávíte 10 minut čtením tohoto článku, vysvětlíme vám, co jsou to logaritmy a jak s nimi pracovat. Jednoduchý a přístupný jazyk.}

Definice v matematice

Logaritmus je vyjádřením následujícího tvaru: log_ab=c c" do kterého je třeba zvednout základ "a", abyste nakonec získali hodnotu " b". Pojďme analyzovat logaritmus pomocí příkladů, řekněme, že existuje výraz log_{28. Jak najít odpověď? Je to velmi jednoduché, musíte najít takový stupeň, abyste od 2 do požadovaného stupně dostali 8. Když jsme si v duchu udělali nějaké výpočty, dostaneme číslo 3! A je to pravda, protože2 umocněné na 3 dává odpověď 8.}

Různé logaritmy

Pro mnoho žáků a studentů se toto téma zdá složité a nesrozumitelné, ale ve skutečnosti logaritmy nejsou tak děsivé, hlavní je pochopit jejich obecný význam a zapamatovat si jejich vlastnosti a některá pravidla. Existují tři samostatné druhy logaritmických výrazů:

1. Přirozený logaritmus ln a, kde základem je Eulerovo číslo (e=2, 7).
2. Desetinný logaritmus lg a, kde základem je číslo 10.
3. Logaritmus libovolného čísla b na základ a>1.

Každá z nich je řešena standardním způsobem, včetně zjednodušení, redukce a následné redukce na jeden logaritmus pomocí logaritmických vět. Chcete-li získat správné hodnoty logaritmů, měli byste si zapamatovat jejich vlastnosti a pořadí akcí při jejich řešení.

Pravidla a některá omezení

V matematice existuje několik pravidel-omezení, která jsou přijímána jako axiom, to znamená, že o nich nelze vyjednávat a jsou pravdivá. Například je nemožné dělit čísla nulou a je také nemožné vzít sudou odmocninu ze záporných čísel. Logaritmy mají také svá vlastní pravidla, podle kterých se snadno naučíte pracovat i s dlouhými a prostornými logaritmickými výrazy:

• základ „a“musí být vždy větší než nula a zároveň nesmí být roven 1, jinak výraz ztratí svůj význam, protože „1“a „0“v jakémkoli stupni jsou vždy rovna jejich hodnotám;
• if > 0, pak ab>0,ukázalo se, že "c" musí být také větší než nula.

Jak řešit logaritmy?

Když dostaneme například za úkol najít odpověď na rovnici 10^x=100. Je to velmi snadné, je potřeba zvolit takovou mocninu, zvednutím čísla deset získejte 100. To je samozřejmě kvadratická síla! 10^2=100.

Představme si tento výraz jako logaritmický. Dostaneme log_{10100=2. Při řešení logaritmů všechny akce prakticky konvergují k nalezení mocniny, do které musí být zadán základ logaritmu, abychom získali dané číslo.}

Abyste mohli přesně určit hodnotu neznámého stupně, musíte se naučit pracovat s tabulkou stupňů. Vypadá to takto:

Jak vidíte, některé exponenty lze uhodnout intuitivně, pokud máte technické myšlení a znalost násobilky. Větší hodnoty však budou vyžadovat tabulku výkonu. Využít ho mohou i ti, kteří ve složitých matematických tématech nerozumí vůbec ničemu. Levý sloupec obsahuje čísla (základ a), horní řada čísel je hodnota mocniny c, na kterou je číslo a umocněno. Na průsečíku buňky definují hodnoty čísel, která jsou odpovědí (ac=b). Vezměme si například úplně první buňku s číslem 10 a odmocnime ji, dostaneme hodnotu 100, která je naznačena na průsečíku našich dvou buněk. Všechno je tak jednoduché a snadné, že to pochopí i ten nejskutečnější humanista!

Rovnice a nerovnice

Ukazuje se, že kdyZa určitých podmínek je exponentem logaritmus. Proto lze jakékoli matematické číselné výrazy zapsat jako logaritmickou rovnici. Například 3⁴=81 lze zapsat jako logaritmus 81 k základu 3, což jsou čtyři (log₃81=4). Pro záporné stupně jsou pravidla stejná: 2^-5=1/32 zapsané jako logaritmus, dostaneme log_{2 (1/32)=-5. Jednou z nejvíce fascinujících částí matematiky je téma „logaritmů“. Příklady a řešení rovnic budeme uvažovat o něco níže, hned po prostudování jejich vlastností. Prozatím se podívejme, jak vypadají nerovnosti a jak je odlišit od rovnic.}

Je dán následující výraz: log_{2(x-1) > 3 - jde o logaritmickou nerovnost, protože neznámá hodnota "x" je pod znaménkem logaritmus. Výraz také porovnává dvě hodnoty: základní dva logaritmus požadovaného čísla je větší než číslo tři.}

Nejdůležitější rozdíl mezi logaritmickými rovnicemi a nerovnicemi je ten, že rovnice s logaritmy (příklad - logaritmus₂x=√9) _{implikují v odpovědi jedna nebo více konkrétních číselných hodnot, přičemž při řešení nerovnosti se určí jak rozsah přijatelných hodnot, tak i body přerušení této funkce. V důsledku toho není odpovědí jednoduchá množina jednotlivých čísel jako v odpovědi na rovnici, ale souvislá řada nebo množina čísel.}

Základní věty o logaritmech

Při řešení primitivních úloh k nalezení hodnot logaritmu možná neznáte jeho vlastnosti. Pokud však jde o logaritmické rovnice nebo nerovnice, je nejprve nutné jasně pochopit a prakticky aplikovat všechny základní vlastnosti logaritmů. S příklady rovnic se seznámíme později, nejprve si každou vlastnost podrobněji rozebereme.

1. Základní identita vypadá takto: alogaB=B. Platí pouze v případě, že a je větší než 0, nerovná se jedné, a B je větší než nula.
2. Logaritmus produktu lze vyjádřit v následujícím vzorci: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s2. _{V tomto případě je povinná podmínka: d, s}1 _{a s}2 _{> 0; a≠1. Tento vzorec logaritmů můžete doložit příklady a řešením. Nechat log}a_s1 _=f1 _{a log}a_s 2_=f2_{, pak a}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{Dostáváme to s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(vlastnosti stupňů) a dále podle definice: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{což mělo být prokázáno.}
3. Logaritmus kvocientu vypadá takto: log_a(s_1/s₂)=log _as₁- log_as_2.
4. Věta ve formě vzorce má následující tvar: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

Tento vzorec se nazývá "vlastnost stupně logaritmu". Připomíná vlastnosti běžných stupňů a není se čemu divit, protože veškerá matematika spočívá na pravidelných postulátech. Podívejme se na důkaz.

Nechte log_ab=t, dostaneme a^t=b. Pokud zvýšíte obě strany na sílu m: a^tn=b^;

ale protože a^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, odtud log}aq _bn=(nt)/t, pak log^a_q b_n=n/q log^ab. Věta dokázána.

Příklady problémů a nerovností

Nejběžnější typy logaritmických úloh jsou příklady rovnic a nerovnic. Nacházejí se téměř ve všech problémových knihách a jsou také součástí povinné části zkoušek z matematiky. Abyste mohli vstoupit na vysokou školu nebo složit přijímací testy z matematiky, musíte vědět, jak takové problémy správně řešit.

Bohužel neexistuje jediný plán nebo schéma pro řešení a určení neznámé hodnoty logaritmu, ale na každou matematickou nerovnost nebo logaritmickou rovnici lze použít určitá pravidla. Nejprve byste měli zjistit, zda lze výraz zjednodušit nebo zredukovat na obecnou formu. Pokud správně použijete jejich vlastnosti, můžete dlouhé logaritmické výrazy zjednodušit. Pojďme je brzy poznat.

Při řešení logaritmických rovnicje nutné určit, jaký druh logaritmu máme před sebou: příklad výrazu může obsahovat přirozený logaritmus nebo desítkový.

Zde jsou příklady dekadických logaritmů: ln100, ln1026. Jejich řešení se scvrkává na skutečnost, že musíte určit, do jaké míry bude základna 10 rovna 100 a 1026. Pro řešení přirozených logaritmů je třeba použít logaritmické identity nebo jejich vlastnosti. Podívejme se na příklady řešení logaritmických problémů různých typů.

Jak používat logaritmické vzorce: s příklady a řešeními

Podívejme se tedy na příklady použití hlavních vět o logaritmech.

1. Vlastnost logaritmu součinu lze využít v úlohách, kde je potřeba rozložit velkou hodnotu čísla b na jednodušší faktory. Například log₂4 + log₂128=log₂(4128)=log_{2512. Odpověď je 9.}
2. log₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - jak vidíte, aplikací čtvrté vlastnosti stupně logaritmu se nám na první pohled podařilo vyřešit složitý a neřešitelný výraz. Vše, co musíte udělat, je faktor základny a poté odeberte sílu ze znaménka logaritmu.}

Úkoly ze zkoušky

Logaritmy se často vyskytují u přijímacích zkoušek, zejména mnoho logaritmických problémů v jednotné státní zkoušce (státní zkouška pro všechny absolventy škol). Obvykle jsou tyto úkoly přítomny nejen v části A (nejvícesnadná testová část zkoušky), ale také v části C (nejtěžší a nejobjemnější úlohy). Zkouška vyžaduje přesnou a dokonalou znalost tématu "Přirozené logaritmy".

Příklady a řešení problémů jsou převzaty z oficiálních verzí zkoušky. Podívejme se, jak se takové úkoly řeší.

Zadaný log₂(2x-1)=4. Řešení:

přepište výraz a trochu ho zjednodušte log_2(2x-1)=22^{, definicí logaritmu dostaneme, že 2x-1=2}4^{, tedy 2x=17; x=8, 5.}

Podle několika zásad, podle kterých můžete snadno vyřešit všechny rovnice obsahující výrazy, které jsou pod znaménkem logaritmu.

• Nejlepší je zredukovat všechny logaritmy na stejný základ, aby řešení nebylo těžkopádné a matoucí.
• Všechny výrazy pod logaritmickým znaménkem jsou označeny jako kladné, takže při násobení exponentu výrazu, který je pod logaritmickým znaménkem a jako jeho základ, musí být výraz zbývající pod logaritmem kladný.