Skutečné poznání bylo vždy založeno na vytvoření vzoru a prokázání jeho pravdivosti za určitých okolností. Za tak dlouhou dobu existence logického uvažování byly formulace pravidel dány a Aristoteles dokonce sestavil seznam „správných úvah“. Historicky je zvykem dělit všechny inference do dvou typů – od konkrétních k množnému (indukce) a naopak (dedukce). Je třeba poznamenat, že typy důkazů od konkrétního k obecnému a od obecného ke konkrétnímu existují pouze ve vztahu a nelze je zaměňovat.
Indukce do matematiky
Pojem „indukce“(indukce) má latinské kořeny a doslovně se překládá jako „vedení“. Při bližším studiu lze rozlišit strukturu slova, a to latinskou předponu - in- (označuje řízenou činnost dovnitř nebo bytí uvnitř) a -dukci - úvod. Stojí za zmínku, že existují dva typy - úplná a neúplná indukce. Plná forma je charakterizována závěry vyvozenými ze studia všech předmětů určité třídy.
Neúplné – závěry,použito na všechny položky třídy, ale na základě studia pouze některých jednotek.
Plná matematická indukce - závěr založený na obecném závěru o celé třídě libovolných objektů, které jsou funkčně příbuzné vztahy přirozené řady čísel na základě znalosti tohoto funkčního spojení. V tomto případě proces důkazu probíhá ve třech fázích:
- na prvním je dokázána správnost tvrzení o matematické indukci. Příklad: f=1, toto je základ indukce;
- Další fáze je založena na předpokladu, že pozice je platná pro všechna přirozená čísla. To znamená, f=h, toto je indukční hypotéza;
- ve třetí fázi se prokazuje platnost pozice pro číslo f=h+1 na základě správnosti pozice předchozího odstavce - jedná se o indukční přechod, neboli krok matematické indukce. Příkladem je tzv. „princip domina“: pokud padne první kost v řadě (základ), pak padnou všechny kameny v řadě (přechod).
Vtip a vážně
Pro snazší vnímání jsou příklady řešení metodou matematické indukce označeny za vtipné problémy. Toto je úkol zdvořilostní fronty:
Pravidla chování zakazují muži otočit se před ženou (v takové situaci je puštěna dopředu). Na základě tohoto tvrzení, pokud je poslední v řadě muž, pak všichni ostatní jsou muži
Nápadným příkladem metody matematické indukce je problém „Bezrozměrný let“:
Je nutné prokázat, že vminibus pojme libovolný počet osob. Platí, že jeden člověk se do přepravy bez potíží vejde (základ). Ale bez ohledu na to, jak je minibus plný, vždy se do něj vejde 1 cestující (indukční krok)
Známé kruhy
Příklady řešení problémů a rovnic matematickou indukcí jsou poměrně běžné. Jako ilustraci tohoto přístupu zvažte následující problém.
Podmínka: na rovině je h kruhů. Je nutné prokázat, že pro jakékoli uspořádání obrazců lze mapu jimi tvořenou správně vybarvit dvěma barvami.
Rozhodnutí: pro h=1 je pravdivost tvrzení zřejmá, takže důkaz bude sestaven pro počet kruhů h+1.
Předpokládejme, že tvrzení platí pro jakoukoli mapu a na rovině jsou kružnice h+1. Odebráním jednoho z kruhů z celkového počtu získáte mapu správně vybarvenou dvěma barvami (černou a bílou).
Při obnově smazaného kruhu se barva každé oblasti změní na opačnou (v tomto případě uvnitř kruhu). Výsledkem je mapa správně vybarvená dvěma barvami, což bylo nutné prokázat.
Příklady s přirozenými čísly
Použití metody matematické indukce je znázorněno níže.
Příklady řešení:
Dokažte, že pro kterékoli h bude rovnost správná:
12+22+32+…+h 2=h(h+1)(2h+1)/6.
Řešení:
1. Nechť h=1, pak:
R1=12=1(1+1)(2+1)/6=1
Z toho plyne, že pro h=1 je tvrzení správné.
2. Za předpokladu h=d je rovnice:
R1=d2=d(d+1)(2d+1)/6=1
3. Za předpokladu, že h=d+1, vyjde:
Rd+1=(d+1) (d+2) (2d+3)/6
Rd+1=12+22+3 2+…+d2+(d+1)2=d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1)2=(d(d+1)(2d+1)+6(d+1)2 )/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=
(d+1)(2d2+7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)(2d+3)/6.
Je tedy dokázána platnost rovnosti pro h=d+1, tvrzení tedy platí pro libovolné přirozené číslo, což je ukázáno v příkladu řešení matematickou indukcí.
Úkol
Podmínka: je vyžadován důkaz, že pro jakoukoli hodnotu h je výraz 7h-1 dělitelný 6 beze zbytku.
Řešení:
1. Řekněme h=1, v tomto případě:
R1=71-1=6 (tj. dělitelné 6 beze zbytku)
Proto je pro h=1 tvrzení pravdivé;
2. Nechť h=d a 7d-1 je dělitelné 6 beze zbytku;
3. Důkazem platnosti tvrzení pro h=d+1 je vzorec:
Rd+1=7d+1 -1=7∙7d-7+6=7(7d-1)+6
V tomto případě je první člen dělitelný 6 podle předpokladu prvního odstavce a druhývýraz je 6. Tvrzení, že 7h-1 je dělitelné 6 beze zbytku pro jakékoli přirozené h, je pravdivé.
Falešný rozsudek
V důkazech se často používá nesprávná úvaha kvůli nepřesnosti použitých logických konstrukcí. V zásadě se to stane, když je porušena struktura a logika důkazu. Příkladem nesprávné úvahy je následující ilustrace.
Úkol
Podmínka: Je vyžadován důkaz, že žádná hromada kamenů není hromada.
Řešení:
1. Řekněme h=1, v tomto případě je na hromádce 1 kámen a tvrzení je pravdivé (základ);
2. Nechť platí pro h=d, že hromada kamenů není hromada (předpoklad);
3. Nechť h=d+1, z čehož vyplývá, že když se přidá ještě jeden kámen, množina nebude hromada. Závěr sám o sobě naznačuje, že předpoklad platí pro všechny přírodní h.
Chyba spočívá v tom, že není definováno, kolik kamenů tvoří hromadu. Takové opomenutí se v metodě matematické indukce nazývá ukvapené zobecnění. Příklad to jasně ukazuje.
Indukce a zákony logiky
Historicky jdou příklady indukce a dedukce vždy ruku v ruce. Vědecké disciplíny jako logika a filozofie je popisují jako protiklady.
Z hlediska zákona logiky jsou induktivní definice založeny na faktech a pravdivost premis neurčuje správnost výsledného tvrzení. Často získanézávěry s určitou mírou pravděpodobnosti a věrohodnosti, které je ovšem nutné ověřit a potvrdit dodatečným výzkumem. Příkladem indukce v logice by bylo prohlášení:
Sucho v Estonsku, suché v Lotyšsku, suché v Litvě.
Estonsko, Lotyšsko a Litva jsou pob altské státy. Sucho ve všech pob altských státech.
Z příkladu můžeme usoudit, že novou informaci nebo pravdu nelze získat metodou indukce. Jediné, na co se můžete spolehnout, je nějaká možná pravdivost závěrů. Navíc pravdivost premis nezaručuje stejné závěry. Tato skutečnost však neznamená, že by indukce vegetovala na dvorku dedukce: pomocí metody indukce je podloženo obrovské množství ustanovení a vědeckých zákonů. Jako příklad může posloužit matematika, biologie a další vědy. To je z velké části způsobeno metodou úplné indukce, ale v některých případech lze použít i částečnou.
Úctyhodný věk indukce jí umožnil proniknout téměř do všech oblastí lidské činnosti – to je věda, ekonomie a každodenní závěry.
Indukce ve vědeckém prostředí
Metoda indukce vyžaduje pečlivý přístup, protože příliš mnoho závisí na počtu studovaných jednotlivostí celku: čím větší je studovaný počet, tím spolehlivější je výsledek. Na základě této vlastnosti jsou vědecké zákony získané indukcí dlouhodobě testovány na úrovni pravděpodobnostních předpokladů s cílem izolovat a studovat všechny možnékonstrukční prvky, souvislosti a vlivy.
Ve vědě je induktivní závěr založen na významných rysech, s výjimkou náhodných ustanovení. Tato skutečnost je důležitá v souvislosti se specifiky vědeckého poznání. To je jasně vidět na příkladech indukce ve vědě.
Ve vědeckém světě existují dva typy indukce (v souvislosti se způsobem studia):
- indukční-výběr (nebo výběr);
- indukce – vyloučení (eliminace).
První typ se vyznačuje metodickým (pečlivým) vzorkováním třídy (podtříd) z jejích různých oblastí.
Příklad tohoto typu indukce je následující: stříbro (nebo stříbrné soli) čistí vodu. Závěr je založen na dlouhodobých pozorováních (jakýsi výběr potvrzení a vyvrácení - výběr).
Druhý typ indukce je založen na závěrech, které zakládají kauzální vztahy a vylučují okolnosti, které nesplňují jeho vlastnosti, totiž univerzálnost, dodržení časové posloupnosti, nutnost a jednoznačnost.
Indukce a dedukce z hlediska filozofie
Pokud se podíváte na historickou retrospektivu, termín „indukce“poprvé zmínil Sokrates. Aristoteles popsal příklady indukce ve filozofii v přibližnějším terminologickém slovníku, ale otázka neúplné indukce zůstává otevřená. Po pronásledování aristotelského sylogismu začala být induktivní metoda uznávána jako plodná a jediná možná v přírodních vědách. Bacon je považován za otce indukce jako nezávislé speciální metody, ale nepodařilo se mu oddělit,jak požadovali současníci, indukce z deduktivní metody.
Další vývoj indukce provedl J. Mill, který uvažoval o indukční teorii z pozice čtyř hlavních metod: shody, rozdílu, reziduí a odpovídajících změn. Není divu, že dnes jsou uvedené metody při podrobném zkoumání deduktivní.
Uvědomění si selhání teorií Bacona a Milla vedlo vědce k prozkoumání pravděpodobnostního základu indukce. I zde však byly určité extrémy: byly učiněny pokusy omezit indukci na teorii pravděpodobnosti se všemi z toho vyplývajícími důsledky.
Indukce získává důvěru v praktické použití v určitých oblastech a díky metrické přesnosti induktivní báze. Za příklad indukce a dedukce ve filozofii lze považovat zákon univerzální gravitace. Ke dni objevení zákona jej Newton dokázal ověřit s přesností 4 procent. A při testování po více než dvou stech letech byla správnost potvrzena s přesností 0,0001 procenta, ačkoli test byl proveden se stejnými induktivními zobecněními.
Moderní filozofie věnuje více pozornosti dedukce, která je diktována logickou touhou odvozovat nové znalosti (nebo pravdu) z toho, co je již známo, bez uchylování se ke zkušenosti, intuici, ale pomocí „čistého“uvažování. Když se odkazuje na pravdivé premisy v deduktivní metodě, ve všech případech je výstupem pravdivé tvrzení.
Tato velmi důležitá vlastnost by neměla zastínit hodnotu induktivní metody. Od indukce, spoléhání se na dosažené zkušenosti,se také stává prostředkem pro jeho zpracování (včetně zobecnění a systematizace).
Uplatnění indukce v ekonomii
Indukce a dedukce se již dlouho používají jako metody studia ekonomiky a předpovídání jejího vývoje.
Rozsah použití indukční metody je poměrně široký: studium naplňování prognózních ukazatelů (zisk, odpisy atd.) a celkové hodnocení stavu podniku; vytvoření efektivní politiky propagace podniku založené na faktech a jejich vztazích.
Stejná metoda indukce je použita v Shewhartových diagramech, kde za předpokladu, že procesy jsou rozděleny na řízené a neřízené, je konstatováno, že rámec řízeného procesu je neaktivní.
Je třeba poznamenat, že vědecké zákony jsou odůvodněny a potvrzeny pomocí metody indukce, a protože ekonomie je věda, která často používá matematickou analýzu, teorii rizik a statistická data, není divu, že indukce je zahrnuta v seznam hlavních metod.
Následující situace může sloužit jako příklad indukce a dedukce v ekonomii. Nárůst cen potravin (ze spotřebního koše) a základního zboží nutí spotřebitele přemýšlet o vznikajících vysokých nákladech ve státě (indukce). Zároveň lze z faktu vysoké ceny pomocí matematických metod odvodit ukazatele nárůstu cen pro jednotlivé zboží nebo kategorie zboží (srážka).
Manažeři, manažeři a ekonomové nejčastěji odkazují na indukční metodu. V následujících situacíchbylo možné s dostatečnou pravdivostí předvídat vývoj podniku, chování trhu, důsledky konkurence, je zapotřebí induktivně-deduktivní přístup k analýze a zpracování informací.
Ilustrativní příklad indukce v ekonomii týkající se mylných úsudků:
-
zisk společnosti poklesl o 30 %;
konkurent rozšiřuje produktovou řadu;
nic jiného se nezměnilo;
- výrobní politika konkurenta způsobila 30% snížení zisku;
- proto je potřeba zavést stejnou výrobní politiku.
Příklad je barevnou ilustrací toho, jak nešikovné použití metody indukce přispívá ke zničení podniku.
Dedukce a indukce v psychologii
Vzhledem k tomu, že existuje metoda, je zde logicky i správně organizované myšlení (použít metodu). Psychologie jako věda studující duševní procesy, jejich utváření, vývoj, vztahy, interakce, věnuje pozornost „deduktivnímu“myšlení jako jedné z forem projevu dedukce a indukce. Bohužel na stránkách psychologie na internetu neexistuje prakticky žádné opodstatnění celistvosti deduktivně-indukční metody. I když se profesionální psychologové častěji setkávají s projevy indukce, nebo spíše s chybnými závěry.
Příkladem indukce v psychologii, jako ilustrace chybných úsudků, je tvrzení: moje matka je podvodnice, a proto všechny ženy jsou podvodnice. Můžete se dozvědět ještě více „chybných“příkladů indukce ze života:
- student není schopen ničeho, pokud dostal dvojku v matematice;
- je to blázen;
- je chytrý;
- Můžu dělat cokoliv;
- a mnoho dalších hodnotových soudů založených na naprosto náhodných a někdy bezvýznamných zprávách.
Mělo by být poznamenáno: když klam úsudků člověka dosáhne bodu absurdity, čeká psychoterapeuta práce. Jeden příklad uvedení na schůzce specialisty:
„Pacient si je naprosto jistý, že červená barva pro něj v jakýchkoli projevech představuje pouze nebezpečí. V důsledku toho člověk vyloučil toto barevné schéma ze svého života - v rámci možností. V domácím prostředí je mnoho příležitostí pro pohodlné bydlení. Všechny červené položky můžete odmítnout nebo je nahradit analogy vyrobenými v jiném barevném schématu. Ale na veřejných místech, v práci, v obchodě - to je nemožné. Když se pacient dostane do stresové situace, pokaždé zažije „příliv“zcela odlišných emočních stavů, které mohou být pro ostatní nebezpečné.“
Tento příklad indukce, a to nevědomě, se nazývá „pevné myšlenky“. Pokud se to stane duševně zdravému člověku, můžeme hovořit o nedostatečné organizaci duševní činnosti. Elementární rozvoj deduktivního myšlení se může stát způsobem, jak se zbavit obsedantních stavů. V jiných případech s takovými pacienty pracují psychiatři.
Výše uvedené příklady indukce naznačují, že „neznalost zákona neosvobozuje od následků (chybných úsudků).”
Psychologové pracující na tématu deduktivního usuzování sestavili seznam doporučení, která mají lidem pomoci tuto metodu zvládnout.
První položkou je řešení problémů. Jak je vidět, formu indukce používanou v matematice lze považovat za „klasickou“a použití této metody přispívá k „kázni“mysli.
Další podmínkou rozvoje deduktivního myšlení je rozšiřování obzorů (kdo myslí jasně, jasně uvádí). Toto doporučení směřuje „postižené“do pokladnic vědy a informací (knihovny, webové stránky, vzdělávací iniciativy, cestování atd.).
Dalším doporučením je přesnost. Ostatně z příkladů použití indukčních metod je jasně vidět, že je v mnoha ohledech zárukou pravdivosti tvrzení.
Neobešly flexibilitu mysli, z čehož vyplývá možnost použití různých způsobů a přístupů při řešení problému a také zohlednění proměnlivosti vývoje událostí.
A samozřejmě pozorování, které je hlavním zdrojem empirické zkušenosti.
Zvláště je třeba zmínit takzvanou „psychologickou indukci“. Tento termín, i když zřídka, lze nalézt na internetu. Všechny zdroje neuvádějí alespoň stručnou formulaci definice tohoto pojmu, ale odkazují na „příklady ze života“, přičemž uvádějí buď sugesci, nebo některé formy duševních chorob jako nový typ indukce,To jsou extrémní stavy lidské psychiky. Ze všeho výše uvedeného je zřejmé, že pokus odvodit „nový termín“založený na falešných (často nepravdivých) premisách odsuzuje experimentátora k chybnému (nebo unáhlenému) prohlášení.
Je třeba poznamenat, že odkaz na experimenty z roku 1960 (bez upřesnění místa konání, jmen experimentátorů, vzorku subjektů a hlavně účelu experimentu) vypadá mírně řečeno, nepřesvědčivé a tvrzení, že mozek vnímá informace obchází všechny orgány vnímání (sousloví „je ovlivněn“by v tomto případě zapadalo více organicky), nutí k zamyšlení nad důvěřivostí a nekritičností autora výroku.
Místo závěru
Královna věd - matematika, vědomě využívá všechny možné rezervy metody indukce a dedukce. Uvažované příklady nám umožňují dojít k závěru, že povrchní a nešikovné (jak se říká bezmyšlenkovitě) aplikace i těch nejpřesnějších a nejspolehlivějších metod vždy vede k chybným výsledkům.
V masovém vědomí je metoda dedukce spojována se slavným Sherlockem Holmesem, který ve svých logických konstrukcích často používá příklady indukce, využívající dedukce v nezbytných situacích.
Článek zkoumal příklady použití těchto metod v různých vědách a oblastech lidského života.
