Derivace kosinusu se nalézá analogicky s derivací sinu, základem důkazu je definice limity funkce. Můžete použít jinou metodu, pomocí goniometrických redukčních vzorců pro kosinus a sinus úhlů. Vyjádřete jednu funkci v termínech druhé – kosinus v termínech sinus a diferencujte sinus pomocí komplexního argumentu.
Zvažte první příklad odvození vzorce (Cos(x))'
Přidejte zanedbatelně malý přírůstek Δx argumentu x funkce y=Cos(x). S novou hodnotou argumentu х+Δх získáme novou hodnotu funkce Cos(х+Δх). Potom se přírůstek funkce Δy bude rovnat Cos(х+Δx)-Cos(x).
Poměr přírůstku funkce k Δх bude: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Proveďme shodné transformace v čitateli výsledného zlomku. Vzpomeňte si na vzorec pro rozdíl v kosinech úhlů, výsledkem bude součin -2Sin (Δx / 2) krát Sin (x + Δx / 2). Najdeme limitu kvocientu lim tohoto součinu na Δx, protože Δx má tendenci k nule. Je známo, že první(říká se tomu úžasné) limita lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) se rovná 1 a limita -Sin(x+Δx/2) se rovná -Sin(x) jako Δx inklinuje k nule. Zapište výsledek: derivace (Cos(x))' se rovná - Sin(x).
Někteří lidé preferují druhý způsob odvození stejného vzorce
Z průběhu trigonometrie je známo: Cos(x) je rovno Sin(0, 5 ∏-x), podobně Sin(x) je rovno Cos(0, 5 ∏-x). Potom derivujeme komplexní funkci - sinus přídavného úhlu (místo kosinu x).
Dostaneme součin Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)', protože derivace sinu x se rovná kosinu X. Přejdeme k druhému vzorci Sin(x)=Cos(0,5 ∏-x) nahrazení kosinusem sinem, přičemž vezmeme v úvahu, že (0,5 ∏-x)'=-1. Nyní dostáváme -Sin(x). Takže je nalezena derivace kosinu, y'=-Sin(x) pro funkci y=Cos(x).
Kvadratická kosinová derivace
Běžně používaný příklad, kdy se používá kosinový derivát. Funkce y=Cos2(x) je obtížná. Nejprve najdeme diferenciál mocninné funkce s exponentem 2, bude 2·Cos(x), poté jej vynásobíme derivací (Cos(x))', která se rovná -Sin(x). Dostaneme y'=-2 Cos(x) Sin(x). Když použijeme vzorec Sin(2x), sinus dvojitého úhlu, dostaneme konečné zjednodušenéodpověď y'=-Sin(2x)
Hyperbolické funkce
Uplatňují se při studiu mnoha technických oborů: v matematice například usnadňují výpočet integrálů, řešení diferenciálních rovnic. Jsou vyjádřeny pomocí goniometrických funkcí s imaginárníargument, takže hyperbolický kosinus ch(x)=Cos(i x), kde i je imaginární jednotka, hyperbolický sinus sh(x)=Sin(i x).
Derivace hyperbolického kosinusu se vypočítá docela jednoduše.
Uvažujme funkci y=(ex+e-x) /2, toto a je hyperbolický kosinus ch(x). Použijeme pravidlo pro nalezení derivace součtu dvou výrazů, pravidlo pro vyjmutí konstantního faktoru (Const) ze znaménka derivace. Druhý člen 0,5 e-x je komplexní funkce (její derivace je -0,5 e-x), 0,5 eх – první termín. (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' lze napsat jiným způsobem: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, protože derivát (e - x)' se rovná -1krát e-x. Výsledkem je rozdíl a toto je hyperbolický sinus sh(x).Výstup: (ch(x))'=sh(x).
Podívejme se na příklad, jak vypočítejte derivaci funkce y=ch(x
3+1).Podle pravidla hyperbolické kosinusové derivace s komplexním argumentem y'=sh(x
3+1) (x 3+1)', kde (x3+1)'=3 x 2+0. Odpověď: derivace této funkce je 3 x
2sh(x3+1).
Tabulkové derivace uvažovaných funkcí y=ch(x) a y=Cos(x)
Při řešení příkladů není potřeba je pokaždé rozlišovat podle navrženého schématu, stačí použít inferenci.
Příklad. Derivujte funkci y=Cos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). Snadný výpočet (použijte tabulková data), y'=-Sin(x) +Sin (2 x)-5 Sh (5 x).
