Planimetrie je odvětví geometrie, které studuje vlastnosti rovinných obrazců. Patří mezi ně nejen známé trojúhelníky, čtverce, obdélníky, ale také přímky a úhly. V planimetrii existují také takové pojmy jako úhly v kruhu: centrální a vepsané. Ale co znamenají?
Jaký je středový úhel?
Abyste pochopili, co je středový úhel, musíte definovat kruh. Kruh je soubor všech bodů stejně vzdálených od daného bodu (středu kruhu).
Je velmi důležité odlišit jej od kruhu. Je třeba si uvědomit, že kružnice je uzavřená čára a kružnice je část roviny, která je jí ohraničena. Do kruhu lze vepsat mnohoúhelník nebo úhel.
Středový úhel je úhel, jehož vrchol se shoduje se středem kružnice a jehož strany protínají kružnici ve dvou bodech. Oblouk, který úhel omezuje průsečíky, se nazývá oblouk, na kterém daný úhel spočívá.
Zvažte příklad 1.
Na obrázku je úhel AOB střed, protože vrchol úhlu a střed kružnice jsou jedním bodem O. Opírá se o oblouk AB, který neobsahuje bod C.
Jak se liší vepsaný úhel od centrálního?
Kromě středových však existují také úhly vepsané. Jaký je jejich rozdíl? Úhel vepsaný do kruhu stejně jako ten centrální spočívá na určitém oblouku. Jeho vrchol se však neshoduje se středem kruhu, ale leží na něm.
Vezměme si následující příklad.
Úhel ACB se nazývá úhel vepsaný do kružnice se středem v bodě O. Bod C patří kružnici, to znamená, že na ní leží. Úhel spočívá na oblouku AB.
Jaký je středový úhel
K úspěšnému zvládnutí problémů v geometrii nestačí umět rozlišovat mezi vepsanými a středovými úhly. K jejich vyřešení musíte zpravidla přesně vědět, jak najít středový úhel v kruhu, a umět vypočítat jeho hodnotu ve stupních.
Středový úhel se tedy rovná míře oblouku, na kterém spočívá.
Na obrázku leží úhel AOB na oblouku AB rovný 66°. Takže úhel AOB je také roven 66°.
Středové úhly založené na stejných obloucích jsou tedy stejné.
Na obrázku se oblouk DC rovná oblouku AB. Úhel AOB se tedy rovná úhlu DOC.
Jak najít vepsaný úhel
Může se zdát, že úhel vepsaný do kruhu se rovná středovému úhlu,který se opírá o stejný oblouk. To je však hrubá chyba. Ve skutečnosti, i když se jen podíváte na výkres a porovnáte tyto úhly mezi sebou, můžete vidět, že jejich míry budou mít různé hodnoty. Jaký je tedy úhel vepsaný do kruhu?
Stupeň vepsaného úhlu je jedna polovina oblouku, na kterém spočívá, nebo polovina centrálního úhlu, pokud se spoléhají na stejný oblouk.
Uvažujme příklad. Úhel ACB je založen na oblouku rovném 66°.
Takže úhel DIA=66°: 2=33°
Uvažujme některé důsledky této věty.
- Vepsané úhly, pokud vycházejí ze stejného oblouku, tětivy nebo stejných oblouků, jsou stejné.
- Pokud jsou vepsané úhly založeny na stejné tětivě, ale jejich vrcholy leží na jejích opačných stranách, je součet mír těchto úhlů 180°, protože v tomto případě jsou oba úhly založeny na obloucích, celková míra stupňů je 360° (celý kruh), 360°: 2=180°
- Je-li vepsaný úhel založen na průměru dané kružnice, její míra stupňů je 90°, protože průměr tvoří oblouk rovný 180°, 180°: 2=90°
- Pokud středový a vepsaný úhel v kruhu vycházejí ze stejného oblouku nebo tětivy, pak se vepsaný úhel rovná polovině středového.
Kde lze nalézt problémy na toto téma? Jejich typy a řešení
Vzhledem k tomu, že kružnice a její vlastnosti jsou jednou z nejdůležitějších částí geometrie, zejména planimetrie, jsou vepsané a středové úhly v kružnici tématem široce a podrobněstudoval ve školním vzdělávacím programu. Úkoly věnované jejich vlastnostem se nacházejí v hlavní státní zkoušce (OGE) a jednotné státní zkoušce (USE). K vyřešení těchto problémů byste zpravidla měli najít úhly na kružnici ve stupních.
Úhly založené na stejném oblouku
Tento typ problému je možná jedním z nejjednodušších, protože k jeho vyřešení potřebujete znát pouze dvě jednoduché vlastnosti: pokud jsou oba úhly vepsány a opírají se o stejnou tětivu, jsou stejné, pokud je jeden z nich střed, pak se odpovídající vepsaný úhel rovná jeho polovině. Při jejich řešení je však třeba být maximálně opatrný: někdy je těžké si této vlastnosti všimnout a studenti se při řešení tak jednoduchých úloh dostávají do slepé uličky. Zvažte příklad.
Problém 1
Vzhledem k tomu, že kruh má střed v bodě O. Úhel AOB je 54°. Najděte míru úhlu DIA.
Tento úkol je vyřešen v jednom kroku. Jediná věc, kterou potřebujete, abyste na ni rychle našli odpověď, je všimnout si, že oblouk, na kterém spočívají oba rohy, je společný. Když to uvidíte, můžete použít již známou vlastnost. Úhel ACB je poloviční než úhel AOB. Takže
1) AOB=54°: 2=27°.
Odpověď: 54°.
Úhly založené na různých obloucích stejné kružnice
Někdy není velikost oblouku, na kterém spočívá požadovaný úhel, přímo specifikována v podmínkách problému. Abyste to mohli vypočítat, musíte analyzovat velikost těchto úhlů a porovnat je se známými vlastnostmi kruhu.
Problém 2
V kruhu se středem na O úhel AOCje 120° a úhel AOB je 30°. Najděte roh VY.
Na začátek je vhodné říci, že je možné tento problém vyřešit pomocí vlastností rovnoramenných trojúhelníků, ale bude to vyžadovat více matematických operací. Proto zde budeme analyzovat řešení pomocí vlastností středových a vepsaných úhlů v kružnici.
Úhel AOC tedy spočívá na oblouku AC a je centrální, což znamená, že oblouk AC se rovná úhlu AOC.
AC=120°
Stejným způsobem spočívá úhel AOB na oblouku AB.
AB=30°.
Znáte-li toto a míru míry celého kruhu (360°), můžete snadno zjistit velikost oblouku BC.
BC=360° – AC – AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
Vrchol úhlu CAB, bod A, leží na kružnici. Úhel CAB je tedy vepsán a roven polovině oblouku CB.
Úhel kabiny=210°: 2=110°
Odpověď: 110°
Problémy založené na obloukových poměrech
Některé úlohy vůbec neobsahují údaje o úhlech, takže je třeba je hledat pouze na základě známých vět a vlastností kružnice.
Problém 1
Najděte úhel vepsaný do kruhu, který je podepřen tětivou rovnající se poloměru daného kruhu.
Pokud v duchu nakreslíte čáry spojující konce segmentu se středem kruhu, dostanete trojúhelník. Když to prozkoumáte, můžete vidět, že tyto čáry jsou poloměry kruhu, což znamená, že všechny strany trojúhelníku jsou stejné. Víme, že všechny úhly rovnostranného trojúhelníkujsou rovny 60°. Oblouk AB obsahující vrchol trojúhelníku je tedy roven 60°. Odtud najdeme oblouk AB, na kterém je založen požadovaný úhel.
AB=360° – 60°=300°
Úhel ABC=300°: 2=150°
Odpověď: 150°
Problém 2
V kruhu se středem v bodě O jsou oblouky ve vztahu 3:7. Najděte menší vepsaný úhel.
Pro řešení označíme jednu část jako X, pak se jeden oblouk rovná 3X a druhý 7X. S vědomím, že míra kružnice je 360°, můžeme napsat rovnici.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Podle podmínky musíte najít menší úhel. Je zřejmé, že pokud je hodnota úhlu přímo úměrná oblouku, na kterém spočívá, pak požadovaný (menší) úhel odpovídá oblouku rovnému 3X.
Takže menší úhel je (36°3): 2=108°: 2=54°
Odpověď: 54°
Problém 3
V kružnici se středem v bodě O je úhel AOB 60° a délka menšího oblouku je 50. Vypočítejte délku většího oblouku.
Abyste mohli vypočítat délku většího oblouku, musíte udělat proporci - jak souvisí menší oblouk s větším. K tomu vypočítáme velikost obou oblouků ve stupních. Menší oblouk se rovná úhlu, který na něm spočívá. Jeho míra stupňů je 60°. Větší oblouk se rovná rozdílu mezi mírou kružnice (je rovna 360° bez ohledu na ostatní údaje) a menším obloukem.
Velký oblouk je 360° - 60°=300°.
Vzhledem k tomu, že 300°: 60°=5, větší oblouk je 5krát menší.
Velký oblouk=505=250
Odpověď: 250
Takže samozřejmě existují dalšípřístupy k řešení podobných problémů, ale všechny jsou nějak založeny na vlastnostech středových a vepsaných úhlů, trojúhelníků a kružnic. Chcete-li je úspěšně vyřešit, musíte pečlivě prostudovat výkres a porovnat jej s daty problému a také být schopni aplikovat své teoretické znalosti v praxi.
