Vepsaný čtyřúhelník v kruhu. Čtyřúhelník ABCD je vepsán do kruhu

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-02 17:43

S rozdělením matematiky na algebru a geometrii se výukový materiál stává obtížnějším. Objevují se nové figurky a jejich speciální případy. Abychom látce dobře porozuměli, je nutné studovat pojmy, vlastnosti objektů a související věty.

Obecné pojmy

Čtyřúhelník znamená geometrický obrazec. Skládá se ze 4 bodů. Navíc 3 z nich nejsou umístěny na stejné přímce. Existují segmenty spojující zadané body v sérii.

Všechny čtyřúhelníky studované ve školním kurzu geometrie jsou znázorněny na následujícím obrázku. Závěr: jakýkoli předmět z uvedeného obrázku má vlastnosti předchozího obrázku.

Čtyřúhelník může být následujících typů:

• Paralelogram. Rovnoběžnost jeho protilehlých stran je dokázána odpovídajícími větami.
• Lichoběžník. Čtyřúhelník s rovnoběžnými základnami. Ostatní dvě strany ne.
• Obdélník. Figurka, která má všechny 4 rohy=90º.
• Rhombus. Postava se všemi stranami stejnými.
• Čtverec. Kombinuje vlastnosti posledních dvou figurek. Má všechny strany stejné a všechny úhly jsou správné.

Hlavní definicí tohoto tématu je čtyřúhelník vepsaný do kruhu. Spočívá v následujícím. Toto je obrazec, kolem kterého je popsán kruh. Musí procházet všemi vrcholy. Vnitřní úhly čtyřúhelníku vepsaného do kruhu jsou 360º.

Ne každý čtyřúhelník může být vepsán. To je způsobeno skutečností, že kolmice 4 stran se nemusí protínat v jednom bodě. To znemožní nalezení středu kružnice opsané 4úhelníku.

Speciální případy

Každé pravidlo má výjimky. Takže v tomto tématu jsou také speciální případy:

• Rovnoběžník jako takový nemůže být vepsán do kruhu. Pouze jeho speciální případ. Je to obdélník.
• Pokud jsou všechny vrcholy kosočtverce na opsané čáře, pak je to čtverec.
• Všechny vrcholy lichoběžníku jsou na hranici kruhu. V tomto případě mluví o rovnoramenné postavě.

Vlastnosti vepsaného čtyřúhelníku v kruhu

Před řešením jednoduchých i složitých problémů na dané téma si musíte ověřit své znalosti. Bez prostudování vzdělávacího materiálu není možné vyřešit jediný příklad.

Věta 1

Součet protilehlých úhlů čtyřúhelníku vepsaného do kruhu je 180º.

Proof

Dáno: čtyřúhelník ABCD je vepsán do kruhu. Jeho střed je bod O. Musíme dokázat, že _<A + _<C=180º a _< B + _<D=180º.

Je třeba zvážit prezentovaná čísla.

1. _{<A je vepsáno do kruhu se středem v bodě O. Je měřeno přes ½ BCD (poloviční oblouk).}
2. _{<C je vepsáno do stejného kruhu. Měří se přes ½ BAD (poloviční oblouk).}
3. BAD a BCD tvoří celý kruh, tj. jejich velikost je 360º.
4. _<A + _{<C se rovnají polovině součtu znázorněných půloblouků.}
5. Odtud _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

Podobným způsobem, důkaz pro _<B a _{<D. Existuje však druhé řešení problému.}

1. Je známo, že součet vnitřních úhlů čtyřúhelníku je 360º.
2. Protože _<A + _<C=180º. V souladu s tím _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Věta 2

(Často se to nazývá inverzní) Je-li ve čtyřúhelníku _<A + _<C=180º a _{<B +} <_{D=180º (jsou-li opačné), pak lze kolem takového obrazce popsat kruh.}

Proof

Je dán součet opačných úhlů čtyřúhelníku ABCD rovný 180º. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Musíme dokázat, že kruh může být opsán kolem ABCD.}

Z kurzu geometrie je známo, že kružnici lze nakreslit 3 body čtyřúhelníku. Můžete například použít body A, B, C. Kde se bude nacházet bod D? Existují 3 odhady:

1. Skončí uvnitř kruhu. V tomto případě se D nedotýká čáry.
2. Mimo kruh. Vykročí daleko za načrtnutou čáru.
3. Ukazuje se to na kruhu.

Mělo by se předpokládat, že D je uvnitř kruhu. Místo označeného vrcholu je obsazeno D´. Ukazuje se čtyřúhelník ABCD´.

Výsledek je:_<B + _<D´=2d.

Pokud budeme pokračovat AD´ k průsečíku s existující kružnicí se středem v bodě E a spojíme E a C, dostaneme vepsaný čtyřúhelník ABCE. Z první věty vyplývá rovnost:

Podle zákonů geometrie tento výraz neplatí, protože _<D´ je vnější roh trojúhelníku CD´E. V souladu s tím by mělo být více než _{<E. Z toho můžeme usoudit, že D musí být buď na kruhu, nebo mimo něj.}

Podobně se třetí předpoklad může ukázat jako chybný, když D´´ překročí hranici popsaného obrázku.

Ze dvou hypotéz vyplývá jediná správná. Vertex D se nachází na kružnici. Jinými slovy, D se shoduje s E. Z toho vyplývá, že všechny body čtyřúhelníku leží na popsané přímce.

Z těchtodvě věty, následují důsledky:

Do kruhu lze vepsat jakýkoli obdélník. Je tu další důsledek. Kruh lze opsat kolem libovolného obdélníku

Lichoběžník se stejnými boky může být vepsán do kruhu. Jinými slovy, zní to takto: kolem lichoběžníku se stejnými hranami lze popsat kruh

Několik příkladů

Problém 1. Čtyřúhelník ABCD je vepsán do kruhu. _<ABC=105º, _<CAD=35º. Potřebujete najít _{<ABD. Odpověď musí být napsána ve stupních.}

Rozhodnutí. Zpočátku se může zdát obtížné najít odpověď.

1. Musíte si zapamatovat vlastnosti z tohoto tématu. Konkrétně: součet opačných úhlů=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

V geometrii je lepší držet se zásady: najdi vše, co můžeš. Užitečné později.

2. Další krok: použijte větu o součtu trojúhelníku.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 75º=70º}

_<ABD a _{<ACD jsou vepsány. Podle podmínek se spoléhají na jeden oblouk. Proto mají stejné hodnoty:}

_<ABD=_<ACD=70º

Odpověď: _<ABD=70º.

Úloha 2. BCDE je vepsaný čtyřúhelník v kruhu. _<B=69º, _<C=84º. Střed kruhu je bod E. Najít - _<E.

Rozhodnutí.

1. Potřebuji najít _{<E podle věty 1.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Odpověď: _{< E=96º.}

Úloha 3. Je dán čtyřúhelník vepsaný do kruhu. Údaje jsou uvedeny na obrázku. Je nutné najít neznámé hodnoty x, y, z.

Řešení:

z=180º – 93º=87º (podle věty 1)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (podle věty 1)

Odpověď: z=87º, x=82º, y=98º.

Úloha 4. V kruhu je vepsán čtyřúhelník. Hodnoty jsou uvedeny na obrázku. Najít x, y.

Řešení:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Odpověď: x=100º, y=109º.

Problémy pro nezávislé řešení

Příklad 1. Je dán kruh. Jeho střed je bod O. AC a BD jsou průměry. _<ACB=38º. Potřebujete najít _{<AOD. Odpověď musí být uvedena ve stupních.}

Příklad 2. Je dán čtyřúhelník ABCD a kružnice opsané kolem něj. _<ABC=110º, _<ABD=70º. Najděte _{<CAD. Svou odpověď napište ve stupních.}

Příklad 3. Je dána kružnice a vepsaný čtyřúhelník ABCD. Jeho dva úhly jsou 82º a58º. Musíte najít největší ze zbývajících úhlů a zapsat odpověď ve stupních.

Příklad 4. Je uveden čtyřúhelník ABCD. Úhly A, B, C jsou uvedeny v poměru 1:2:3. Úhel D je nutné najít, lze-li zadaný čtyřúhelník vepsat do kružnice. Odpověď musí být uvedena ve stupních.

Příklad 5. Je uveden čtyřúhelník ABCD. Jeho strany tvoří oblouky kružnice opsané. Hodnoty stupňů AB, BC, CD a AD jsou: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Měli byste najít _{<Z daného čtyřúhelníku a zapsat odpověď ve stupních.}