Studenti vyšší matematiky by si měli uvědomit, že součet nějaké mocninné řady patřící do intervalu konvergence dané řady se ukazuje jako spojitá a neomezeně mnohonásobně derivovaná funkce. Nabízí se otázka: je možné tvrdit, že daná libovolná funkce f(x) je součtem nějaké mocninné řady? To znamená, za jakých podmínek může být funkce f(x) reprezentována mocninnou řadou? Důležitost této otázky spočívá v tom, že je možné přibližně nahradit funkci f(x) součtem několika prvních členů mocninné řady, tedy polynomem. Takové nahrazení funkce poměrně jednoduchým výrazem - polynomem - je také vhodné při řešení některých problémů matematické analýzy, a to: při řešení integrálů, při výpočtu diferenciálních rovnic atd.
Bylo dokázáno, že pro nějakou funkci f(х), kde derivace až do (n+1)-tého řádu, včetně posledního, lze vypočítat v okolí (α - R; x0 + R) nějakého bodu x=α platí vzorec:
Tento vzorec je pojmenován po slavném vědci Brooku Taylorovi. Série, která je získána z předchozí, se nazývá řada Maclaurin:
Pravidlo, které umožňuje rozšíření v sérii Maclaurin:
- Určete deriváty prvního, druhého, třetího… řádu.
- Vypočítejte, čemu se rovnají derivace v x=0.
- Zaznamenejte Maclaurinovu řadu pro tuto funkci a poté určete interval její konvergence.
- Určete interval (-R;R), kde je zbytek Maclaurinova vzorce
R (x) -> 0 pro n -> nekonečno. Pokud nějaká existuje, funkce f(x) v ní se musí shodovat se součtem Maclaurinovy řady.
Nyní zvažte řadu Maclaurin pro jednotlivé funkce.
1. Takže první bude f(x)=ex. Samozřejmě, podle svých vlastností má taková funkce derivace různých řádů a f(k)(x)=ex, kde k se rovná všem přirozená čísla. Dosadíme x=0. Dostaneme f(k)(0)=e0=1, k=1, 2… by vypadalo takto:
2. Maclaurinova řada pro funkci f(x)=sin x. Okamžitě objasněte, že funkce pro všechny neznámé bude mít derivace, kromě f'(x)=cos x=sin(x+n/2), f '' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f(k)(x)=sin(x+k n/2), kde k se rovná libovolnému přirozenému číslu. To znamená, že po provedení jednoduchých výpočtů můžeme dojít k závěru, že řada pro f(x)=sin x bude vypadat takto:
3. Nyní zkusme uvažovat funkci f(x)=cos x. Je pro všechno neznámémá deriváty libovolného řádu a |f(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Opět, po několika výpočtech, dostaneme, že řada pro f(x)=cos x bude vypadat takto:
Vypsali jsme tedy nejdůležitější funkce, které lze v řadě Maclaurin rozšířit, ale u některých funkcí jsou doplněny řadou Taylor. Nyní si je uvedeme. Za zmínku také stojí, že Taylorovy a Maclaurinovy řady jsou důležitou součástí nácviku řešení řad ve vyšší matematice. Takže série Taylor.
1. První bude řada pro f-ii f(x)=ln(1+x). Stejně jako v předchozích příkladech, pokud máme f (x)=ln (1 + x), můžeme přidat řadu pomocí obecného tvaru Maclaurinovy řady. pro tuto funkci však lze řadu Maclaurin získat mnohem jednodušeji. Po integraci určité geometrické řady dostaneme řadu pro f(x)=ln(1+x) tohoto vzorku:
2. A druhá, která bude v našem článku konečná, bude řada pro f (x) u003d arctg x. Pro x patřící do intervalu [-1;1] platí rozšíření:
To je ono. Tento článek zkoumal nejběžněji používané Taylorovy a Maclaurinovy řady ve vyšší matematice, zejména na ekonomických a technických univerzitách.
