Po přečtení materiálu čtenář pochopí, že planimetrie není vůbec obtížná. Článek poskytuje nejdůležitější teoretické informace a vzorce nutné pro řešení konkrétních problémů. Důležité údaje a vlastnosti obrázků jsou umístěny na policích.
Definice a důležitá fakta
Planimetrie je odvětví geometrie, které uvažuje objekty na plochém dvourozměrném povrchu. Některé vhodné příklady lze identifikovat: čtverec, kruh, kosočtverec.
Mimo jiné stojí za to zvýraznit bod a čáru. Jsou to dva základní koncepty planimetrie.
Vše ostatní je na nich již postaveno, například:
- Segment je část přímky ohraničené dvěma body.
- Paprsek je objekt podobný segmentu, má však ohraničení pouze na jedné straně.
- Úhel, který se skládá ze dvou paprsků vycházejících ze stejného bodu.
Axiomy a věty
Pojďme se na axiomy podívat blíže. V planimetrii jsou to nejdůležitější pravidla, podle kterých funguje celá věda. Ano, a nejen v něm. Podlepodle definice se jedná o prohlášení, která nevyžadují důkaz.
Axiomy, o kterých bude řeč níže, jsou součástí takzvané euklidovské geometrie.
- Jsou tam dvě tečky. Vždy jimi lze nakreslit jednu čáru.
- Pokud čára existuje, pak existují body, které na ní leží, a body, které na ní neleží.
Tato 2 prohlášení se nazývají axiomy členství a následující jsou v pořadí:
- Pokud jsou na přímce tři body, pak jeden z nich musí být mezi ostatními dvěma.
- Rovina je rozdělena libovolnou přímkou na dvě části. Když konce segmentu leží na jedné polovině, pak k němu patří celý objekt. Jinak původní čára a segment mají průsečík.
Axiomy opatření:
- Každý segment má nenulovou délku. Pokud jej bod rozdělí na několik částí, jejich součet se bude rovnat celé délce objektu.
- Každý úhel má určitý stupeň, který se nerovná nule. Pokud jej rozdělíte paprskem, bude počáteční úhel roven součtu vytvořených.
Paralelní:
Na rovině je přímka. Přes kterýkoli bod, který do něj nepatří, lze nakreslit pouze jednu přímku rovnoběžnou s daným bodem
Věty v planimetrii již nejsou zcela zásadními tvrzeními. Obvykle jsou přijímány jako fakt, ale každý z nich má důkaz postavený na základních pojmech zmíněných výše. Kromě toho je jich spousta. Rozebrat vše bude docela těžké, ale předložený materiál něco obsahovat budez nich.
Následující dvě stojí za to, abyste si ji včas vyzkoušeli:
- Součet sousedních úhlů je 180 stupňů.
- Svislé úhly mají stejnou hodnotu.
Tyto dvě věty mohou být užitečné při řešení geometrických problémů souvisejících s n-úhelníky. Jsou docela jednoduché a intuitivní. Stojí za to si je zapamatovat.
Trojúhelníky
Trojúhelník je geometrický útvar skládající se ze tří za sebou spojených segmentů. Jsou klasifikovány podle několika kritérií.
Po stranách (poměry vyplývají z názvů):
- Rovnostranné.
- Rovnoramenné – dvě strany a opačné úhly jsou stejné.
- Versatile.
V rozích:
- acute-angled;
- rectangular;
- tupý.
Dva rohy budou vždy ostré bez ohledu na situaci a třetí je určen první částí slova. To znamená, že pravoúhlý trojúhelník má jeden z úhlů rovný 90 stupňům.
Vlastnosti:
- Čím větší úhel, tím větší protější strana.
- Součet všech úhlů je 180 stupňů.
- Plochu lze vypočítat pomocí vzorce: S=½ ⋅ h ⋅ a, kde a je strana, h je výška k ní nakreslená.
- Vždy můžete vepsat kruh do trojúhelníku nebo jej popsat kolem něj.
Jedním ze základních vzorců planimetrie je Pythagorova věta. Funguje výhradně pro pravoúhlý trojúhelník a zní takto: čtverecpřepona je rovna součtu čtverců nohou: AB2 =AC2 + BC2.
Přepona je strana protilehlá úhlu 90° a nohy jsou sousední stranou.
Kvadagony
Informací na toto téma je mnoho. Níže jsou uvedeny jen ty nejdůležitější.
Některé odrůdy:
- Paralelogram - protilehlé strany jsou stejné a rovnoběžné ve dvojicích.
- Rhombus je rovnoběžník, jehož strany jsou stejně dlouhé.
- Obdélník – rovnoběžník se čtyřmi pravými úhly
- Čtverec je kosočtverec i obdélník.
- Lichoběžník – pouze dvě protilehlé strany jsou rovnoběžné.
Vlastnosti:
- Součet vnitřních úhlů je 360 stupňů.
- Plochu lze vždy vypočítat pomocí vzorce: S=√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d), kde p je polovina obvodu, a, b, c, d jsou strany obrázek.
- Pokud lze kruh popsat kolem čtyřúhelníku, pak tomu říkám konvexní, pokud ne - nekonvexní.
