Je nepravděpodobné, že by mnoho lidí přemýšlelo o tom, zda je možné vypočítat události, které jsou více či méně náhodné. Jednoduše řečeno, je reálné vědět, která strana kostky vypadne jako další? Právě tuto otázku si položili dva velcí vědci, kteří položili základ takové vědě, jako je teorie pravděpodobnosti, ve které se pravděpodobnost události poměrně rozsáhle studuje.
Původ
Pokud se pokusíte definovat takový koncept jako teorii pravděpodobnosti, dostanete následující: toto je jedno z odvětví matematiky, které studuje stálost náhodných událostí. Tento koncept samozřejmě neodhaluje ve skutečnosti celou podstatu, a proto je nutné jej zvážit podrobněji.
Rád bych začal s tvůrci teorie. Jak již bylo zmíněno výše, byli dva, jedná se o Pierra Fermata a Blaise Pascala. Byli to oni, kdo se mezi prvními pokusil vypočítat výsledek události pomocí vzorců a matematických výpočtů. Celkově se základy této vědy objevily již v rStředověk. V té době se různí myslitelé a vědci pokoušeli analyzovat hazardní hry, jako je ruleta, kostky a tak dále, a tím stanovit vzorec a procento vypadnutí určitého čísla. Základ byl položen v sedmnáctém století výše zmíněnými vědci.
Zpočátku jejich práce nemohla být připisována velkým úspěchům v této oblasti, protože vše, co dělali, byla pouze empirická fakta a experimenty byly nastaveny vizuálně, bez použití vzorců. Postupem času se ukázalo, že dosahuje skvělých výsledků, které se objevily v důsledku pozorování hodu kostkami. Byl to tento nástroj, který pomohl odvodit první srozumitelné vzorce.
Spolupracovníci
Není možné nezmínit takového člověka, jako je Christian Huygens, v procesu studia tématu zvaného „teorie pravděpodobnosti“(pravděpodobnost události je pokryta právě touto vědou). Tato osoba je velmi zajímavá. Stejně jako výše uvedení vědci se pokusil odvodit pravidelnost náhodných událostí ve formě matematických vzorců. Je pozoruhodné, že to nedělal společně s Pascalem a Fermatem, to znamená, že všechna jeho díla se s těmito myšlenkami nijak neprolínala. Huygens odvodil základní pojmy teorie pravděpodobnosti.
Zajímavým faktem je, že jeho práce vyšly dávno před výsledky práce průkopníků, respektive o dvacet let dříve. Mezi označenými koncepty jsou nejznámější:
- koncept pravděpodobnosti jako velikosti náhody;
- očekávání diskrétnostipřípady;
- teorémy násobení a sčítání pravděpodobností.
Není možné si také nevzpomenout na Jacoba Bernoulliho, který také významně přispěl ke studiu problému. Provedením vlastních testů, nezávislých na nikom, se mu podařilo předložit důkaz zákona velkých čísel. Na druhé straně vědci Poisson a Laplace, kteří pracovali na začátku devatenáctého století, byli schopni dokázat původní teorémy. Od tohoto okamžiku se teorie pravděpodobnosti začala používat k analýze chyb v průběhu pozorování. Tuto vědu nemohli obejít ani ruští vědci, respektive Markov, Čebyšev a Djapunov. Na základě práce velkých géniů zafixovali tento předmět jako obor matematiky. Tyto figury fungovaly již na konci devatenáctého století a díky jejich přispění vznikly fenomény jako:
- zákon velkých čísel;
- Teorie Markovského řetězce;
- centrální limitní teorém.
S historií zrodu vědy a s hlavními lidmi, kteří ji ovlivnili, je tedy vše víceméně jasné. Nyní je čas konkretizovat všechna fakta.
Základní pojmy
Než se dotkneme zákonů a vět, stojí za to si prostudovat základní pojmy teorie pravděpodobnosti. Akce v něm hraje hlavní roli. Toto téma je poměrně obsáhlé, ale bez něj nebude možné porozumět všemu ostatnímu.
Událostí v teorii pravděpodobnosti je jakýkoli soubor výsledků experimentu. Konceptů tohoto fenoménu není tolik. Takže, vědci Lotmane,pracující v této oblasti řekl, že v tomto případě mluvíme o něčem, co se „stalo, i když se to nemuselo stát“.
Náhodné události (teorie pravděpodobnosti jim věnuje zvláštní pozornost) je koncept, který implikuje absolutně jakýkoli jev, který má schopnost nastat. Nebo naopak tento scénář nemusí nastat, když je splněno mnoho podmínek. Rovněž stojí za to vědět, že jsou to náhodné události, které zachycují celý objem jevů, ke kterým došlo. Teorie pravděpodobnosti naznačuje, že všechny podmínky se mohou neustále opakovat. Bylo to jejich chování, které se nazývalo „zkušenost“nebo „test“.
Určitá událost je taková, která se 100% stane v daném testu. Nemožná událost je tedy taková, která nenastane.
Kombinace dvojice akcí (konvenčně případ A a případ B) je jev, který se vyskytuje současně. Jsou označeny jako AB.
Součet dvojic jevů A a B je C, jinými slovy, pokud se stane alespoň jeden z nich (A nebo B), dostaneme C. Vzorec popsaného jevu je zapsán následovně: C=A + B.
Disjunktní události v teorii pravděpodobnosti znamenají, že dva případy se vzájemně vylučují. Nikdy se nemohou stát současně. Společné události v teorii pravděpodobnosti jsou jejich antipodem. To znamená, že pokud se stalo A, pak to neinterferuje s B.
Opačné události (teorie pravděpodobnosti se jimi zabývá velmi podrobně) jsou snadno pochopitelné. Nejlepší je se s nimi vypořádat ve srovnání. Jsou téměř stejné jakoa neslučitelné události v teorii pravděpodobnosti. Ale jejich rozdíl spočívá v tom, že jeden z mnoha jevů se stejně musí stát.
Ekvivalentní události jsou akce, jejichž pravděpodobnost je stejná. Aby to bylo jasnější, můžeme si představit házení mince: pád jedné z jejích stran je stejně pravděpodobné, že spadne i druhá.
Příznivá událost je lépe vidět na příkladu. Řekněme, že existuje epizoda B a epizoda A. První je hod kostkou s lichým číslem a druhou je výskyt čísla pět na kostce. Pak se ukáže, že A dává přednost B.
Nezávislé události v teorii pravděpodobnosti se promítají pouze do dvou nebo více případů a znamenají nezávislost jakékoli akce na jiné. Například A je ztráta ocasů, když je vhozena mince, a B je vytažení jacka z balíčku. Jsou to nezávislé události v teorii pravděpodobnosti. V tuto chvíli to bylo jasnější.
Závislé události v teorii pravděpodobnosti jsou také přípustné pouze pro jejich množinu. Naznačují závislost jednoho na druhém, to znamená, že jev B může nastat pouze tehdy, pokud A již nastal nebo naopak nenastal, když je to hlavní podmínka pro B.
Výsledkem náhodného experimentu sestávajícího z jedné složky jsou elementární události. Teorie pravděpodobnosti vysvětluje, že se jedná o jev, který se stal pouze jednou.
Základní vzorce
Takže pojmy „událost“, „teorie pravděpodobnosti“,byla uvedena i definice základních pojmů této vědy. Nyní je čas seznámit se přímo s důležitými vzorci. Tyto výrazy matematicky potvrzují všechny hlavní pojmy v tak obtížném předmětu, jakým je teorie pravděpodobnosti. Pravděpodobnost události zde také hraje obrovskou roli.
Začněte raději základními vzorci kombinatoriky. A než k nim přistoupíte, stojí za to zvážit, co to je.
Kombinatorika je především odvětvím matematiky, zabývá se studiem velkého množství celých čísel a také různými permutacemi jak čísel samotných, tak jejich prvků, různých dat atd., vedoucích ke vzniku tzv. řadu kombinací. Kromě teorie pravděpodobnosti je toto odvětví důležité pro statistiku, informatiku a kryptografii.
Nyní tedy můžeme přejít k prezentaci samotných vzorců a jejich definování.
První bude výraz pro počet permutací, vypadá takto:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Rovnice platí pouze v případě, že se prvky liší pouze v pořadí.
Nyní bude zvažován vzorec umístění, vypadá takto:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Tento výraz platí nejen pro pořadí prvku, ale také pro jeho složení.
Třetí a zároveň poslední rovnice z kombinatoriky se nazývá vzorec pro počet kombinací:
C_n^m=n !: ((n -m))!:m !
Kombinace jsou výběry, které nejsou seřazené, a toto pravidlo se na ně vztahuje.
Ukázalo se, že je snadné přijít na vzorce kombinatoriky, nyní můžeme přejít ke klasické definici pravděpodobností. Tento výraz vypadá takto:
P(A)=m: n.
V tomto vzorci je m počet podmínek příznivých pro událost A a n je počet absolutně všech stejně možných a elementárních výsledků.
Výrazů je velké množství, článek nepokryje všechny, ale dotkne se toho nejdůležitějšího z nich, jako je například pravděpodobnost součtu událostí:
P(A + B)=P(A) + P(B) – tato věta je pro přidání pouze nekompatibilních událostí;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - a toto je pro přidání pouze kompatibilních.
Pravděpodobnost produkce událostí:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – tato věta platí pro nezávislé události;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) – a tohle je pro narkomani.
Vzorec události ukončí seznam. Teorie pravděpodobnosti nám říká o Bayesově teorému, který vypadá takto:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
V tomto vzorci je H1, H2, …, H kompletní skupina hypotéz.
Zastavme se zde, poté budou zváženy příklady použití vzorců k řešení konkrétních problémů z praxe.
Příklady
Pokud si pečlivě prostudujete kteroukoli částmatematiky, neobejde se bez cvičení a vzorových řešení. Stejně tak teorie pravděpodobnosti: události, příklady zde tvoří nedílnou součást, která potvrzuje vědecké výpočty.
Vzorec pro počet permutací
Řekněme, že v balíčku karet je třicet karet, počínaje nominální hodnotou jedna. Další otázka. Kolika způsoby je možné naskládat balíček tak, aby karty s nominální hodnotou jedna a dvě nebyly vedle sebe?
Úkol byl zadán, nyní přejdeme k jeho řešení. Nejprve musíte určit počet permutací třiceti prvků, k tomu použijeme výše uvedený vzorec, ukáže se P_30=30!.
Na základě tohoto pravidla zjistíme, kolik je možností, jak balíček poskládat různými způsoby, ale musíme od nich odečíst ty, ve kterých jsou na řadě první a druhá karta. Chcete-li to provést, začněme s možností, když je první nad druhou. Ukazuje se, že první karta může obsadit dvacet devět míst - od prvního do dvacátého devátého a druhá karta od druhého do třicátého, vyjde to na dvacet devět míst pro dvojici karet. Zbytek může obsadit osmadvacet míst a v libovolném pořadí. To znamená, že pro permutaci dvaceti osmi karet existuje dvacet osm možností P_28=28!
Výsledkem je, že pokud zvážíme řešení, když první karta převyšuje druhou, existuje 29 ⋅ 28 možností navíc!=29!
Pomocí stejné metody musíte vypočítat počet redundantních možností pro případ, kdy je první karta pod druhou. Ukazuje se také 29 ⋅ 28!=29!
Z toho vyplývá, že existují 2 ⋅ 29 dalších možností!, zatímco existuje 30 požadovaných způsobů, jak sestavit balíček! - 2 ⋅ 29!. Zbývá jen počítat.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Nyní je potřeba vynásobit všechna čísla od jedné do dvaceti devíti dohromady a na konci vše vynásobit 28. Odpověď je 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Řešení příkladu. Vzorec pro číslo umístění
V tomto problému musíte zjistit, kolika způsoby existuje, jak umístit patnáct svazků na jednu polici, ale pod podmínkou, že jich bude celkem třicet.
Tento problém má o něco jednodušší řešení než ten předchozí. Pomocí již známého vzorce je nutné vypočítat celkový počet lokací ze třiceti svazků po patnácti.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 1307 09
Odpověď bude 202 843 204 931 727 360 000.
Teď si vezmeme úkol trochu těžší. Musíte zjistit, kolik způsobů existuje, jak uspořádat třicet knih na dvě police, za předpokladu, že na jednu polici může být pouze patnáct svazků.
Před zahájením řešení bych rád objasnil, že některé problémy se řeší několika způsoby, takže v tomto existují dva způsoby, ale v obou je použit stejný vzorec.
V tomto problému můžete převzít odpověď z předchozího, protože tam jsme vypočítali, kolikrát můžete naplnit polici patnácti knihami za-jinak. Ukázalo se A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Druhou polici vypočítáme pomocí permutačního vzorce, protože je v ní umístěno patnáct knih a zbývá pouze patnáct. Použijte vzorec P_15=15!.
Ukazuje se, že součet bude A_30^15 ⋅ P_15 způsobů, ale navíc součin všech čísel od třiceti do šestnácti bude muset být vynásoben součinem čísel od jedné do patnácti, protože výsledkem je součin všech čísel od jedné do třiceti, takže odpověď je 30!
Tento problém lze ale vyřešit i jinak – snadněji. K tomu si můžete představit, že je tam jedna police na třicet knih. Všechny jsou umístěny na této rovině, ale protože podmínka vyžaduje, aby tam byly dvě police, jednu dlouhou rozřízneme napůl, vyjde nám každá dvě patnáctky. Z toho vyplývá, že možnosti umístění mohou být P_30=30!.
Řešení příkladu. Vzorec pro číslo kombinace
Nyní se podíváme na variantu třetího problému z kombinatoriky. Musíte zjistit, kolik způsobů existuje, jak uspořádat patnáct knih, za předpokladu, že si musíte vybrat ze třiceti naprosto stejných.
Pro řešení se samozřejmě použije vzorec pro počet kombinací. Z podmínky je zřejmé, že pořadí stejných patnácti knih není důležité. Nejprve tedy musíte zjistit celkový počet kombinací třiceti knih po patnácti.
C_30^15=30!: ((30-15))!: patnáct !=155 117 520
To je ono. Pomocí tohoto vzorce to bylo možné v co nejkratším časevyřešit takový problém, odpověď je 155 117 520.
Řešení příkladu. Klasická definice pravděpodobnosti
Pomocí výše uvedeného vzorce můžete najít odpověď na jednoduchý problém. Ale pomůže vám to vizuálně vidět a sledovat průběh akcí.
V problému je dáno, že v urně je deset naprosto stejných míčků. Z toho jsou čtyři žluté a šest modrých. Z urny se odebere jeden míček. Musíte zjistit pravděpodobnost, že zmodráte.
Pro vyřešení problému je nutné označit získání modrého míčku jako událost A. Tato zkušenost může mít deset výsledků, které jsou naopak elementární a stejně pravděpodobné. Přitom z deseti je šest příznivých pro událost A. Řešíme podle vzorce:
P(A)=6: 10=0, 6
Použitím tohoto vzorce jsme zjistili, že pravděpodobnost získání modré koule je 0,6.
Řešení příkladu. Pravděpodobnost součtu událostí
Nyní bude prezentována varianta, která je řešena pomocí vzorce pro pravděpodobnost součtu událostí. Takže za předpokladu, že jsou dvě krabice, první obsahuje jednu šedou a pět bílých kuliček a druhá obsahuje osm šedých a čtyři bílé koule. V důsledku toho byl jeden z nich odebrán z první a druhé krabice. Musíte zjistit, jaká je šance, že koule, které získáte, budou šedé a bílé.
Abyste tento problém vyřešili, musíte události označit štítkem.
- Takže, A – vezměte si šedý míček z prvního pole: P(A)=1/6.
- A’ – vezměte bílou kouli také z prvního pole: P(A')=5/6.
- B – šedá koule již byla vyjmuta z druhého boxu: P(B)=2/3.
- B’ – vezměte šedý míček z druhého pole: P(B')=1/3.
Podle stavu problému musí nastat jeden z jevů: AB' nebo A'B. Pomocí vzorce dostaneme: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Nyní byl použit vzorec pro násobení pravděpodobnosti. Dále, abyste zjistili odpověď, musíte použít rovnici pro jejich sčítání:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
Takto můžete pomocí vzorce vyřešit podobné problémy.
Výsledek
Článek poskytl informace na téma „Teorie pravděpodobnosti“, ve kterém hraje klíčovou roli pravděpodobnost události. Samozřejmě nebylo zohledněno vše, ale na základě předloženého textu se lze teoreticky seznámit s touto částí matematiky. Daná věda může být užitečná nejen v profesionální práci, ale i v běžném životě. S jeho pomocí můžete vypočítat jakoukoli možnost jakékoli události.
Text se také dotkl významných dat v historii formování teorie pravděpodobnosti jako vědy a jmen lidí, jejichž díla do ní byla investována. Tak vedla lidská zvědavost k tomu, že se lidé naučili počítat i náhodné události. Kdysi je to jen zajímalo, ale dnes už o tom ví každý. A nikdo neřekne, co nás čeká v budoucnu, jaké další brilantní objevy související s uvažovanou teorií budou učiněny. Ale jedna věc je jistá – výzkum nestojí na místě!
