Mnozí, kteří čelí konceptu „teorie pravděpodobnosti“, jsou vyděšení, protože si myslí, že jde o něco ohromujícího, velmi složitého. Ale ve skutečnosti to není tak tragické. Dnes se podíváme na základní koncept teorie pravděpodobnosti, naučíme se řešit problémy pomocí konkrétních příkladů.
Věda
Co studuje takový obor matematiky jako „teorie pravděpodobnosti“? Zaznamenává vzorce náhodných událostí a veličin. Vědci se o tuto problematiku poprvé začali zajímat již v osmnáctém století, kdy studovali hazardní hry. Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je událost. Je to jakákoli skutečnost, která je zjišťována zkušeností nebo pozorováním. Ale co je to zkušenost? Další základní koncept teorie pravděpodobnosti. Znamená to, že tato skladba okolností nevznikla náhodou, ale za určitým účelem. Co se týče pozorování, zde se výzkumník sám neúčastní experimentu, ale je prostě svědkem těchto událostí, nijak neovlivňuje dění.
Události
Zjistili jsme, že základním konceptem teorie pravděpodobnosti je událost, ale nezohlednili jsme klasifikaci. Všechny jsou rozděleny do následujících kategorií:
- Spolehlivý.
- Nemožné.
- Náhodné.
Nezáleží na tomjaké události jsou pozorovány nebo vytvářeny v průběhu zkušenosti, všechny podléhají této klasifikaci. Nabízíme seznámení s každým z druhů zvlášť.
Určitá událost
Toto je okolnost, před níž byl přijat nezbytný soubor opatření. Pro lepší pochopení podstaty je lepší uvést pár příkladů. Fyzika, chemie, ekonomie a vyšší matematika podléhají tomuto zákonu. Teorie pravděpodobnosti zahrnuje tak důležitý pojem, jako je určitá událost. Zde je několik příkladů:
- Pracujeme a dostáváme odměnu ve formě mzdy.
- Složili jsme dobře zkoušky, uspěli v soutěži, za to dostáváme odměnu v podobě přijetí do vzdělávací instituce.
- Vložili jsme peníze do banky, v případě potřeby je vrátíme.
Takové události jsou spolehlivé. Pokud jsme splnili všechny potřebné podmínky, pak se určitě dočkáme očekávaného výsledku.
Nemožné události
Nyní uvažujeme o prvcích teorie pravděpodobnosti. Navrhujeme přejít k vysvětlení dalšího typu události, totiž nemožné. Nejprve si upřesněme nejdůležitější pravidlo – pravděpodobnost nemožné události je nula.
Při řešení problémů se nemůžete odchýlit od tohoto znění. Pro objasnění uvádíme příklady takových událostí:
- Voda zamrzla na plus deset (to není možné).
- Nedostatek elektřiny nijak neovlivňuje výrobu (stejně nemožné jako v předchozím příkladu).
Další příkladyNemá cenu to citovat, protože výše popsané velmi jasně odrážejí podstatu této kategorie. Nemožná událost se během zážitku za žádných okolností nikdy nestane.
Náhodné události
Při studiu prvků teorie pravděpodobnosti je třeba věnovat zvláštní pozornost tomuto konkrétnímu typu události. To je to, co věda studuje. V důsledku zkušeností se něco může stát, ale také nemusí. Test lze navíc neomezeně opakovat. Živé příklady jsou:
- Hození mincí je zážitek nebo zkouška, kurz je událost.
- Slepé vytažení míče z pytle je test, chycení červeného míčku je událost a tak dále.
Takových příkladů může být neomezený počet, ale obecně by podstata měla být jasná. Pro shrnutí a systematizaci získaných poznatků o událostech je uvedena tabulka. Teorie pravděpodobnosti studuje pouze poslední typ ze všech prezentovaných.
| title | definition | example |
| Spolehlivý | Události, které nastanou se 100% zárukou za určitých podmínek. | Přijetí do vzdělávací instituce s dobrou přijímací zkouškou. |
| Nemožné | Události, které se za žádných okolností nikdy nestanou. | Sněží při teplotě plus třicet stupňů Celsia. |
| Náhodný | Událost, která může, ale nemusí nastat během experimentu/testu. | Zásah nebo útěk při házení basketbalového míče do koše. |
Zákony
Teorie pravděpodobnosti je věda, která studuje možnost výskytu nějaké události. Stejně jako ostatní má určitá pravidla. Existují následující zákony teorie pravděpodobnosti:
- Konvergence posloupností náhodných proměnných.
- Zákon velkých čísel.
Při výpočtu možnosti komplexu můžete použít komplex jednoduchých událostí k dosažení výsledku jednodušším a rychlejším způsobem. Všimněte si, že zákony teorie pravděpodobnosti lze snadno dokázat pomocí některých teorémů. Začněme prvním zákonem.
Konvergence posloupností náhodných proměnných
Všimněte si, že existuje několik typů konvergence:
- Posloupnost náhodných proměnných konverguje v pravděpodobnosti.
- Téměř nemožné.
- Konvergence RMS.
- Konvergence v distribuci.
Za běhu je tedy velmi těžké dostat se na kloub. Zde je několik definic, které vám pomohou porozumět tomuto tématu. Začněme prvním pohledem. Posloupnost se nazývá konvergentní z hlediska pravděpodobnosti, pokud je splněna následující podmínka: n směřuje k nekonečnu, číslo, ke kterému posloupnost směřuje, je větší než nula a blízké jedné.
Přechod na další zobrazení, téměř jistě. Říká se, žeposloupnost téměř jistě konverguje k náhodné proměnné, kde n směřuje k nekonečnu a P směřuje k hodnotě blízké jedné.
Dalším typem je konvergence střední hodnoty. Při použití SC-konvergence je studium vektorových náhodných procesů redukováno na studium jejich souřadnicových náhodných procesů.
Zbývá poslední typ, pojďme se na něj krátce podívat, abychom mohli přejít přímo k řešení problémů. Distribuční konvergence má jiný název - „slabá“, níže vysvětlíme proč. Slabá konvergence je konvergence distribučních funkcí ve všech bodech spojitosti limitní distribuční funkce.
Ujistěte se, že splníte slib: slabá konvergence se liší od všech výše uvedených v tom, že náhodná proměnná není definována v prostoru pravděpodobnosti. To je možné, protože podmínka je tvořena výhradně pomocí distribučních funkcí.
Zákon velkých čísel
Výbornými pomocníky při dokazování tohoto zákona budou věty teorie pravděpodobnosti, jako například:
- Čebyševova nerovnost.
- Čebyševova věta.
- Zobecněná Čebyševova věta.
- Markovův teorém.
Pokud vezmeme v úvahu všechny tyto věty, pak se tato otázka může protáhnout na několik desítek listů. Naším hlavním úkolem je aplikovat teorii pravděpodobnosti v praxi. Zveme vás, abyste to udělali právě teď. Předtím se však podívejme na axiomy teorie pravděpodobnosti, které budou hlavními pomocníky při řešení problémů.
Axiomy
S prvním jsme se již setkali, když jsme mluvili o nemožné události. Připomeňme si: pravděpodobnost nemožné události je nulová. Uvedli jsme velmi názorný a nezapomenutelný příklad: sněžilo při teplotě vzduchu třicet stupňů Celsia.
To druhé zní takto: spolehlivá událost nastane s pravděpodobností rovnou jedné. Nyní si ukážeme, jak to napsat pomocí matematického jazyka: P(B)=1.
Za třetí: Náhodná událost může, ale nemusí nastat, ale možnost se vždy pohybuje od nuly do jedné. Čím blíže je hodnota k jedné, tím větší je šance; pokud se hodnota blíží nule, je pravděpodobnost velmi nízká. Napišme to v matematickém jazyce: 0<Р(С)<1.
Uvažujme poslední, čtvrtý axiom, který zní takto: pravděpodobnost součtu dvou událostí se rovná součtu jejich pravděpodobností. Píšeme v matematickém jazyce: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Axiomy teorie pravděpodobnosti jsou nejjednodušší pravidla, která se snadno pamatují. Pokusme se vyřešit některé problémy na základě již získaných znalostí.
los do loterie
Nejprve zvažte nejjednodušší příklad – loterii. Představte si, že jste si koupili jeden los pro štěstí. Jaká je pravděpodobnost, že vyhrajete alespoň dvacet rublů? Celkem se oběhu účastní tisíc lístků, z nichž jeden má cenu pět set rublů, deset ze sta rublů, padesát z dvaceti rublů a sto pět. Problémy v teorii pravděpodobnosti jsou založeny na hledání možnostiHodně štěstí. Nyní společně analyzujeme řešení výše uvedeného úkolu.
Pokud písmenem A označíme výhru pět set rublů, pak pravděpodobnost získání A bude 0,001. Jak jsme ji získali? Stačí vydělit počet "šťastných" tiketů jejich celkovým počtem (v tomto případě: 1/1000).
B je výhra sto rublů, pravděpodobnost bude 0,01. Nyní jsme postupovali podle stejného principu jako v předchozí akci (10/1000)
C - výhry se rovnají dvaceti rublům. Najděte pravděpodobnost, rovná se 0,05.
Zbytek vstupenek nás nezajímá, protože jejich cenový fond je nižší než ten, který je uveden v podmínce. Aplikujme čtvrtý axiom: Pravděpodobnost výhry alespoň dvaceti rublů je P(A)+P(B)+P(C). Písmeno P označuje pravděpodobnost výskytu této události, našli jsme je již v předchozích krocích. Zbývá pouze doplnit potřebné údaje, v odpovědi dostaneme 0, 061. Toto číslo bude odpovědí na otázku zadání.
Sada karet
Úlohy teorie pravděpodobnosti mohou být složitější, vezměte si například následující úkol. Před vámi je balíček třiceti šesti karet. Vaším úkolem je líznout si dvě karty za sebou, aniž byste zamíchali hromádku, první a druhá karta musí být esa, na barvě nezáleží.
Nejprve najdeme pravděpodobnost, že první kartou bude eso, proto vydělíme čtyři třiceti šesti. Dali to stranou. Vytahujeme druhou kartu, bude to eso s pravděpodobností tři pětatřicet. Pravděpodobnost druhé události závisí na tom, kterou kartu jsme si vytáhli jako první, která nás zajímábylo to eso nebo ne. Z toho vyplývá, že událost B závisí na události A.
Dalším krokem je nalezení pravděpodobnosti simultánní implementace, to znamená, že vynásobíme A a B. Jejich součin zjistíme následovně: pravděpodobnost jedné události se vynásobí podmíněnou pravděpodobností druhé, kterou vypočteme, za předpokladu, že došlo k první události, to znamená, že s první kartou jsme si vytáhli eso.
Aby bylo vše jasné, označme takový prvek jako podmíněná pravděpodobnost události. Vypočítá se za předpokladu, že událost A nastala. Vypočteno takto: P(B/A).
Pokračujte v řešení našeho problému: P(AB)=P(A)P(B/A) nebo P (AB)=P(B)P(A/B). Pravděpodobnost je (4/36)((3/35)/(4/36). Počítejte zaokrouhlením na setiny. Máme: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Pravděpodobnost, že vytáhneme dvě esa v řadě, je devět setin Hodnota je velmi malá, z toho vyplývá, že pravděpodobnost výskytu události je extrémně malá.
Zapomenuté číslo
Navrhujeme analyzovat několik dalších možností pro úlohy, které studuje teorie pravděpodobnosti. Příklady řešení některých z nich jste již viděli v tomto článku, zkusme vyřešit následující problém: chlapec zapomněl poslední číslici telefonního čísla svého přítele, ale protože hovor byl velmi důležitý, začal vše postupně vytáčet. Musíme vypočítat pravděpodobnost, že nezavolá více než třikrát. Řešení problému je nejjednodušší, pokud jsou známa pravidla, zákony a axiomy teorie pravděpodobnosti.
Před sledovánímřešení, zkuste to vyřešit sami. Víme, že poslední číslice může být od nuly do devíti, to znamená, že existuje celkem deset hodnot. Pravděpodobnost získání toho pravého je 1/10.
Dále musíme zvážit možnosti původu události, předpokládejme, že chlapec uhodl správně a okamžitě skóroval správně, pravděpodobnost takové události je 1/10. Druhá možnost: první hovor je miss a druhý je na cíl. Vypočítáme pravděpodobnost takové události: vynásobte 9/10 1/9, ve výsledku také dostaneme 1/10. Třetí možnost: první a druhý hovor se ukázal být na špatné adrese, teprve od třetího se chlapec dostal, kam chtěl. Vypočítáme pravděpodobnost takové události: vynásobíme 9/10 8/9 a 1/8, dostaneme 1/10. Podle stavu problému nás další možnosti nezajímají, zbývá nám tedy sečíst výsledky, ve výsledku máme 3/10. Odpověď: Pravděpodobnost, že chlapec nezavolá více než třikrát, je 0,3.
Karty s čísly
Před vámi je devět karet, na každé je napsáno číslo od jedné do devíti, čísla se neopakují. Byly umístěny do krabice a důkladně promíchány. Musíte vypočítat pravděpodobnost, že
- objeví se sudé číslo;
- dvoumístný.
Než přistoupíme k řešení, stanovíme, že m je počet úspěšných případů a n je celkový počet možností. Najděte pravděpodobnost, že číslo je sudé. Nebude těžké spočítat, že jsou čtyři sudá čísla, toto bude naše m, možností je celkem devět, tedy m=9. Pak pravděpodobnostrovná se 0, 44 nebo 4/9.
Uvažujme druhý případ: počet možností je devět a nemůže dojít k žádnému úspěšnému výsledku, to znamená, že m se rovná nule. Pravděpodobnost, že vytažená karta bude obsahovat dvoumístné číslo, je také nulová.
