Už ve škole se každý z nás učil rovnice a jistě i soustavy rovnic. Málokdo ale ví, že existuje několik způsobů, jak je vyřešit. Dnes si podrobně rozebereme všechny metody řešení soustavy lineárních algebraických rovnic, které se skládají z více než dvou rovností.
Historie
Dnes je známo, že umění řešení rovnic a jejich soustav má svůj původ ve starověkém Babylóně a Egyptě. Rovnosti ve své obvyklé podobě se však objevily poté, co se objevilo rovnítko "=", které bylo zavedeno v roce 1556 anglickým matematikem Recordem. Mimochodem, toto znamení bylo vybráno z nějakého důvodu: znamená dva rovnoběžné stejné segmenty. Ve skutečnosti neexistuje lepší příklad rovnosti.
Zakladatelem moderních písmenných označení neznámých a znaků stupňů je francouzský matematik Francois Viet. Jeho označení se však od dnešních výrazně lišila. Například druhou mocninu neznámého čísla označil písmenem Q (lat. „quadratus“) a krychli písmenem C (lat. „cubus“). Tato označení se nyní zdají nepohodlná, ale pakbyl to nejsrozumitelnější způsob psaní soustav lineárních algebraických rovnic.
Nevýhodou tehdejších metod řešení však bylo, že matematici uvažovali pouze o kladných kořenech. Možná je to způsobeno tím, že záporné hodnoty neměly praktické využití. Tak či onak to byli italští matematici Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano a Rafael Bombelli, kteří jako první začali v 16. století uvažovat o negativních kořenech. A moderní vzhled, hlavní metoda řešení kvadratických rovnic (prostřednictvím diskriminantu), vznikla až v 17. století díky práci Descarta a Newtona.
V polovině 18. století našel švýcarský matematik Gabriel Cramer nový způsob, jak usnadnit řešení soustav lineárních rovnic. Tato metoda byla následně po něm pojmenována a používáme ji dodnes. O Cramerově metodě si ale povíme o něco později, ale zatím budeme diskutovat o lineárních rovnicích a metodách jejich řešení odděleně od systému.
Lineární rovnice
Lineární rovnice jsou nejjednodušší rovnosti s proměnnou (proměnnými). Jsou klasifikovány jako algebraické. Lineární rovnice se zapisují v obecném tvaru takto: 2+…a x =b. Jejich reprezentaci v této podobě budeme potřebovat při další kompilaci systémů a matic.
Systémy lineárních algebraických rovnic
Definice tohoto termínu je tato: je to soubor rovnic, které mají společné neznámé a společné řešení. Ve škole zpravidla o všem rozhodovaly systémyse dvěma nebo dokonce třemi rovnicemi. Existují však systémy se čtyřmi nebo více komponentami. Pojďme nejprve přijít na to, jak je zapsat, aby bylo vhodné je později řešit. Za prvé, systémy lineárních algebraických rovnic budou vypadat lépe, pokud budou všechny proměnné zapsány jako x s příslušným indexem: 1, 2, 3 atd. Za druhé, všechny rovnice by měly být zredukovány na kanonickou formu: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Po všech těchto krocích můžeme začít mluvit o tom, jak najít řešení soustav lineárních rovnic. K tomu budou velmi užitečné matice.
Matrices
Matice je tabulka, která se skládá z řádků a sloupců a její prvky jsou umístěny v jejich průsečíku. Mohou to být buď konkrétní hodnoty, nebo proměnné. Nejčastěji se pro označení prvků pod ně umísťují dolní indexy (například a11 nebo a23). První index znamená číslo řádku a druhý číslo sloupce. Na maticích, stejně jako na jakémkoli jiném matematickém prvku, můžete provádět různé operace. Takže můžete:
1) Odečtěte a sečtěte tabulky stejné velikosti.
2) Vynásobte matici nějakým číslem nebo vektorem.
3) Transponovat: Proměňte řádky matice na sloupce a sloupce na řádky.
4) Vynásobte matice, pokud se počet řádků jedné z nich rovná počtu sloupců druhé.
Všechny tyto techniky probereme podrobněji, protože se nám budou hodit v budoucnu. Odečítání a sčítání matic je velmi snadné. Takkdyž vezmeme matice stejné velikosti, pak každý prvek jedné tabulky odpovídá každému prvku jiné. Tyto dva prvky tedy sečteme (odečteme) (důležité je, aby byly ve svých maticích na stejných místech). Při násobení matice číslem nebo vektorem stačí vynásobit každý prvek matice tímto číslem (nebo vektorem). Transpozice je velmi zajímavý proces. Je velmi zajímavé to někdy vidět v reálu, například při změně orientace tabletu nebo telefonu. Ikony na ploše jsou matice, a když změníte polohu, transponuje se a rozšíří, ale sníží se na výšku.
Pojďme se znovu podívat na takový proces, jako je násobení matic. Sice nám to k ničemu nebude, ale stejně se bude hodit to vědět. Dvě matice můžete násobit pouze v případě, že počet sloupců v jedné tabulce je roven počtu řádků ve druhé. Nyní si vezměme prvky řádku jedné matice a prvky odpovídajícího sloupce jiné matice. Vzájemně je vynásobíme a poté sečteme (tedy např. součin prvků a11 a a12 podle b 12a b22 se bude rovnat: a11b12 + a 12 b22). Získá se tak jeden prvek tabulky a ten se dále vyplní podobnou metodou.
Nyní se můžeme začít zabývat tím, jak se řeší systém lineárních rovnic.
Gaussova metoda
Toto téma začíná procházet už ve škole. Dobře známe pojem "systém dvou lineárních rovnic" a víme, jak je řešit. Ale co když je počet rovnic větší než dvě? Gaussova metoda nám v tom pomůže.
Tuto metodu je samozřejmě vhodné použít, pokud ze systému vytvoříte matici. Ale nemůžete to transformovat a vyřešit to v jeho nejčistší podobě.
Jak tedy tato metoda řeší systém lineárních Gaussových rovnic? Mimochodem, i když je tato metoda pojmenována po něm, byla objevena již ve starověku. Gauss navrhuje následující: provádět operace s rovnicemi, aby se nakonec celá množina zredukovala na stupňovitou formu. To znamená, že je nutné, aby shora dolů (při správném umístění) od první rovnice po poslední ubývala jedna neznámá. Jinými slovy, musíme se ujistit, že dostaneme, řekněme, tři rovnice: v první - tři neznámé, ve druhé - dvě, ve třetí - jedna. Potom z poslední rovnice najdeme první neznámou, dosadíme její hodnotu do druhé nebo první rovnice a poté najdeme zbývající dvě proměnné.
Cramerova metoda
Abyste tuto metodu zvládli, je životně důležité zvládnout dovednosti sčítání, odčítání matic a také musíte umět najít determinanty. Proto, pokud to všechno děláte špatně nebo vůbec neumíte jak, budete se muset učit a cvičit.
Co je podstatou této metody a jak ji udělat tak, aby byl získán systém lineárních Cramerových rovnic? Vše je velmi jednoduché. Matici musíme sestrojit z číselných (téměř vždy) koeficientů soustavy lineárních algebraických rovnic. Chcete-li to provést, jednoduše vezměte čísla před neznámými a uspořádejte jetabulky v pořadí, v jakém jsou zaznamenány v systému. Pokud je před číslem znaménko "-", zapíšeme záporný koeficient. První matici jsme tedy sestavili z koeficientů neznámých, bez čísel za rovnítkem (přirozeně by rovnice měla být zredukována na kanonickou formu, kdy je pouze číslo vpravo a všechny neznámé s koeficienty vlevo). Poté musíte vytvořit několik dalších matic – jednu pro každou proměnnou. K tomu postupně nahradíme každý sloupec koeficienty v první matici sloupcem čísel za rovnítkem. Získáme tedy několik matic a poté najdeme jejich determinanty.
Poté, co jsme našli determinanty, je záležitost malá. Máme počáteční matici a existuje několik výsledných matic, které odpovídají různým proměnným. Abychom získali řešení soustavy, vydělíme determinant výsledné tabulky determinantem počáteční tabulky. Výsledné číslo je hodnota jedné z proměnných. Podobně najdeme všechny neznámé.
Jiné metody
Existuje několik dalších metod, jak získat řešení soustav lineárních rovnic. Například tzv. Gauss-Jordanova metoda, která slouží k hledání řešení soustavy kvadratických rovnic a je spojena i s využitím matic. Existuje také Jacobiho metoda pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Nejsnáze se přizpůsobí počítači a používá se ve výpočetní technice.
Obtížné případy
Ke složitosti obvykle dochází, když je počet rovnic menší než počet proměnných. Pak můžeme s jistotou říci, že buď je soustava nekonzistentní (to znamená, že nemá kořeny), nebo počet jejích řešení tíhne k nekonečnu. Pokud máme druhý případ, musíme zapsat obecné řešení soustavy lineárních rovnic. Bude obsahovat alespoň jednu proměnnou.
Závěr
A jsme na konci. Abychom to shrnuli: analyzovali jsme, co je to systém a matice, naučili jsme se, jak najít obecné řešení systému lineárních rovnic. Kromě toho byly zvažovány další možnosti. Zjistili jsme, jak se řeší soustava lineárních rovnic: Gaussova metoda a Cramerova metoda. Mluvili jsme o složitých případech a dalších způsobech, jak najít řešení.
Ve skutečnosti je toto téma mnohem obsáhlejší, a pokud mu chcete lépe porozumět, doporučujeme vám přečíst si odbornější literaturu.
