Nerovnosti a systémy nerovnic je jedním z témat, která se vyučují na střední škole algebra. Z hlediska obtížnosti není nejtěžší, protože má jednoduchá pravidla (o nich trochu později). Řešení soustav nerovnic se školáci naučí zpravidla celkem snadno. Je to dáno i tím, že učitelé své žáky na toto téma prostě „školí“. A nemohou to udělat, protože se to v budoucnu studuje s využitím jiných matematických veličin a je také kontrolováno pro OGE a Jednotnou státní zkoušku. Ve školních učebnicích je téma nerovnic a soustav nerovnic zpracováno velmi podrobně, takže pokud se to chystáte studovat, pak je nejlepší uchýlit se k nim. Tento článek je pouze parafrází mnoha materiálů a může obsahovat některá opomenutí.
Koncept systému nerovností
Pokud se obrátíme na vědecký jazyk, můžeme definovat pojem „systémnerovnosti". Jedná se o takový matematický model, který představuje několik nerovností. Tento model samozřejmě vyžaduje řešení a bude obecnou odpovědí na všechny nerovnosti systému navrženého v úloze (obvykle se píše takto, např. příklad: "Vyřešte soustavu nerovnic 4 x + 1 > 2 a 30 - x > 6… ").
Systémy nerovnic a soustavy rovnic
V procesu učení se novému tématu často dochází k nedorozuměním. Na jednu stranu je vše jasné a raději bych začal řešit úkoly, na druhou stranu ale některé momenty zůstávají ve „stínu“, není jim dobře rozumět. Také některé prvky již nabytých znalostí se mohou prolínat s novými. V důsledku tohoto překrývání často dochází k chybám.
Před přistoupením k analýze našeho tématu bychom si proto měli připomenout rozdíly mezi rovnicemi a nerovnicemi, jejich systémy. K tomu je třeba si ještě jednou ujasnit, co tyto matematické pojmy jsou. Rovnice je vždy rovnost a vždy se něčemu rovná (v matematice se toto slovo označuje znaménkem "="). Nerovnost je model, ve kterém je jedna hodnota buď větší nebo menší než jiná, nebo obsahuje tvrzení, že nejsou stejné. V prvním případě je tedy na místě hovořit o rovnosti a v druhém, ať už to zní jakkoli zjevněsamotný název, o nerovnosti výchozích údajů. Soustavy rovnic a nerovnic se od sebe prakticky neliší a metody jejich řešení jsou stejné. Jediný rozdíl je v tom, že první používá rovnosti, zatímco druhý používá nerovnosti.
Typy nerovností
Existují dva typy nerovností: numerické a s neznámou proměnnou. Prvním typem jsou hodnoty (čísla), které se navzájem nerovnají, například 8 > 10. Druhým typem jsou nerovnosti obsahující neznámou proměnnou (označené nějakým písmenem latinské abecedy, nejčastěji X). Tuto proměnnou je potřeba najít. Podle toho, kolik jich je, matematický model rozlišuje mezi nerovnostmi s jednou (tvoří systém nerovností s jednou proměnnou) nebo několika proměnnými (tvoří systém nerovností s několika proměnnými).
Poslední dva typy se podle stupně jejich konstrukce a úrovně složitosti řešení dělí na jednoduché a složité. Jednoduché se také nazývají lineární nerovnosti. Ty se zase dělí na přísné a nepřísné. Striktní konkrétně „říkejte“, že jedna hodnota musí být buď méně, nebo více, takže jde o čistou nerovnost. Existuje několik příkladů: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 atd. Mezi nepřísné patří také rovnost. To znamená, že jedna hodnota může být větší nebo rovna jiné hodnotě (znaménko "≧") nebo menší nebo rovna jiné hodnotě (znaménko "≦"). Stále v řaděV nerovnostech proměnná nestojí u kořene, čtverce, není ničím dělitelná, proto se jim říká „jednoduché“. Ke komplexním patří neznámé proměnné, jejichž nalezení vyžaduje více matematických operací. Často jsou ve čtverci, krychli nebo pod odmocninou, mohou být modulární, logaritmické, zlomkové atd. Ale protože naším úkolem je porozumět řešení soustav nerovnic, budeme hovořit o soustavě lineárních nerovnic. Ještě předtím je však třeba říci pár slov o jejich vlastnostech.
Vlastnosti nerovností
Vlastnosti nerovností zahrnují následující ustanovení:
- Znaménko nerovnosti se obrátí, pokud se použije operace pro změnu pořadí stran (například pokud t1 ≦ t2, poté t 2 ≧ t1).
- Obě části nerovnosti vám umožňují přidat k sobě stejné číslo (například pokud t1 ≦ t2, pak t 1 + číslo ≦ t2 + číslo).
- Dvě nebo více nerovností se znaménkem stejného směru vám umožní přidat jejich levou a pravou část (například pokud t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, poté t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Obě části nerovnosti umožňují násobení nebo dělení stejným kladným číslem (například pokud t1 ≦ t2a číslo ≦ 0, poté číslo t1 ≧ číslo t2).
- Umožňují dvě nebo více nerovností, které mají kladné členy a znaménko stejného směrunásobte se navzájem (například pokud t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0 pak t1 t3 ≦ t2 t4).
- Obě části nerovnosti umožňují násobení nebo dělení stejným záporným číslem, ale znaménko nerovnosti se změní (například pokud t1 ≦ t2 a číslo ≦ 0, poté číslo t1 ≧ číslo t2).
- Všechny nerovnosti jsou tranzitivní (například pokud t1 ≦ t2 a t2≦ t3, pak t1 ≦ t3).
Nyní, po prostudování hlavních ustanovení teorie týkající se nerovností, můžeme přistoupit přímo k úvaze o pravidlech pro řešení jejich systémů.
Řešení systémů nerovností. Obecná informace. Řešení
Jak bylo uvedeno výše, řešením jsou hodnoty proměnné, které vyhovují všem nerovnostem daného systému. Řešení soustav nerovnic je implementace matematických operací, které v konečném důsledku vedou k řešení celého systému nebo dokazují, že řešení nemá. V tomto případě se říká, že proměnná odkazuje na prázdnou množinu čísel (zapsáno následovně: písmeno označující proměnnou ∈ (znak „patří“) ø (znak „prázdná množina“), například x ∈ ø (čte se takto: „Proměnná „x“patří do prázdné množiny“). Existuje několik způsobů, jak řešit systémy nerovnic:grafická, algebraická, substituční metoda. Stojí za zmínku, že odkazují na ty matematické modely, které mají několik neznámých proměnných. V případě, že existuje pouze jedna, postačí metoda mezer.
Grafická metoda
Umožňuje vyřešit systém nerovností s několika neznámými (ze dvou nebo více). Díky této metodě je soustava lineárních nerovnic řešena celkem snadno a rychle, jde tedy o nejrozšířenější metodu. Vykreslování totiž snižuje množství zápisu matematických operací. Obzvláště příjemné je udělat si malou pauzu od pera, vzít do ruky tužku s pravítkem a pokračovat v dalších činnostech s jejich pomocí, když bylo vykonáno hodně práce a chcete trochu rozmanitosti. Někomu se však tato metoda nelíbí kvůli tomu, že se musíte od úkolu odtrhnout a přepnout mentální aktivitu na kreslení. Je to však velmi efektivní způsob.
Pro řešení soustavy nerovnic pomocí grafické metody je nutné přenést všechny členy každé nerovnosti na jejich levou stranu. Znaménka se obrátí, nula by měla být napsána vpravo, každá nerovnost by měla být napsána samostatně. V důsledku toho budou funkce získány z nerovností. Poté můžete získat tužku a pravítko: nyní musíte nakreslit graf každé získané funkce. Celá množina čísel, která budou v intervalu jejich průsečíku, bude řešením soustavy nerovnic.
Algebraický způsob
Umožňuje vyřešit systém nerovnic se dvěma neznámými proměnnými. Nerovnice musí mít také stejné znaménko nerovnosti (tzn. musí obsahovat buď pouze znaménko "větší než", nebo pouze znaménko "menší než" atd.) I přes svá omezení je tato metoda také složitější. Aplikuje se ve dvou krocích.
První zahrnuje zbavení se jedné z neznámých proměnných. Nejprve ji musíte vybrat a poté zkontrolovat přítomnost čísel před touto proměnnou. Pokud žádné nejsou (pak bude proměnná vypadat jako jedno písmeno), pak nic neměníme, pokud ano (typ proměnné bude např. 5y nebo 12y), je nutné se ujistit že v každé nerovnosti je číslo před vybranou proměnnou stejné. Chcete-li to provést, musíte vynásobit každý člen nerovnic společným faktorem, například pokud je v první nerovnosti napsáno 3y a ve druhé 5y, musíte vynásobit všechny členy první nerovnosti 5, a druhý o 3. Získáte 15y a 15y, v tomto pořadí.
Druhá fáze rozhodování. Je nutné přenést levou stranu každé nerovnosti na jejich pravé strany se změnou znaménka každého členu na opačnou, napravo napsat nulu. Pak přichází ta zábavná část: zbavování se zvolené proměnné (jinak známé jako „snížení“) při sčítání nerovností. Dostanete nerovnost s jednou proměnnou, kterou je potřeba vyřešit. Poté byste měli udělat totéž, pouze s jinou neznámou proměnnou. Získané výsledky budou řešením systému.
Metoda nahrazení
Umožňuje vyřešit systém nerovností, když máte příležitost zavést novou proměnnou. Obvykle se tato metoda používá, když je neznámá proměnná v jednom členu nerovnosti zvýšena na čtvrtou mocninu a ve druhém členu na druhou. Tato metoda je tedy zaměřena na snížení míry nerovností v systému. Vzorová nerovnost x4 - x2 - 1 ≦ 0 se řeší následovně. Zavádí se nová proměnná, např. t. Píšou: „Nech t=x2“, pak se model přepíše do nové podoby. V našem případě dostaneme t2 - t - 1 ≦0. Tuto nerovnost je potřeba vyřešit intervalovou metodou (o ní trochu později), poté se vrátit zpět k proměnné X a pak totéž udělat s další nerovností. O obdržených odpovědích rozhodne systém.
Intervalová metoda
Jedná se o nejjednodušší způsob řešení soustav nerovnic a zároveň je univerzální a rozšířený. Používá se na střední škole a dokonce i na střední škole. Její podstata spočívá v tom, že žák hledá intervaly nerovnice na číselné ose, která je nakreslena v sešitu (nejedná se o graf, ale jen o obyčejnou přímku s čísly). Tam, kde se protínají intervaly nerovnic, se najde řešení soustavy. Chcete-li použít metodu mezer, postupujte takto:
- Všechny členy každé nerovnosti jsou přeneseny na levou stranu se změnou znaménka na opačné (nula je napsána vpravo).
- Nerovnice se zapisují samostatně, určí se řešení každé z nich.
- Průsečíky nerovností na numerickérovný. Řešením budou všechna čísla na těchto křižovatkách.
Jaký způsob použití?
Zjevně ten, který se zdá nejjednodušší a nejpohodlnější, ale jsou chvíle, kdy úkoly vyžadují určitou metodu. Nejčastěji říkají, že je třeba řešit buď pomocí grafu, nebo pomocí intervalové metody. Algebraická metoda a substituce se používají extrémně zřídka nebo vůbec, protože jsou poměrně složité a matoucí a kromě toho se používají spíše pro řešení soustav rovnic než nerovnic, takže byste se měli uchýlit ke kreslení grafů a intervalů. Přinášejí viditelnost, která nemůže přispět k efektivnímu a rychlému provádění matematických operací.
Pokud něco nefunguje
Během studia určitého tématu v algebře samozřejmě mohou nastat problémy s jeho pochopením. A to je normální, protože náš mozek je navržen tak, že není schopen na jeden zátah porozumět složitému materiálu. Často si potřebujete znovu přečíst odstavec, využít pomoc učitele nebo procvičit řešení typických problémů. V našem případě vypadají například takto: "Vyřeš soustavu nerovnic 3 x + 1 ≧ 0 a 2 x - 1 > 3". Osobní snažení, pomoc od lidí zvenčí a praktická pomoc při porozumění jakémukoli složitému tématu.
Reshebnik?
A kniha řešení je také velmi dobrá, ale ne pro podvádění domácích úkolů, ale pro svépomoc. V nich lze najít systémy nerovností s řešením, podívejte se(jako šablony), pokuste se přesně porozumět tomu, jak si autor řešení s úkolem poradil, a pak to zkuste udělat sám.
Závěry
Algebra je jedním z nejtěžších předmětů ve škole. no, co můžeš dělat? Matematika byla vždy taková: pro někoho to jde snadno a pro jiného je to obtížné. V každém případě je však třeba mít na paměti, že obecný vzdělávací program je koncipován tak, aby jej zvládl každý student. Navíc je potřeba mít na paměti obrovské množství asistentů. Některé z nich byly zmíněny výše.
