Těleso hozené pod úhlem k horizontu: typy trajektorií, vzorce

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-17 05:20

Každý z nás házel kameny do nebe a sledoval trajektorii jejich pádu. Jde o nejčastější příklad pohybu tuhého tělesa v poli gravitačních sil naší planety. V tomto článku se podíváme na vzorce, které mohou být užitečné pro řešení problémů s volným pohybem tělesa vrženého k horizontu pod úhlem.

Koncept pohybu směrem k horizontu pod úhlem

Když nějakému pevnému předmětu udělí počáteční rychlost a začne nabírat výšku a pak znovu padat na zem, obecně se uznává, že se těleso pohybuje po parabolické trajektorii. Ve skutečnosti řešení rovnic pro tento typ pohybu ukazuje, že přímka popsaná tělesem ve vzduchu je součástí elipsy. Pro praktické použití se však parabolická aproximace ukazuje jako docela vhodná a vede k přesným výsledkům.

Příklady pohybu těla vrženého pod úhlem k horizontu jsou vystřelení projektilu z hlavně děla, kopání do míče a dokonce i skákání oblázků na hladinu vody („ropuchy“), které jsou drženýmezinárodní soutěže.

Typ pohybu pod úhlem zkoumá balistika.

Vlastnosti uvažovaného typu pohybu

Při zvažování trajektorie tělesa v poli zemských gravitačních sil platí následující tvrzení:

• znalost počáteční výšky, rychlosti a úhlu k horizontu vám umožní vypočítat celou trajektorii;
• úhel odletu se rovná úhlu dopadu těla za předpokladu, že počáteční výška je nula;
• vertikální pohyb lze uvažovat nezávisle na horizontálním pohybu;

Upozorňujeme, že tyto vlastnosti jsou platné, pokud je třecí síla během letu tělesa zanedbatelná. V balistice se při studiu letu projektilů bere v úvahu mnoho různých faktorů, včetně tření.

Typy parabolického pohybu

V závislosti na výšce, ze které pohyb začíná, v jaké výšce končí a jak je směrována počáteční rychlost, se rozlišují následující typy parabolického pohybu:

• Úplná parabola. V tomto případě je těleso vymrštěno z povrchu Země a padá na tento povrch, což popisuje úplnou parabolu.
• Půlka paraboly. Takový graf pohybu tělesa je pozorován, pokud je vrženo z určité výšky h, přičemž rychlost v směřuje rovnoběžně s horizontem, tedy pod úhlem θ=0^o.
• Součást paraboly. Takové trajektorie vznikají, když je těleso vrženo pod určitým úhlem θ≠0^o, a rozdílpočáteční a koncové výšky jsou také nenulové (h-h₀≠0). Většina trajektorií pohybu objektů je tohoto typu. Například výstřel z děla stojícího na kopci nebo basketbalista házející míč do koše.

Graf pohybu tělesa odpovídající plné parabole je zobrazen výše.

Požadované vzorce pro výpočet

Uveďme vzorce pro popis pohybu tělesa vrženého pod úhlem k horizontu. Zanedbáme-li sílu tření a vezmeme v úvahu pouze gravitační sílu, můžeme napsat dvě rovnice pro rychlost objektu:

v_x=v₀cos(θ)

v_y=v₀sin(θ) - gt

Vzhledem k tomu, že gravitace směřuje vertikálně dolů, nemění horizontální složku rychlosti v_x, takže v první rovnosti neexistuje žádná časová závislost. Složka v_y je zase ovlivněna gravitací, která uděluje g zrychlení tělu nasměrovanému k zemi (odtud znaménko mínus ve vzorci).

Nyní napíšeme vzorce pro změnu souřadnic tělesa vrženého pod úhlem k horizontu:

x=x₀+v₀cos(θ)t

y=y₀+ v₀sin(θ)t - gt² /2

Počáteční souřadnice x₀často se předpokládá, že je nula. Souřadnice y₀ není nic jiného než výška h, ze které je těleso vrženo (y₀=h).

Vyjádřeme nyní čas t z prvního výrazu a dosadíme jej do druhého, dostaneme:

y=h + tg(θ)x - g /(2v₀²cos ²(θ))x²

Tento výraz v geometrii odpovídá parabole, jejíž větve směřují dolů.

Výše uvedené rovnice jsou dostatečné pro určení jakýchkoli charakteristik tohoto typu pohybu. Jejich řešení tedy vede k tomu, že maximálního letového dosahu je dosaženo, pokud θ=45^o, přičemž maximální výšky, do které se vržené těleso zvedne, je dosaženo při θ=90o.