Pohyb těla pod úhlem k horizontu: vzorce, výpočet doletu a maximální výšky vzletu

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-17 05:20

Při studiu mechanického pohybu ve fyzice se po seznámení s rovnoměrným a rovnoměrně zrychleným pohybem objektů přistoupí k uvažování pohybu tělesa pod úhlem k horizontu. V tomto článku se tomuto problému budeme věnovat podrobněji.

Jaký je pohyb tělesa pod úhlem k horizontu?

Tento typ pohybu předmětu nastává, když osoba vyhodí do vzduchu kámen, dělo vystřelí dělový míč nebo brankář vykopne fotbalový míč z brány. Všechny takové případy jsou zvažovány balistickou vědou.

Zmíněný typ pohybu objektů ve vzduchu probíhá po parabolické trajektorii. V obecném případě není provádění příslušných výpočtů snadným úkolem, protože je nutné vzít v úvahu odpor vzduchu, rotaci těla během letu, rotaci Země kolem své osy a některé další faktory.

V tomto článku nebudeme brát v úvahu všechny tyto faktory, ale zvážíme problém z čistě teoretického hlediska. Výsledné vzorce jsou však docela dobrépopsat trajektorie těles pohybujících se na krátké vzdálenosti.

Získání vzorců pro uvažovaný typ pohybu

Odvoďme vzorce pro pohyb tělesa k horizontu pod úhlem. V tomto případě budeme brát v úvahu pouze jednu jedinou sílu působící na letící objekt – gravitaci. Protože působí svisle dolů (rovnoběžně s osou y a proti ní), pak s ohledem na horizontální a vertikální složku pohybu můžeme říci, že první bude mít charakter rovnoměrného přímočarého pohybu. A druhý - stejně pomalý (rovnoměrně zrychlený) přímočarý pohyb se zrychlením g. To znamená, že složky rychlosti přes hodnotu v₀ (počáteční rychlost) a θ (úhel směru pohybu těla) budou zapsány následovně:

v_x=v₀cos(θ)

v_y=v₀sin(θ)-gt

První vzorec (pro v_x) je vždy platný. Pokud jde o druhý, zde je třeba poznamenat jednu nuanci: znaménko mínus před součin gt se vloží pouze v případě, že vertikální složka v₀sin(θ) směřuje nahoru. Ve většině případů se to však stane, pokud vrhnete těleso z výšky a míříte dolů, pak ve výrazu pro v_y byste měli před g umístit znaménko „+“. t.

Integrací vzorců pro složky rychlosti v průběhu času a s přihlédnutím k počáteční výšce h letu tělesa získáme rovnice pro souřadnice:

x=v₀cos(θ)t

y=h+v₀sin(θ)t-gt²/2

Vypočítat dolet

Když vezmeme v úvahu ve fyzice pohyb tělesa k horizontu pod úhlem užitečným pro praktické použití, ukáže se, že vypočítáme dolet. Pojďme to definovat.

Vzhledem k tomu, že tento pohyb je rovnoměrný pohyb bez zrychlení, stačí do něj dosadit dobu letu a dosáhnout požadovaného výsledku. Dosah letu je určen výhradně pohybem podél osy x (rovnoběžně s horizontem).

Dobu, kdy je těleso ve vzduchu, lze vypočítat přirovnáním souřadnice y k nule. Máme:

0=h+v₀sin(θ)t-gt²/2

Tato kvadratická rovnice je vyřešena pomocí diskriminantu, dostáváme:

D=b²- 4ac=v₀²sin ²(θ) - 4(-g/2)h=v₀² sin²(θ) + 2gh, t=(-b±√D)/(2a)=(-v₀sin(θ)±√(v₀ ²sin²(θ) + 2gh))/(-2g/2)=

=(v₀sin(θ)+√(v₀² sin²(θ) + 2gh))/g.

V posledním výrazu je jeden kořen se znaménkem minus vyřazen z důvodu jeho nevýznamné fyzické hodnoty. Dosazením doby letu t do výrazu pro x získáme rozsah letu l:

l=x=v₀cos(θ)(v₀sin(θ)+√(v ₀²sin²(θ) + 2gh))/g.

Nejjednodušší způsob, jak analyzovat tento výraz, je počáteční výškase rovná nule (h=0), pak dostaneme jednoduchý vzorec:

l=v ₀²sin(2θ)/g

Tento výraz označuje, že maximálního letového dosahu lze dosáhnout, pokud je tělo vrženo pod úhlem 45^o(sin(245^o) )=m1).

Maximální tělesná výška

Kromě dosahu letu je také užitečné najít výšku nad zemí, do které se tělo může zvednout. Protože tento typ pohybu je popsán parabolou, jejíž větve směřují dolů, je maximální výška zdvihu jejím extrémem. Ten se vypočítá řešením rovnice pro derivaci vzhledem k t pro y:

dy/dt=d(h+v₀sin(θ)t-gt²/2)/dt=v₀sin(θ)-gt=0=>

=>t=v₀sin(θ)/g.

Dosaďte tento čas do rovnice pro y, dostaneme:

y=h+v₀sin(θ)v₀sin(θ)/g-g(v ₀sin(θ)/g)²/2=h + v₀ ²sin²(θ)/(2g).

Tento výraz znamená, že se tělo zvedne do maximální výšky, pokud je vrženo svisle nahoru (sin²(90^o)=1).