Každý student slyšel o kulatém kuželu a představuje si, jak tato trojrozměrná postava vypadá. Tento článek definuje vývoj kužele, poskytuje vzorce popisující jeho charakteristiky a popisuje, jak jej sestrojit pomocí kružítka, úhloměru a pravítka.
Kruhový kužel v geometrii
Uveďme geometrickou definici tohoto obrazce. Kulatý kužel je plocha, která je tvořena úsečkami přímek spojujícími všechny body určité kružnice s jediným bodem v prostoru. Tento jediný bod nesmí patřit do roviny, ve které kružnice leží. Pokud vezmeme kruh místo kruhu, pak tato metoda také vede ke kuželu.
Kruh se nazývá základna obrazce, jeho obvod je přímka. Segmenty spojující bod s přímkou se nazývají generatrices nebo generátory a bod, kde se protínají, je vrchol kužele.
Kulatý kužel může být rovný a šikmý. Oba obrázky jsou zobrazeny na obrázku níže.
Rozdíl mezi nimi je tento: pokud kolmice z vrcholu kužele spadne přesně do středu kruhu, pak bude kužel rovný. Pro něj je kolmice, které se říká výška postavy, součástí jeho osy. V případě šikmého kužele svírají výška a osa ostrý úhel.
Vzhledem k jednoduchosti a symetrii obrázku budeme dále zvažovat vlastnosti pouze pravého kužele s kulatou základnou.
Získání tvaru pomocí rotace
Než přistoupíme k úvahám o vývoji povrchu kužele, je užitečné vědět, jak lze tento prostorový obrazec získat pomocí rotace.
Předpokládejme, že máme pravoúhlý trojúhelník se stranami a, b, c. První dvě z nich jsou nohy, c je přepona. Položíme trojúhelník na nohu a a začneme jím otáčet kolem nohy b. Přepona c pak bude popisovat kuželovou plochu. Tato jednoduchá kuželová technika je znázorněna na obrázku níže.
Je zřejmé, že rameno a bude poloměr základny obrázku, rameno b bude jeho výška a přepona c odpovídá tvořící přímce kulatého pravého kužele.
Pohled na vývoj kužele
Jak asi tušíte, kužel je tvořen dvěma typy povrchů. Jedním z nich je plochý základní kruh. Předpokládejme, že má poloměr r. Druhá plocha je boční a nazývá se kuželová. Nechť se jeho generátor rovná g.
Pokud máme papírový kužel, můžeme vzít nůžky a odstřihnout z něj základnu. Poté by měla být kuželová plocha řezánapodél jakékoli generatrix a rozmístit ji v letadle. Tímto způsobem jsme získali rozvinutí bočního povrchu kužele. Dva povrchy spolu s původním kuželem jsou znázorněny na obrázku níže.
Základní kruh je zobrazen vpravo dole. Rozložená kuželová plocha je znázorněna uprostřed. Ukazuje se, že odpovídá nějakému kruhovému sektoru kruhu, jehož poloměr se rovná délce tvořící čáry g.
Úhlové a plošné rozmítání
Nyní dostáváme vzorce, které nám pomocí známých parametrů g a r umožňují vypočítat plochu a úhel kužele.
Je zřejmé, že oblouk kruhového sektoru znázorněný výše na obrázku má délku rovnou obvodu základny, tedy:
l=2pir.
Pokud by byl postaven celý kruh o poloměru g, jeho délka by byla:
L=2pig.
Vzhledem k tomu, že délka L odpovídá 2pi radiánům, lze úhel, na kterém spočívá oblouk l, určit z odpovídajícího poměru:
L==>2pi;
l==> φ.
Potom bude neznámý úhel φ roven:
φ=2pil/L.
Dosazením výrazů pro délky l a L se dostaneme ke vzorci pro úhel rozvinutí boční plochy kužele:
φ=2pir/g.
Úhel φ je zde vyjádřen v radiánech.
K určení plochy Sbkruhového sektoru použijeme zjištěnou hodnotu φ. Děláme ještě jeden podíl, pouze pro oblasti. Máme:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Odkud vyjádřit Sb a poté dosadit hodnotu úhlu φ. Dostáváme:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Pro oblast kónické plochy jsme získali poměrně kompaktní vzorec. Hodnota Sb se rovná součinu tří faktorů: pí, poloměr obrazce a jeho tvořící čára.
Pak plocha celého povrchu obrázku bude rovna součtu Sb a So (kruhový základní plocha). Dostaneme vzorec:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Stavba kužele na papíře
K dokončení tohoto úkolu budete potřebovat kus papíru, tužku, úhloměr, pravítko a kružítko.
Nejprve nakreslíme pravoúhlý trojúhelník o stranách 3 cm, 4 cm a 5 cm, jehož otočením kolem nohy o délce 3 cm získáme požadovaný kužel. Figurka má r=3 cm, v=4 cm, g=5 cm.
Vytváření tažení začne nakreslením kružnice o poloměru r pomocí kružítka. Jeho délka bude rovna 6pi cm. Nyní vedle něj nakreslíme další kruh, ale s poloměrem g. Jeho délka bude odpovídat 10pi cm Nyní musíme z velkého kruhu odříznout kruhový sektor. Jeho úhel φ je:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Nyní dáme stranou tento úhel pomocí úhloměru na kružnici o poloměru g a nakreslíme dva poloměry, které omezí kruhový sektor.
TakžeTakto jsme postavili vývoj kužele se zadanými parametry poloměru, výšky a tvořící přímky.
Příklad řešení geometrického problému
S kulatým rovným kuželem. Je známo, že úhel jeho bočního vychýlení je 120o. Je nutné najít poloměr a tvořící přímku tohoto obrazce, pokud je známo, že výška h kužele je 10 cm.
Úloha není obtížná, pokud si pamatujeme, že kulatý kužel je tvar rotace pravoúhlého trojúhelníku. Z tohoto trojúhelníku vyplývá jednoznačný vztah mezi výškou, poloměrem a tvořící přímkou. Napišme odpovídající vzorec:
g2=h2+ r2.
Druhý výraz, který se používá při řešení, je vzorec pro úhel φ:
φ=2pir/g.
Máme tedy dvě rovnice týkající se dvou neznámých veličin (r a g).
Vyjádřete g z druhého vzorce a dosaďte výsledek do prvního, dostaneme:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Úhel φ=120o v radiánech je 2pi/3. Dosadíme tuto hodnotu, dostaneme konečné vzorce pro r a g:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Zbývá dosadit hodnotu výšky a získat odpověď na problémovou otázku: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
