Co je to - kužel? Definice, vlastnosti, vzorce a příklad řešení úlohy

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-02 17:43

Kužel je jeden z prostorových obrazců rotace, jehož charakteristiky a vlastnosti jsou studovány stereometrií. V tomto článku budeme definovat tento obrázek a zvážit základní vzorce spojující lineární parametry kužele s jeho povrchem a objemem.

Co je to kužel?

Z hlediska geometrie mluvíme o prostorovém útvaru, který je tvořen soustavou přímých úseček spojujících určitý bod v prostoru se všemi body hladké ploché křivky. Tato křivka může být kruh nebo elipsa. Obrázek níže ukazuje kužel.

Předložený obrazec nemá žádný objem, protože stěny jeho povrchu mají nekonečně malou tloušťku. Je-li však vyplněno hmotou a shora ohraničeno nikoli křivkou, ale plochým obrazcem, například kruhem, pak získáme pevné objemové těleso, kterému se také běžně říká kužel.

Tvar kužele lze v životě často najít. Má tedy kužel zmrzliny nebo pruhované černé a oranžové dopravní kužely, které jsou umístěny na vozovce, aby přilákaly pozornost účastníků provozu.

Prvky kužele a jeho typy

Vzhledem k tomu, že kužel není mnohostěn, počet prvků, které jej tvoří, není tak velký jako u mnohostěnu. V geometrii se obecný kužel skládá z následujících prvků:

• základna, jejíž hraniční křivka se nazývá direktiva neboli generatrix;
• postranní plochy, což je soubor všech bodů úseček přímek (generatric) spojujících vrchol a body vodicí křivky;
• vertex, což je průsečík generujících přímek.

Všimněte si, že vrchol nesmí ležet v rovině základny, protože v tomto případě kužel degeneruje do plochého tvaru.

Pokud nakreslíme kolmý segment shora k základně, dostaneme výšku postavy. Pokud se poslední základna protíná v geometrickém středu, pak se jedná o přímý kužel. Pokud se kolmice neshoduje s geometrickým středem základny, pak bude obrazec nakloněný.

Na obrázku jsou znázorněny rovné a šikmé kužely. Výška a poloměr základny kužele jsou zde označeny h a r. Čára, která spojuje horní část obrázku a geometrický střed základny, je osa kužele. Z obrázku je vidět, že u rovné postavy leží výška na této ose a u nakloněné postavy svírá s osou úhel. Osa kužele je označena písmenem a.

Přímý kužel s kulatou základnou

Tento kužel je možná nejběžnější ze zvažované třídy figurek. Skládá se z kruhu a stranypovrchy. Není těžké ji získat geometrickými metodami. Chcete-li to provést, vezměte pravoúhlý trojúhelník a otočte jej kolem osy, která se shoduje s jednou z nohou. Je zřejmé, že tato noha se stane výškou postavy a délka druhé nohy trojúhelníku tvoří poloměr základny kužele. Níže uvedený diagram ukazuje popsané schéma pro získání příslušné rotace.

Zobrazený trojúhelník lze otáčet kolem další nohy, což bude mít za následek kužel s větším poloměrem základny a nižší výškou než první.

Aby bylo možné jednoznačně určit všechny parametry kulatého rovného kužele, měli bychom znát libovolné dvě jeho lineární charakteristiky. Mezi nimi se rozlišuje poloměr r, výška h nebo délka tvořící přímky g. Všechny tyto veličiny jsou délkami stran uvažovaného pravoúhlého trojúhelníku, proto pro jejich spojení platí Pythagorova věta:

g²=r²+ h^2.

Povrch

Při studiu povrchu jakékoli trojrozměrné postavy je vhodné použít její rozvinutí v rovině. Kužel není výjimkou. U kulatého kužele je vývoj zobrazen níže.

Vidíme, že rozvinutí postavy se skládá ze dvou částí:

1. Kruh, který tvoří základnu kužele.
2. Sektor kruhu, který je kuželovou plochou obrázku.

Oblast kruhu lze snadno najít a odpovídající vzorec zná každý student. Když už mluvíme o kruhovém sektoru, poznamenáváme, že anoje součástí kružnice o poloměru g (délka tvořící čáry kužele). Délka oblouku tohoto sektoru se rovná obvodu základny. Tyto parametry umožňují jednoznačně určit jeho plochu. Odpovídající vzorec je:

S=pir2+ pirg.

První a druhý člen ve výrazu jsou kužel základny a boční povrch oblasti.

Pokud délka generátoru g není známa, ale je zadaná výška h obrázku, lze vzorec přepsat jako:

S=pir²+ pir√(r²+ h^2).

Objem obrázku

Pokud vezmeme rovnou pyramidu a zvýšíme počet stran její základny v nekonečnu, pak bude tvar základny mít tendenci ke kruhu a boční plocha jehlanu se bude blížit kuželové ploše. Tyto úvahy nám umožňují použít vzorec pro objem jehlanu při výpočtu podobné hodnoty pro kužel. Objem kužele lze zjistit pomocí vzorce:

V=1/3hS_o.

Tento vzorec je vždy pravdivý, bez ohledu na to, jaká je základna kužele, který má obsah S_{o. Navíc vzorec platí také pro šikmý kužel.}

Vzhledem k tomu, že studujeme vlastnosti rovného útvaru s kulatou základnou, můžeme k určení jeho objemu použít následující výraz:

V=1/3hpir2.

Vzorec je zřejmý.

Problém najít povrch a objem

Nechť je dán kužel, jehož poloměr je 10 cm a délka tvořící čáry je 20viz Potřeba určit objem a plochu povrchu tohoto tvaru.

Pro výpočet plochy S můžete okamžitě použít vzorec napsaný výše. Máme:

S=pir²+ pirg=942 cm^2.

Abyste mohli určit hlasitost, potřebujete znát výšku h obrázku. Vypočítáme ji pomocí vztahu mezi lineárními parametry kužele. Dostáváme:

h=√(g²- r²)=√(20²- 10^{2) ≈ 17, 32 cm.}

Nyní můžete použít vzorec pro V:

V=1/3hpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812, 83cm}3^.

Všimněte si, že objem kulatého kužele je jedna třetina válce, do kterého je vepsán.