Studium vlastností plynného agregátního stavu hmoty je jednou z důležitých oblastí moderní fyziky. Uvážíme-li plyny v mikroskopickém měřítku, lze získat všechny makroskopické parametry systému. Tento článek odhalí důležitý problém molekulární kinetické teorie plynů: jaké je Maxwellovo rozdělení molekul z hlediska rychlostí.
Historické pozadí
Myšlenka plynu jako systému mikroskopických pohybujících se částic vznikla ve starověkém Řecku. Vědě trvalo více než 1700 let, než jej vyvinula.
Zakladatele moderní molekulárně-kinetické teorie (MKT) plynu je spravedlivé zvážit Daniila Bernoulliho. V roce 1738 vydal dílo nazvané „Hydrodynamika“. Bernoulli v něm nastínil myšlenky MKT, které se používají dodnes. Vědec tedy věřil, že plyny se skládají z částic, které se náhodně pohybují ve všech směrech. Četné kolizečástice se stěnami nádoby jsou vnímány jako přítomnost tlaku v plynech. Rychlosti částic úzce souvisí s teplotou systému. Vědecká komunita nepřijala Bernoulliho odvážné myšlenky, protože ještě nebyl stanoven zákon zachování energie.
Následně se mnoho vědců zabývalo budováním kinetického modelu plynů. Mezi nimi je třeba zmínit Rudolfa Clausia, který v roce 1857 vytvořil jednoduchý model plynu. V něm vědec věnoval zvláštní pozornost přítomnosti translačních, rotačních a vibračních stupňů volnosti v molekulách.
V roce 1859 James Maxwell při studiu Clausiovy práce formuloval takzvané Maxwellovo rozdělení molekulárních rychlostí. Ve skutečnosti Maxwell potvrdil myšlenky MKT a podpořil je matematickým aparátem. Následně Ludwig Boltzmann (1871) zobecnil závěry Maxwellova rozdělení. Předpokládal obecnější statistické rozložení molekul přes rychlosti a energie. V současnosti je známá jako distribuce Maxwell-Boltzmann.
Ideální plyn. Základní postuláty ILC
Abyste pochopili, co je funkce distribuce Maxwell, musíte jasně porozumět systémům, pro které je tato funkce použitelná. Mluvíme o ideálním plynu. Ve fyzice je tento pojem chápán jako tekutá látka, která se skládá z prakticky bezrozměrných částic, které nemají potenciální energii. Tyto částice se pohybují vysokou rychlostí, takže jejich chování je zcela dáno kinetickou energií. Navíc jsou vzdálenosti mezi částicemi příliš velkéve srovnání s jejich velikostí, takže ty druhé jsou zanedbávány.
Ideální plyny jsou popsány v MKT. Jeho hlavní postuláty jsou následující:
- plynové systémy se skládají z velkého množství volných částic;
- částice se náhodně pohybují různými rychlostmi v různých směrech podél přímých trajektorií;
- částice se elasticky srážejí se stěnami cév (pravděpodobnost, že se částice vzájemně srazí, je nízká kvůli jejich malé velikosti);
- Teplota systému je jednoznačně určena průměrnou kinetickou energií částic, která je zachována v čase, pokud je v systému ustavena termodynamická rovnováha.
Maxwellův distribuční zákon
Kdyby měl člověk přístroj, kterým by bylo možné změřit rychlost jedné molekuly plynu, byl by po provedení příslušného experimentu překvapen. Experiment by ukázal, že každá molekula jakéhokoli plynného systému se pohybuje zcela libovolnou rychlostí. V tomto případě by v rámci jednoho systému v tepelné rovnováze s okolím byly detekovány jak velmi pomalé, tak velmi rychlé molekuly.
Maxwellův zákon rozložení rychlosti molekul plynu je nástroj, který umožňuje určit pravděpodobnost detekce částic s danou rychlostí v ve studovaném systému. Odpovídající funkce vypadá takto:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
V tomto výrazu m -hmotnost částice (molekuly), k - Boltzmannova konstanta, T - absolutní teplota. Pokud je tedy známa chemická povaha částic (hodnota m), pak je funkce f(v) jednoznačně určena absolutní teplotou. Funkce f(v) se nazývá hustota pravděpodobnosti. Pokud z něj vezmeme integrál pro nějaký rychlostní limit (v; v+dv), pak dostaneme počet částic Ni, které mají rychlosti v zadaném intervalu. Pokud tedy vezmeme integrál hustoty pravděpodobnosti f(v) pro rychlostní limity od 0 do ∞, pak dostaneme celkový počet molekul N v systému.
Grafické znázornění hustoty pravděpodobnosti f(v)
Funkce hustoty pravděpodobnosti má poněkud složitou matematickou formu, takže není snadné znázornit její chování při dané teplotě. Tento problém lze vyřešit, pokud jej znázorníte na dvourozměrném grafu. Schematický pohled na Maxwellův distribuční graf je uveden níže na obrázku.
Vidíme, že začíná od nuly, protože rychlost v molekul nemůže mít záporné hodnoty. Graf končí někde v oblasti vysokých rychlostí, plynule klesá k nule (f(∞)->0). Nápadná je také následující vlastnost: hladká křivka je asymetrická, při malých rychlostech klesá ostřeji.
Důležitým rysem chování funkce hustoty pravděpodobnosti f(v) je přítomnost jednoho vysloveného maxima na ní. Podle fyzikálního významu funkce toto maximum odpovídá nejpravděpodobnější hodnotě rychlostí molekul v plynusystém.
Důležité rychlosti pro funkci f(v)
Funkce hustoty pravděpodobnosti f(v) a její grafické znázornění nám umožňují definovat tři důležité typy rychlosti.
První typ rychlosti, který je zřejmý a který byl zmíněn výše, je nejpravděpodobnější rychlost v1. Na grafu její hodnota odpovídá maximu funkce f(v). Právě tuto rychlost a hodnoty jí blízké bude mít většina částic systému. Není těžké to vypočítat, k tomu stačí vzít první derivaci vzhledem k rychlosti funkce f(v) a přirovnat ji k nule. V důsledku těchto matematických operací dostaneme konečný výsledek:
v1=√(2RT/M).
Zde R je univerzální plynová konstanta, M je molární hmotnost molekul.
Druhým druhem rychlosti je její průměrná hodnota pro všech N částic. Označme to v2. Lze jej vypočítat integrací funkce vf(v) přes všechny rychlosti. Výsledkem uvedené integrace bude následující vzorec:
v2=√(8RT/(piM)).
Protože poměr je 8/pi>2, průměrná rychlost je vždy o něco vyšší než ta nejpravděpodobnější.
Každý, kdo se trochu vyzná ve fyzice, chápe, že průměrná rychlost v2 molekul musí mít v plynovém systému velký význam. To je však mylný předpoklad. Mnohem důležitější je rychlost RMS. Označme tov3.
Podle definice je střední kvadratická rychlost součtem druhých mocnin jednotlivých rychlostí všech částic, dělený počtem těchto částic a braný jako druhá odmocnina. Lze ji vypočítat pro Maxwellovo rozdělení, pokud definujeme integrál přes všechny rychlosti funkce v2f(v). Vzorec pro průměrnou kvadratickou rychlost bude mít tvar:
v3=√(3RT/M).
Rovnost ukazuje, že tato rychlost je větší než v2 a v1 pro jakýkoli plynový systém.
Všechny uvažované typy rychlostí na Maxwellově distribučním grafu tedy leží buď na extrému, nebo napravo od něj.
Význam v3
Výše bylo poznamenáno, že střední kvadratická rychlost je pro pochopení fyzikálních procesů a vlastností plynového systému důležitější než prostá průměrná rychlost v2. To je pravda, protože kinetická energie ideálního plynu závisí přesně na v3, a ne na v2.
Pokud uvažujeme monatomický ideální plyn, platí pro něj následující výraz:
mv32/2=3/2kT.
Zde každá část rovnice představuje kinetickou energii jedné částice o hmotnosti m. Proč výraz obsahuje přesně hodnotu v3 a ne průměrnou rychlost v2? Velmi jednoduché: při určování kinetické energie každé částice se umocní její individuální rychlost v, pak všechny rychlostise sečtou a vydělí počtem částic N. Tzn., že samotný postup stanovení kinetické energie vede k hodnotě střední kvadratické rychlosti.
Závislost funkce f(v) na teplotě
Výše jsme zjistili, že hustota pravděpodobnosti molekulárních rychlostí jednoznačně závisí na teplotě. Jak se funkce změní, když se T zvýší nebo sníží? Níže uvedená tabulka vám pomůže odpovědět na tuto otázku.
Je vidět, že zahřívání uzavřeného systému vede k rozmazání špičky a jejímu posunu k vyšším rychlostem. Zvýšení teploty vede ke zvýšení všech typů rychlostí a ke snížení hustoty pravděpodobnosti každého z nich. Špičková hodnota klesá kvůli zachování počtu částic N v uzavřeném systému.
Dále vyřešíme několik problémů ke konsolidaci obdrženého teoretického materiálu.
Problém s molekulami dusíku ve vzduchu
Je nutné vypočítat rychlosti v1, v2 a v3 pro vzdušný dusík při teplotě 300 K (asi 27 oC).
Molární hmotnost dusíku N2 je 28 g/mol. Pomocí výše uvedených vzorců dostaneme:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Problém s kyslíkovou nádrží
Kyslík ve válci měl určitou teplotu T1. Poté byl balón umístěn do chladnější místnosti. Jak se změní Maxwellův graf distribuce rychlosti pro molekuly kyslíku, když systém dosáhne termodynamické rovnováhy?
Při vzpomínce na teorii můžeme na otázku problému odpovědět takto: hodnoty všech typů rychlostí molekul se sníží, vrchol funkce f(v) se posune doleva, být užší a vyšší.
