Matematika není nudná věda, jak se někdy zdá. Je v ní mnoho zajímavého, i když někdy nepochopitelného pro ty, kdo to nechtějí pochopit. Dnes si povíme o jednom z nejčastějších a nejjednodušších témat v matematice, respektive o její oblasti, která je na hranici algebry a geometrie. Pojďme se bavit o přímkách a jejich rovnicích. Zdálo by se, že jde o nudné školní téma, které neslibuje nic zajímavého a nového. Není tomu však tak a v tomto článku se vám pokusíme náš pohled dokázat. Než přejdeme k tomu nejzajímavějšímu a popíšeme rovnici přímky přes dva body, obrátíme se k historii všech těchto měření a poté zjistíme, proč to bylo všechno nutné a proč nyní znalost následujících vzorců nebude bolet buď.
Historie
Už ve starověku měli matematici rádi geometrické konstrukce a všechny druhy grafů. Těžko dnes říci, kdo jako první přišel s rovnicí přímky přes dva body. Ale lze předpokládat, že tato osoba byla Euklides -starověký řecký vědec a filozof. Byl to on, kdo ve svém pojednání „Počátky“dal vzniknout základu budoucí euklidovské geometrie. Nyní je tato část matematiky považována za základ geometrického znázornění světa a vyučuje se ve škole. Ale stojí za to říci, že euklidovská geometrie funguje pouze na makro úrovni v naší trojrozměrné dimenzi. Pokud vezmeme v úvahu prostor, pak není vždy možné si s jeho pomocí představit všechny jevy, které se tam vyskytují.
Po Euklidovi byli další vědci. A zdokonalili a pochopili, co objevil a napsal. Nakonec se ukázala stabilní oblast geometrie, ve které stále zůstává vše neotřesitelné. A tisíciletími je dokázáno, že rovnice přímky procházející dvěma body je velmi snadné a jednoduché sestavit. Ale než začneme vysvětlovat, jak to udělat, pojďme si probrat nějakou teorii.
Teorie
Přímka je segment nekonečný v obou směrech, který lze rozdělit na nekonečný počet segmentů libovolné délky. Pro znázornění přímky se nejčastěji používají grafy. Kromě toho mohou být grafy ve dvourozměrném i trojrozměrném souřadnicovém systému. A staví se podle souřadnic k nim náležejících bodů. Pokud totiž vezmeme v úvahu přímku, vidíme, že se skládá z nekonečného počtu bodů.
Existuje však něco, v čem se přímka velmi liší od ostatních typů čar. Toto je její rovnice. Obecně je to velmi jednoduché, na rozdíl řekněme od rovnice kruhu. Určitě si tím ve škole prošel každý z nás. Alepřesto si zapišme jeho obecný tvar: y=kx+b. V další části podrobně rozebereme, co každé z těchto písmen znamená a jak vyřešit tuto jednoduchou rovnici přímky procházející dvěma body.
Řádková rovnice
Rovnost, která byla uvedena výše, je rovnice s přímkou, kterou potřebujeme. Stojí za to vysvětlit, co je zde myšleno. Jak asi tušíte, y a x jsou souřadnice každého bodu na přímce. Obecně tato rovnice existuje pouze proto, že každý bod jakékoli přímky má tendenci být ve spojení s jinými body, a proto existuje zákon, který vztahuje jednu souřadnici k druhé. Tento zákon určuje, jak vypadá rovnice přímky procházející dvěma danými body.
Proč zrovna dvě tečky? To vše proto, že minimální počet bodů potřebných k sestrojení přímky ve dvourozměrném prostoru jsou dva. Pokud vezmeme trojrozměrný prostor, pak počet bodů potřebných k sestrojení jedné přímky bude také roven dvěma, protože tři body již tvoří rovinu.
Existuje také věta dokazující, že je možné nakreslit jednu přímku skrz libovolné dva body. Tuto skutečnost lze v praxi ověřit spojením dvou náhodných bodů na grafu pomocí pravítka.
Nyní se podíváme na konkrétní příklad a ukážeme si, jak vyřešit tuto notoricky známou rovnici přímky procházející dvěma danými body.
Příklad
Zvažte přes dva bodykteré potřebujete k vybudování přímky. Nastavíme jejich souřadnice, například M1(2;1) a M2(3;2). Jak víme ze školního kurzu, první souřadnice je hodnota podél osy OX a druhá je hodnota podél osy OY. Výše byla dána rovnice přímky procházející dvěma body a abychom zjistili chybějící parametry k a b, musíme sestavit soustavu dvou rovnic. Ve skutečnosti se bude skládat ze dvou rovnic, z nichž každá bude obsahovat naše dvě neznámé konstanty:
1=2k+b
2=3k+b
Nyní zbývá to nejdůležitější: vyřešit tento systém. To se provádí zcela jednoduše. Nejprve vyjádřeme b z první rovnice: b=1-2k. Nyní musíme výslednou rovnost dosadit do druhé rovnice. To se provádí nahrazením b rovností, kterou jsme obdrželi:
2=3k+1-2k
1=k;
Nyní, když víme, jaká je hodnota koeficientu k, je čas zjistit hodnotu další konstanty - b. To je ještě jednodušší. Protože známe závislost b na k, můžeme do první rovnice dosadit její hodnotu a zjistit neznámou hodnotu:
b=1-21=-1.
Když známe oba koeficienty, můžeme je nyní dosadit do původní obecné rovnice přímky přes dva body. Pro náš příklad tedy dostaneme následující rovnici: y=x-1. Toto je požadovaná rovnost, kterou jsme museli získat.
Než přejdeme k závěru, pojďme diskutovat o aplikaci této části matematiky v každodenním životě.
Aplikace
Rovnice přímky procházející dvěma body jako taková nenajde uplatnění. To ale neznamená, že to nepotřebujeme. Ve fyzice a matematicejsou velmi aktivně využívány rovnice přímek a vlastnosti z nich vyplývající. Možná si toho ani nevšimnete, ale matematika je všude kolem nás. A i taková zdánlivě nevýrazná témata, jako je rovnice přímky přes dva body, se ukazují jako velmi užitečná a velmi často aplikovaná na fundamentální úrovni. Pokud se na první pohled zdá, že to nemůže být nikde užitečné, jste na omylu. Matematika rozvíjí logické myšlení, které nikdy nebude zbytečné.
Závěr
Nyní, když jsme přišli na to, jak nakreslit čáry ze dvou daných bodů, je pro nás snadné odpovědět na jakoukoli související otázku. Pokud vám například učitel řekne: „Napište rovnici přímky procházející dvěma body“, nebude to pro vás těžké. Doufáme, že vám tento článek pomohl.
