V geometrii je po bodu přímka možná tím nejjednodušším prvkem. Používá se při stavbě libovolných složitých obrazců v rovině a v trojrozměrném prostoru. V tomto článku se budeme zabývat obecnou rovnicí přímky a pomocí ní vyřešíme několik problémů. Začněme!
Přímka v geometrii
Každý ví, že tvary jako obdélník, trojúhelník, hranol, krychle a tak dále vznikají protínajícími se přímkami. Přímka v geometrii je jednorozměrný objekt, který lze získat přenesením určitého bodu do vektoru, který má stejný nebo opačný směr. Pro lepší pochopení této definice si představte, že v prostoru existuje nějaký bod P. Vezměte v tomto prostoru libovolný vektor u¯. Potom lze získat libovolný bod Q přímky jako výsledek následujících matematických operací:
Q=P + λu¯.
Zde je λ libovolné číslo, které může být kladné nebo záporné. Pokud rovnostnapište výše z hlediska souřadnic, pak dostaneme následující rovnici přímky:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Tato rovnost se nazývá rovnice přímky ve vektorovém tvaru. A vektor u¯ se nazývá průvodce.
Obecná rovnice přímky v rovině
Každý student si to může bez problémů zapsat. Ale nejčastěji se rovnice píše takto:
y=kx + b.
Kde kab jsou libovolná čísla. Číslo b se nazývá volný člen. Parametr k je roven tečně úhlu vytvořeného průsečíkem přímky s osou x.
Výše uvedená rovnice je vyjádřena s ohledem na proměnnou y. Pokud jej uvedeme v obecnější podobě, dostaneme následující zápis:
Ax + By + C=0.
Je snadné ukázat, že tento tvar zápisu obecné rovnice přímky na rovině lze snadno převést do předchozího tvaru. K tomu je třeba levou a pravou část vydělit faktorem B a vyjádřit y.
Obrázek výše ukazuje přímku procházející dvěma body.
Čára ve 3D prostoru
Pokračujme ve studiu. Zvažovali jsme otázku, jak je dána rovnice přímky v obecném tvaru na rovině. Pokud použijeme zápis uvedený v předchozím odstavci článku pro prostorový případ, co dostaneme? Vše je jednoduché – už ne přímka, ale rovina. Následující výraz skutečně popisuje rovinu, která je rovnoběžná s osou z:
Ax + By + C=0.
Pokud C=0, pak taková rovina projdepřes osu z. Toto je důležitá funkce.
Jak tedy být s obecnou rovnicí přímky v prostoru? Abyste pochopili, jak se na to zeptat, musíte si něco zapamatovat. Dvě roviny se protínají podél určité přímky. Co to znamená? Pouze to, že obecná rovnice je výsledkem řešení soustavy dvou rovnic pro roviny. Pojďme napsat tento systém:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Tento systém je obecná rovnice přímky v prostoru. Všimněte si, že roviny nesmí být vzájemně rovnoběžné, to znamená, že jejich normálové vektory musí být vůči sobě nakloněny pod určitým úhlem. Jinak systém nebude mít žádná řešení.
Výše jsme uvedli vektorový tvar rovnice pro přímku. Je vhodné použít při řešení tohoto systému. Chcete-li to provést, musíte nejprve najít vektorový součin normál těchto rovin. Výsledkem této operace bude směrový vektor přímky. Poté by se měl vypočítat jakýkoli bod patřící k přímce. Chcete-li to provést, musíte nastavit kteroukoli z proměnných na určitou hodnotu, zbývající dvě proměnné lze najít řešením redukovaného systému.
Jak převést vektorovou rovnici na obecnou? Nuance
Toto je aktuální problém, který může nastat, pokud potřebujete napsat obecnou rovnici přímky pomocí známých souřadnic dvou bodů. Ukážeme si, jak je tento problém vyřešen na příkladu. Nechť jsou známé souřadnice dvou bodů:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Rovnice ve vektorové podobě se skládá celkem snadno. Souřadnice směrového vektoru jsou:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Všimněte si, že není žádný rozdíl, pokud odečteme souřadnice Q od souřadnic bodu P, vektor pouze změní svůj směr na opačný. Nyní byste měli vzít libovolný bod a zapsat vektorovou rovnici:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Pro zápis obecné rovnice přímky by měl být parametr λ vyjádřen v obou případech. A pak porovnejte výsledky. Máme:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Zbývá pouze otevřít závorky a přenést všechny členy rovnice na jednu stranu rovnice, abychom získali obecný výraz pro přímku procházející dvěma známými body.
V případě trojrozměrného problému je algoritmus řešení zachován, pouze jeho výsledkem bude soustava dvou rovnic pro roviny.
Úkol
Je nutné vytvořit obecnou rovnicipřímka, která protíná osu x v (-3, 0) a je rovnoběžná s osou y.
Začněme řešit problém napsáním rovnice ve vektorovém tvaru. Protože je přímka rovnoběžná s osou y, směrový vektor pro ni bude následující:
u¯=(0, 1).
Potom bude požadovaný řádek zapsán následovně:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Nyní přeložme tento výraz do obecného tvaru, k tomu vyjádříme parametr λ:
- x=-3;
- y=λ.
Jakákoli hodnota proměnné y tedy patří do řádku, ale odpovídá jí pouze jediná hodnota proměnné x. Obecná rovnice tedy bude mít tvar:
x + 3=0.
Problém s rovnou čárou v prostoru
Je známo, že dvě protínající se roviny jsou dány následujícími rovnicemi:
- 2x + y – z=0;
- x – 2y + 3=0.
Je nutné najít vektorovou rovnici přímky, podél které se tyto roviny protínají. Začněme.
Jak bylo řečeno, obecná rovnice přímky v trojrozměrném prostoru je již dána ve formě soustavy dvou se třemi neznámými. Nejprve určíme směrový vektor, podél kterého se roviny protínají. Vynásobením vektorových souřadnic normál k rovinám dostaneme:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Protože násobení vektoru záporným číslem obrátí jeho směr, můžeme napsat:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
KomuChcete-li najít vektorový výraz pro přímku, měli byste kromě směrového vektoru znát i nějaký bod této přímky. Najděte, protože jeho souřadnice musí splňovat systém rovnic v podmínce problému, pak je najdeme. Dejme například x=0, pak dostaneme:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Bod patřící do požadované přímky má tedy souřadnice:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Pak dostaneme odpověď na tento problém, vektorová rovnice požadované přímky bude vypadat takto:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Správnost řešení lze snadno zkontrolovat. K tomu je potřeba zvolit libovolnou hodnotu parametru λ a do obou rovnic pro roviny dosadit získané souřadnice bodu přímky, v obou případech získáte identitu.
