Znalost vzdálenosti od bodu k rovině nebo k přímce vám umožňuje vypočítat objem a povrch obrazců v prostoru. Výpočet této vzdálenosti v geometrii se provádí pomocí odpovídajících rovnic pro zadané geometrické objekty. V článku si ukážeme, jaké vzorce lze použít k jeho určení.
Přímkové a rovinné rovnice
Než uvedeme vzorce pro určení vzdálenosti od bodu k rovině a k přímce, ukažme si, jaké rovnice tyto objekty popisují.
K definování bodu se používá sada souřadnic v daném systému souřadnicových os. Zde budeme uvažovat pouze kartézský pravoúhlý systém, ve kterém mají osy stejné jednotkové vektory a jsou vzájemně kolmé. V rovině je libovolný bod popsán dvěma souřadnicemi, v prostoru třemi.
K definování přímky se používají různé typy rovnic. V souladu s tématem článku uvádímepouze dva z nich, které se používají ve dvourozměrném prostoru k definování čar.
Vektorová rovnice. Má následující zápis:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
První člen zde představuje souřadnice známého bodu ležícího na přímce. Druhý člen jsou souřadnice směrového vektoru vynásobené libovolným číslem λ.
Obecná rovnice. Jeho zápis je následující:
Ax + By + C=0;
kde A, B, C jsou některé koeficienty.
Obecná rovnice se častěji používá k určení čar v rovině, nicméně pro zjištění vzdálenosti od bodu k přímce v rovině je pohodlnější pracovat s vektorovým výrazem.
Rovina v trojrozměrném prostoru může být také zapsána několika matematickými způsoby. Nejčastěji však v problémech existuje obecná rovnice, která je zapsána takto:
Ax + By + Cz + D=0.
Výhoda tohoto zápisu ve vztahu k ostatním je, že explicitně obsahuje souřadnice vektoru kolmého k rovině. Tento vektor se nazývá vodítko, shoduje se se směrem normály a jeho souřadnice se rovnají (A; B; C).
Všimněte si, že výše uvedený výraz se shoduje s formou zápisu obecné rovnice pro přímku ve dvourozměrném prostoru, takže při řešení problémů byste měli být opatrní, abyste tyto geometrické objekty nezaměnili.
Vzdálenost mezi bodem a linií
Ukažme si, jak vypočítat vzdálenost mezi přímkou abod ve dvourozměrném prostoru.
Nechť je nějaký bod Q(x1; y1) a čára dána:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Vzdálenost mezi úsečkou a bodem je chápána jako délka segmentu kolmého k této přímce, spuštěného na ni z bodu Q.
Před výpočtem této vzdálenosti byste měli do této rovnice dosadit souřadnice Q. Pokud to splňují, pak Q patří k dané úsečce a odpovídající vzdálenost je rovna nule. Pokud souřadnice bodu nevedou k rovnosti, pak je vzdálenost mezi geometrickými objekty nenulová. Lze jej vypočítat pomocí vzorce:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Zde je P libovolný bod přímky, který je počátkem vektoru PQ¯. Vektor u¯ je vodicí segment pro přímku, to znamená, že jeho souřadnice jsou (a; b).
Použití tohoto vzorce vyžaduje schopnost vypočítat křížový součin v čitateli.
Problém s bodem a čárou
Řekněme, že potřebujete najít vzdálenost mezi Q(-3; 1) a přímkou, která splňuje rovnici:
y=5x -2.
Dosazením souřadnic Q do výrazu se můžeme ujistit, že Q neleží na přímce. Můžete použít vzorec pro d uvedený v odstavci výše, pokud tuto rovnici reprezentujete ve vektorovém tvaru. Udělejme to takto:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
Nyní vezmeme libovolný bod na této přímce, například (0; -2), a vytvoříme vektor začínající na něm a končící na Q:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Nyní použijte vzorec k určení vzdálenosti, dostaneme:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Vzdálenost z bodu do roviny
Stejně jako v případě přímky je vzdálenost mezi rovinou a bodem v prostoru chápána jako délka úsečky, která z daného bodu klesá kolmo k rovině a protíná ji.
V prostoru je bod dán třemi souřadnicemi. Pokud se rovnají (x1; y1; z1), pak vzdálenost mezi rovinu a tento bod lze vypočítat pomocí vzorce:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
Všimněte si, že pomocí vzorce můžete najít pouze vzdálenost od roviny k přímce. K nalezení souřadnic bodu, ve kterém kolmá úsečka protíná rovinu, je nutné napsat rovnici pro přímku, ke které tato úsečka patří, a poté najít společný bod pro tuto přímku a danou rovinu.
Problém s rovinou a bodem
Najděte vzdálenost od bodu k rovině, pokud je známo, že bod má souřadnice (3; -1; 2) a rovina je dána vztahem:
-y + 3z=0.
Abychom použili odpovídající vzorec, nejprve vypíšeme koeficienty prodané letadlo. Protože chybí proměnná x a volný člen, jsou koeficienty A a D rovny nule. Máme:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
Je snadné ukázat, že tato rovina prochází počátkem a osa x k ní patří.
Dosadíme souřadnice bodu a koeficienty roviny do vzorce pro vzdálenost d, dostaneme:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
Všimněte si, že pokud změníte souřadnici x bodu, vzdálenost d se nezmění. Tato skutečnost znamená, že množina bodů (x; -1; 2) tvoří přímku rovnoběžnou s danou rovinou.
