Vektor je důležitý geometrický objekt, s pomocí jeho vlastností je vhodné řešit mnoho problémů v rovině i v prostoru. V tomto článku jej definujeme, zvážíme jeho hlavní charakteristiky a také ukážeme, jak lze vektor v prostoru použít k definování rovin.
Co je vektor: dvourozměrný případ
Především je nutné jasně pochopit, o jakém předmětu mluvíme. V geometrii se směrovaný segment nazývá vektor. Jako každý segment se vyznačuje dvěma hlavními prvky: počátečním a koncovým bodem. Souřadnice těchto bodů jednoznačně určují všechny charakteristiky vektoru.
Uvažujme příklad vektoru v rovině. K tomu nakreslíme dvě vzájemně kolmé osy x a y. Označme libovolný bod P(x, y). Pokud tento bod spojíme s počátkem (bod O) a poté určíme směr k P, dostaneme vektor OP¯ (dále v článku pruh nad symbolem ukazuje, že uvažujeme o vektoru). Vektorová kresba v letadle je zobrazena níže.
Zde je také ukázán další vektor AB¯ a můžete vidět, že jeho charakteristiky jsou úplně stejné jako OP¯, ale je v jiné části souřadnicového systému. Paralelním překladem OP¯ můžete získat nekonečné množství vektorů se stejnými vlastnostmi.
Vektor v prostoru
Všechny skutečné předměty, které nás obklopují, jsou v trojrozměrném prostoru. Studium geometrických vlastností trojrozměrných obrazců se zabývá stereometrií, která operuje s konceptem trojrozměrných vektorů. Od dvourozměrných se liší pouze tím, že jejich popis vyžaduje další souřadnici, která je měřena podél třetí kolmé osy x a y z.
Obrázek níže ukazuje vektor v prostoru. Souřadnice jeho konce podél každé osy jsou označeny barevnými segmenty. Začátek vektoru se nachází v průsečíku všech tří souřadnicových os, to znamená, že má souřadnice (0; 0; 0).
Vzhledem k tomu, že vektor na rovině je speciálním případem prostorově orientovaného segmentu, budeme v článku uvažovat pouze trojrozměrný vektor.
Souřadnice vektoru založené na známých souřadnicích jeho začátku a konce
Předpokládejme, že jsou dva body P(x1; y1; z1) a Q(x2; y2; z2). Jak určit souřadnice vektoru PQ¯. Nejprve je nutné se dohodnout, který z bodů bude začátkem a který koncem vektoru. V matematice je zvykem psát předmět v jeho směru, to znamená, že P je začátek, Q- konec. Za druhé, souřadnice vektoru PQ¯ se vypočítají jako rozdíl mezi odpovídajícími souřadnicemi konce a začátku, tedy:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Všimněte si, že změnou směru vektoru se jeho souřadnice změní následovně:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
To znamená PQ¯=-QP¯.
Je důležité pochopit ještě jednu věc. Výše bylo řečeno, že v rovině je nekonečný počet vektorů rovných danému. Tato skutečnost platí i pro prostorový případ. Ve skutečnosti, když jsme vypočítali souřadnice PQ¯ ve výše uvedeném příkladu, provedli jsme operaci paralelní translace tohoto vektoru takovým způsobem, že jeho počátek se shodoval s počátkem. Vektor PQ¯ lze nakreslit jako směrovaný segment z počátku do bodu M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Vlastnosti vektoru
Jako každý geometrický objekt má i vektor některé základní vlastnosti, které lze použít k řešení problémů. Pojďme si je stručně vyjmenovat.
Vektorový modul je délka orientovaného segmentu. Když znáte souřadnice, je snadné to vypočítat. Pro vektor PQ¯ ve výše uvedeném příkladu je modul:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Vektorový modul zapnutrovina se počítá podle podobného vzorce, pouze bez účasti třetí souřadnice.
Součet a rozdíl vektorů se provádí podle pravidla trojúhelníku. Obrázek níže ukazuje, jak tyto objekty sčítat a odečítat.
Chcete-li získat součtový vektor, přidejte začátek druhého ke konci prvního vektoru. Požadovaný vektor začne na začátku prvního a skončí na konci druhého vektoru.
Rozdíl je proveden s přihlédnutím ke skutečnosti, že odečtený vektor je nahrazen opačným a poté je provedena operace sčítání popsaná výše.
Kromě sčítání a odčítání je důležité umět vektor vynásobit číslem. Pokud je číslo rovno k, pak se získá vektor, jehož modul je kkrát odlišný od původního a směr je buď stejný (k>0) nebo opačný než původní (k<0).
Je také definována operace násobení vektorů mezi sebou. V článku tomu vyčleníme samostatný odstavec.
Skalární a vektorové násobení
Předpokládejme, že existují dva vektory u¯(x1; y1; z1) a v¯(x2; y2; z2). Vektor po vektoru lze násobit dvěma různými způsoby:
- Skalární. V tomto případě je výsledkem číslo.
- Vektor. Výsledkem je nový vektor.
Skalární součin vektorů u¯ a v¯ se vypočítá následovně:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Kde α je úhel mezi danými vektory.
Je možné ukázat, že při znalosti souřadnic u¯ a v¯ lze jejich bodový součin vypočítat pomocí následujícího vzorce:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Skalární součin je vhodné použít při rozkladu vektoru na dva na sebe kolmé segmenty. Používá se také k výpočtu rovnoběžnosti nebo ortogonality vektorů a k výpočtu úhlu mezi nimi.
Křížový součin u¯ a v¯ dává nový vektor, který je kolmý k původním vektorům a má modul:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Směr dolů nebo nahoru nového vektoru je určen pravidlem pravé ruky (čtyři prsty pravé ruky směřují od konce prvního vektoru ke konci druhého a palec trčí nahoru označuje směr nového vektoru). Obrázek níže ukazuje výsledek křížového součinu pro libovolné a¯ a b¯.
Křížový součin se používá k výpočtu ploch obrazců a také k určení souřadnic vektoru kolmého k dané rovině.
Vektory a jejich vlastnosti je vhodné použít při definování rovnice roviny.
Normální a obecná rovnice roviny
Je několik způsobů, jak definovat rovinu. Jedním z nich je odvození obecné rovnice roviny, která vyplývá přímo ze znalosti vektoru na ni kolmého a nějakého známého bodu, který rovině náleží.
Předpokládejme, že existuje vektor n¯ (A; B; C) a bod P (x0; y0; z 0). Jaká podmínka splní všechny body Q(x; y; z) roviny? Tato podmínka spočívá v kolmosti libovolného vektoru PQ¯ k normále n¯. Pro dva kolmé vektory se bodový součin stane nulou (cos(90o)=0), napište toto:
(n¯PQ¯)=0 nebo
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Otevřením závorek dostaneme:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 nebo
Ax + By + Cz +D=0, kde D=-Ax0-By0-Cz0.
Tato rovnice se nazývá obecná pro rovinu. Vidíme, že koeficienty před x, y a z jsou souřadnicemi kolmého vektoru n¯. Říká se tomu průvodce letadlem.
Vektorová parametrická rovnice roviny
Druhý způsob, jak definovat rovinu, je použít dva vektory, které v ní leží.
Předpokládejme, že existují vektory u¯(x1; y1; z1) a v¯(x2; y2; z2). Jak bylo řečeno, každý z nich v prostoru může být reprezentován nekonečným počtem shodně orientovaných segmentů, proto je k jednoznačnému určení roviny potřeba ještě jeden bod. Nechť tento bod je P(x0;y0; z0). Libovolný bod Q(x; y; z) bude ležet v požadované rovině, pokud vektor PQ¯ může být reprezentován jako kombinace u¯ a v¯. To znamená, že máme:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Kde α a β jsou nějaká reálná čísla. Z této rovnosti vyplývá výraz:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Nazývá se parametrická vektorová rovnice roviny s ohledem na 2 vektory u¯ a v¯. Dosazením libovolných parametrů α a β lze najít všechny body (x; y; z) patřící do této roviny.
Z této rovnice je snadné získat obecný výraz pro rovinu. K tomu stačí najít směrový vektor n¯, který bude kolmý na oba vektory u¯ a v¯, to znamená, že by měl být aplikován jejich vektorový součin.
Problém určení obecné rovnice roviny
Ukažme si, jak používat výše uvedené vzorce k řešení geometrických problémů. Předpokládejme, že směrový vektor roviny je n¯(5; -3; 1). Měli byste najít rovnici roviny s vědomím, že k ní patří bod P(2; 0; 0).
Obecná rovnice je zapsána takto:
Ax + By + Cz +D=0.
Vzhledem k tomu, že je znám vektor kolmý k rovině, rovnice bude mít tvar:
5x – 3y + z +D=0.
Zbývá najít volný termín D. Vypočítáme jej ze znalosti souřadnic P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 – 10=-10.
Požadovaná rovnice roviny má tedy tvar:
5x - 3y + z -10=0.
Obrázek níže ukazuje, jak vypadá výsledné letadlo.
Uvedené souřadnice bodů odpovídají průsečíkům roviny s osami x, yaz.
Problém určení roviny pomocí dvou vektorů a bodu
Nyní předpokládejme, že předchozí rovina je definována jinak. Jsou známy dva vektory u¯(-2; 0; 10) a v¯(-2; -10/3; 0) a také bod P(2; 0; 0). Jak napsat rovinnou rovnici ve vektorovém parametrickém tvaru? Pomocí uvažovaného odpovídajícího vzorce dostaneme:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Všimněte si, že definice této rovnice roviny, vektorů u¯ a v¯ mohou být naprosto libovolné, ale s jednou podmínkou: nesmí být rovnoběžné. V opačném případě nelze rovinu jednoznačně určit, lze však najít rovnici pro nosník nebo soubor rovin.
