Trojúhelníkový jehlan a vzorce pro určení jeho plochy

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-17 05:20

Pyramida je geometrický prostorový útvar, jehož vlastnosti jsou studovány na střední škole v rámci předmětu tělesová geometrie. V tomto článku se budeme zabývat trojúhelníkovou pyramidou, jejími typy a také vzorci pro výpočet její povrchové plochy.

O které pyramidě mluvíme?

Trojúhelníkový jehlan je obrazec, který lze získat spojením všech vrcholů libovolného trojúhelníku jedním jediným bodem, který neleží v rovině tohoto trojúhelníku. Podle této definice by se uvažovaná pyramida měla skládat z počátečního trojúhelníku, který se nazývá základna obrázku, a tří bočních trojúhelníků, které mají jednu společnou stranu se základnou a jsou navzájem spojeny v bodě. Ten se nazývá vrchol pyramidy.

Obrázek nahoře ukazuje libovolnou trojúhelníkovou pyramidu.

Uvažovaná postava může být šikmá nebo rovná. V druhém případě ji musí kolmice svržená z vrcholu pyramidy na její základnu protnout v geometrickém středu. geometrický střed jakéhokolitrojúhelník je průsečík jeho mediánů. Geometrický střed se shoduje s těžištěm postavy ve fyzice.

Pokud pravidelný (rovnostranný) trojúhelník leží na základně rovné pyramidy, pak se nazývá pravidelný trojúhelníkový. V pravidelné pyramidě jsou všechny strany stejné a jsou to rovnostranné trojúhelníky.

Pokud je výška pravidelné pyramidy taková, že její boční trojúhelníky se stávají rovnostrannými, nazývá se čtyřstěn. V čtyřstěnu jsou si všechny čtyři stěny rovny, takže každou z nich lze považovat za základnu.

Prvky pyramidy

Tyto prvky zahrnují tváře nebo strany postavy, její okraje, vrcholy, výšku a apotémy.

Jak je znázorněno, všechny strany trojúhelníkové pyramidy jsou trojúhelníky. Jejich počet je 4 (3 boční a jeden na základně).

Vrcholy jsou průsečíky tří trojúhelníkových stran. Není těžké uhodnout, že pro uvažovanou pyramidu jsou 4 z nich (3 patří k základně a 1 k vrcholu pyramidy).

Hrany lze definovat jako čáry, které protínají dvě trojúhelníkové strany, nebo jako čáry, které spojují každé dva vrcholy. Počet hran odpovídá dvojnásobku počtu vrcholů základny, tedy u trojúhelníkového jehlanu je to 6 (3 hrany patří základně a 3 hrany tvoří boční plochy).

Výška, jak je uvedeno výše, je délka kolmice vedené od vrcholu pyramidy k její základně. Pokud nakreslíme výšky z tohoto vrcholu na každou stranu trojúhelníkové základny,pak se jim bude říkat apotemy (nebo apotémy). Trojúhelníková pyramida má tedy jednu výšku a tři apotémy. Ty druhé jsou si pro pravidelnou pyramidu navzájem rovny.

Základna pyramidy a její plocha

Vzhledem k tomu, že základnou pro uvažovaný obrazec je obecně trojúhelník, pro výpočet jeho plochy stačí zjistit jeho výšku h_o a délku strany základny a, na které se spouští. Vzorec pro oblast S_o základu je:

S_o=1/2h_oa

Pokud je trojúhelník základny rovnostranný, pak se plocha základny trojúhelníkové pyramidy vypočítá podle následujícího vzorce:

S_o=√3/4a²

To znamená, že plocha S_oje jednoznačně určena délkou strany a trojúhelníkové základny.

Strana a celková plocha obrázku

Před zvážením plochy trojúhelníkové pyramidy je užitečné ukázat její vývoj. Je na obrázku níže.

Plocha tohoto tažení tvořená čtyřmi trojúhelníky je celková plocha pyramidy. Jeden z trojúhelníků odpovídá základně, jejíž vzorec pro uvažovanou hodnotu byl napsán výše. Tři boční trojúhelníkové plochy dohromady tvoří boční oblast postavy. K určení této hodnoty tedy stačí použít výše uvedený vzorec pro libovolný trojúhelník na každý z nich a poté sečíst tři výsledky.

Pokud je pyramida správná, pak výpočetboční plocha je usnadněna, protože všechny boční plochy jsou identické rovnostranné trojúhelníky. Označte h_bdélku apotému, poté lze plochu bočního povrchu S_b určit následovně:

S_b=3/2ah_b

Tento vzorec vyplývá z obecného výrazu pro obsah trojúhelníku. Číslo 3 se objevilo v čitatelích kvůli skutečnosti, že pyramida má tři boční strany.

Apotema h_b v pravidelné pyramidě lze vypočítat, pokud je známa výška postavy h. Použitím Pythagorovy věty dostaneme:

h_b=√(h²+ a²/12)

Je zřejmé, že celková plocha S povrchu figurky se rovná součtu jejích bočních a základních ploch:

S=S_o+ S_b

Pro pravidelnou pyramidu dosazením všech známých hodnot dostaneme vzorec:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

Rozloha trojúhelníkového jehlanu závisí pouze na délce strany jeho základny a na výšce.

Příklad problému

Je známo, že boční hrana trojúhelníkového jehlanu je 7 cm a strana základny je 5 cm. Pokud víte, že pyramida, musíte najít povrch obrázku je pravidelné.

Použijte obecnou rovnost:

S=S_o+ S_b

Oblast S_ose rovná:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10, 825 cm}2.

Abyste mohli určit oblast bočního povrchu, musíte najít apotemu. Není těžké ukázat, že přes délku boční hrany a_b je určena podle vzorce:

h_b=√(a_b²- a^{2 /4)=√(7} 2^{- 5}2^{/4) ≈ 6,538 cm.}

Pak oblast S_b je:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49,035 cm2.

Celková plocha pyramidy je:

S=S_o+ S_b=10,825 + 49,035=59,86 cm².

Upozorňujeme, že při řešení problému jsme ve výpočtech nepoužili hodnotu výšky pyramidy.