Matrix je speciální objekt v matematice. Zobrazuje se ve formě obdélníkové nebo čtvercové tabulky složené z určitého počtu řádků a sloupců. V matematice existuje široká škála typů matic, které se liší velikostí nebo obsahem. Čísla jeho řádků a sloupců se nazývají objednávky. Tyto objekty se v matematice používají k organizaci psaní soustav lineárních rovnic a pohodlnému vyhledávání jejich výsledků. Rovnice pomocí matice jsou řešeny metodou Carla Gausse, Gabriela Cramera, vedlejšími a algebraickými sčítáními a mnoha dalšími způsoby. Základní dovedností při práci s matricemi je dovést je do standardní podoby. Nejprve si však pojďme zjistit, jaké typy matic rozlišují matematici.
Typ nuly
Všechny složky tohoto druhu matice jsou nuly. Mezitím je počet jeho řádků a sloupců zcela odlišný.
Čtvercový typ
Počet sloupců a řádků tohoto typu matice je stejný. Jinými slovy, je to stůl "čtvercového" tvaru. Počet jeho sloupců (nebo řádků) se nazývá pořadí. Speciálními případy jsou existence matice druhého řádu (matice 2x2), čtvrtého řádu (4x4), desátého (10x10), sedmnáctého (17x17) a tak dále.
Sloupcový vektor
Jedná se o jeden z nejjednodušších typů matic, který obsahuje pouze jeden sloupec, který obsahuje tři číselné hodnoty. Představuje řadu volných členů (čísla nezávislá na proměnných) v soustavách lineárních rovnic.
Řádkový vektor
Zobrazit podobný předchozímu. Skládá se ze tří číselných prvků, které jsou postupně uspořádány do jednoho řádku.
Typ úhlopříčky
Pouze komponenty hlavní úhlopříčky (zvýrazněné zeleně) nabývají číselných hodnot v diagonální podobě matice. Hlavní diagonála začíná prvkem v levém horním rohu a končí prvkem v pravém dolním, resp. Zbytek složek je nulový. Diagonální typ je pouze čtvercová matice určitého řádu. Mezi maticemi diagonální formy lze vyčlenit skalární. Všechny jeho součásti mají stejné hodnoty.
Matice identity
Poddruh diagonální matice. Všechny jeho číselné hodnoty jsou jednotky. Pomocí jediného typu maticových tabulek proveďte jeho základní transformace nebo najděte matici inverzní k původní.
Kanonický typ
Kanonická forma matice je považována za jednu z hlavních; odlévání do něj je často potřeba k práci. Počet řádků a sloupců v kanonické matici je různý, nemusí nutně patřit do čtvercového typu. Je do jisté míry podobná identitní matici, nicméně v jejím případě nenabývají všechny složky hlavní diagonály hodnoty rovné jedné. Mohou existovat dvě nebo čtyři hlavní diagonální jednotky (vše závisí na délce a šířce matice). Nebo tam nemusí být vůbec žádné jednotky (pak se to považuje za nulu). Zbývající složky kanonického typu, stejně jako prvky úhlopříčky a identity, jsou rovny nule.
Typ trojúhelníku
Jeden z nejdůležitějších typů matic, používaný při hledání jejího determinantu a při provádění jednoduchých operací. Trojúhelníkový typ pochází z diagonálního typu, takže matice je také čtvercová. Trojúhelníkový pohled na matici je rozdělen na horní trojúhelníkový a dolní trojúhelníkový.
V horní trojúhelníkové matici (obr. 1) mají pouze prvky, které jsou nad hlavní diagonálou, hodnotu rovnou nule. Složky samotné úhlopříčky a část matice pod ní obsahují číselné hodnoty.
Ve spodní trojúhelníkové matici (obr. 2) jsou naopak prvky umístěné ve spodní části matice rovny nule.
Kroková matice
Pohled je nutný pro zjištění hodnosti matice a také pro elementární operace s ní (spolu s trojúhelníkovým typem). Kroková matice je tak pojmenována, protože obsahuje charakteristické „kroky“nul (jak je znázorněno na obrázku). U stupňovitého typu se vytvoří úhlopříčka nul (ne nutně hlavní) a všechny prvky pod touto úhlopříčkou mají také hodnoty rovné nule. Předpokladem je následující: pokud je v matici kroků nula, pak zbývající řádky pod ní také neobsahují číselné hodnoty.
Zvážili jsme tedy nejdůležitější typy matic potřebných pro práci s nimi. Nyní se pojďme zabývat úkolem převést matici do požadovaného tvaru.
Zmenšit na trojúhelníkový tvar
Jak převést matici do trojúhelníkového tvaru? Nejčastěji v úkolech potřebujete převést matici do trojúhelníkového tvaru, abyste našli její determinant, jinak nazývaný determinant. Při provádění tohoto postupu je nesmírně důležité „zachovat“hlavní úhlopříčku matice, protože determinant trojúhelníkové matice je přesně součinem složek její hlavní úhlopříčky. Dovolte mi také připomenout alternativní metody hledání determinantu. Čtvercový determinant se nachází pomocí speciálních vzorců. Můžete například použít metodu trojúhelníku. Pro ostatní matice se používá metoda rozkladu podle řádků, sloupců nebo jejich prvků. Můžete také použít metodu mollů a algebraických doplňků matice.
PodrobnostiPojďme analyzovat proces převedení matice do trojúhelníkového tvaru na příkladech některých úloh.
Úkol 1
Je nutné najít determinant prezentované matice pomocí metody jejího převedení do trojúhelníkového tvaru.
Matice, kterou jsme dostali, je čtvercová matice třetího řádu. Proto, abychom jej převedli do trojúhelníkového tvaru, musíme anulovat dvě složky prvního sloupce a jednu složku druhého.
Abyste ji dostali do trojúhelníkového tvaru, začněte transformaci z levého dolního rohu matice - od čísla 6. Chcete-li ji vynulovat, vynásobte první řádek třemi a odečtěte jej od posledního řádku.
Důležité! Horní řádek se nemění, ale zůstává stejný jako v původní matici. Nemusíte psát řetězec čtyřikrát oproti původnímu. Ale hodnoty řetězců, jejichž komponenty je třeba vynulovat, se neustále mění.
Dále se budeme zabývat další hodnotou - prvkem druhého řádku prvního sloupce, číslem 8. Vynásobte první řádek čtyřmi a odečtěte jej od druhého řádku. Dostáváme nulu.
Zůstává pouze poslední hodnota - prvek třetího řádku druhého sloupce. Toto je číslo (-1). Chcete-li jej vynulovat, odečtěte druhý od prvního řádku.
Zkontrolujeme:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Odpověď na úkol je tedy -22.
Úkol 2
Musíme najít determinant matice tak, že ji převedeme do trojúhelníkového tvaru.
Reprezentovaná maticepatří ke čtvercovému typu a je maticí čtvrtého řádu. To znamená, že tři složky prvního sloupce, dvě složky druhého sloupce a jedna složka třetího sloupce musí být vynulovány.
Začněme jeho redukci od prvku umístěného v levém dolním rohu - od čísla 4. Toto číslo musíme otočit na nulu. Nejjednodušší způsob, jak to udělat, je vynásobit horní řadu čtyřmi a poté ji odečíst od čtvrté řady. Zapišme si výsledek první fáze transformace.
Složka čtvrtého řádku je tedy nastavena na nulu. Přejdeme k prvnímu prvku třetího řádku, k číslu 3. Provedeme podobnou operaci. Vynásobte první řádek třemi, odečtěte jej od třetího řádku a napište výsledek.
Dále vidíme číslo 2 na druhém řádku. Opakujeme operaci: vynásobíme horní řádek dvěma a odečteme jej od druhého.
Podařilo se nám vynulovat všechny složky prvního sloupce této čtvercové matice, kromě čísla 1, prvku hlavní diagonály, který nevyžaduje transformaci. Nyní je důležité zachovat výsledné nuly, budeme tedy provádět transformace s řádky, nikoli sloupci. Pojďme k druhému sloupci prezentované matice.
Začněme znovu odspodu - od prvku druhého sloupce posledního řádku. Toto je číslo (-7). V tomto případě je však výhodnější začít s číslem (-1) - prvkem druhého sloupce třetího řádku. Chcete-li jej vynulovat, odečtěte druhý řádek od třetího řádku. Poté vynásobíme druhou řadu sedmi a odečteme ji od čtvrté. Místo prvku umístěného ve čtvrtém řádku druhého sloupce jsme dostali nulu. Nyní přejdeme ke třetímusloupec.
V tomto sloupci potřebujeme vynulovat pouze jedno číslo – 4. Je to snadné: stačí přidat třetí k poslednímu řádku a vidět nulu, kterou potřebujeme.
Po všech transformacích jsme navrhovanou matici převedli do trojúhelníkového tvaru. Nyní, abyste našli její determinant, stačí vynásobit výsledné prvky hlavní diagonály. Dostaneme: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Řešením je tedy číslo 160.
Takže otázka převedení matice do trojúhelníkového tvaru vám nebude dělat potíže.
Zmenšení na stupňovitý tvar
V elementárních operacích s maticemi je stupňovitá forma méně „požadovaná“než trojúhelníková. Nejčastěji se používá k nalezení hodnosti matice (tj. počtu jejích nenulových řádků) nebo k určení lineárně závislých a nezávislých řádků. Zobrazení stupňovité matice je však univerzálnější, protože je vhodné nejen pro čtvercový typ, ale pro všechny ostatní.
Abyste matici redukovali na stupňovitou formu, musíte nejprve najít její determinant. K tomu jsou vhodné výše uvedené metody. Účelem nalezení determinantu je zjistit, zda jej lze převést na stupňovou matici. Pokud je determinant větší nebo menší než nula, můžete bezpečně přejít k úloze. Pokud se rovná nule, nebude fungovat zmenšení matice na stupňovitou formu. V tomto případě je třeba zkontrolovat, zda nejsou v záznamu nebo v transformacích matice nějaké chyby. Pokud takové nepřesnosti neexistují, úkol nelze vyřešit.
Pojďme se podívat, jak na topřeveďte matici do stupňovité podoby pomocí příkladů několika úkolů.
Úkol 1. Najděte pořadí dané maticové tabulky.
Před námi je čtvercová matice třetího řádu (3x3). Víme, že pro nalezení hodnosti je nutné ji zredukovat na stupňovitou formu. Nejprve tedy musíme najít determinant matice. Pomocí trojúhelníkové metody: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinant=12. Je větší než nula, což znamená, že matici lze zredukovat na stupňovitou formu. Začněme jeho proměny.
Začněme prvkem levého sloupce třetího řádku - číslem 2. Vynásobte horní řádek dvěma a odečtěte jej od třetího. Díky této operaci se prvek, který potřebujeme, i číslo 4 - prvek druhého sloupce třetího řádku - změnily na nulu.
Poté vynulujte prvek druhého řádku prvního sloupce – číslo 3. Chcete-li to provést, vynásobte horní řádek třemi a odečtěte jej od druhého.
Vidíme, že výsledkem redukce byla trojúhelníková matice. V našem případě transformace nemůže pokračovat, protože zbývající složky nelze vynulovat.
Došli jsme tedy k závěru, že počet řádků obsahujících číselné hodnoty v této matici (nebo její pořadí) je 3. Odpověď na úkol: 3.
Úkol 2. Určete počet lineárně nezávislých řádků této matice.
Potřebujeme najít řetězce, které nelze zvrátit žádnou transformacína nulu. Ve skutečnosti potřebujeme najít počet nenulových řádků nebo hodnost reprezentované matice. Chcete-li to provést, pojďme to zjednodušit.
Vidíme matici, která nepatří do čtvercového typu. Má rozměry 3x4. Začněme také odlit z prvku v levém dolním rohu - čísla (-1).
Přidejte první řádek ke třetímu. Poté od něj odečtěte sekundu a otočte číslo 5 na nulu.
Další transformace nejsou možné. Došli jsme tedy k závěru, že počet lineárně nezávislých čar v něm a odpověď na úlohu je 3.
Převedení matice do stupňovité podoby pro vás nyní není nesplnitelný úkol.
Na příkladech těchto úloh jsme analyzovali redukci matice na trojúhelníkový tvar a stupňovitý tvar. Aby bylo možné vynulovat požadované hodnoty maticových tabulek, je v některých případech nutné ukázat představivost a správně transformovat jejich sloupce nebo řádky. Hodně štěstí v matematice a práci s maticemi!
