Geometrické obrazce v prostoru jsou předmětem studia stereometrie, jejíž kurz absolvují středoškoláci. Tento článek je věnován tak dokonalému mnohostěnu, jakým je hranol. Podívejme se podrobněji na vlastnosti hranolu a uveďme vzorce, které slouží k jejich kvantitativnímu popisu.
Co je hranol?
Každý si představí, jak vypadá krabice nebo kostka. Obě postavy jsou hranoly. Třída hranolů je však mnohem rozmanitější. V geometrii má tento obrazec následující definici: hranol je libovolný mnohostěn v prostoru, který je tvořen dvěma rovnoběžnými a identickými polygonálními stranami a několika rovnoběžníky. Identické rovnoběžné plochy obrazce se nazývají jeho základny (horní a spodní). Rovnoběžníky jsou boční strany postavy, které vzájemně spojují strany základny.
Pokud je základna reprezentována n-úhelníkem, kde n je celé číslo, pak se obrazec bude skládat z 2+n ploch, 2n vrcholů a 3n hran. Tváře a hrany odkazujíjeden ze dvou typů: buď patří k boční ploše, nebo k základnám. Pokud jde o vrcholy, všechny jsou si rovny a patří k základnám hranolu.
Typy figurek studované třídy
Při studiu vlastností hranolu byste měli uvést možné typy tohoto obrázku:
- Konvexní a konkávní. Rozdíl mezi nimi spočívá ve tvaru polygonální základny. Pokud je konkávní, bude to také trojrozměrná postava a naopak.
- Přímé a šikmé. U přímého hranolu jsou boční plochy buď obdélníky nebo čtverce. Na šikmém obrázku jsou boční plochy rovnoběžníky obecného typu nebo kosočtverce.
- Špatně a správně. Aby byla figura studovaná správně, musí být rovná a mít správný základ. Příkladem druhého jsou ploché obrazce, jako je rovnostranný trojúhelník nebo čtverec.
Název hranolu je tvořen s ohledem na uvedenou klasifikaci. Například výše zmíněný pravoúhlý rovnoběžnostěn nebo krychle se nazývá pravidelný čtyřboký hranol. Pravidelné hranoly jsou díky své vysoké symetrii vhodné ke studiu. Jejich vlastnosti jsou vyjádřeny ve formě konkrétních matematických vzorců.
Prismová oblast
Když uvažujeme o takové vlastnosti hranolu, jako je jeho plocha, myslí se tím celková plocha všech jeho ploch. Nejsnáze si tuto hodnotu představíte, pokud postavu rozložíte, to znamená roztáhnete všechny plochy do jedné roviny. NížeObrázek ukazuje příklad pohybu dvou hranolů.
U libovolného hranolu lze vzorec pro oblast jeho rozmítání v obecném tvaru napsat takto:
S=2So+ bPsr.
Pojďme vysvětlit notaci. Hodnota So je plocha jedné základny, b je délka boční hrany, Psr je obvod řezu, který je kolmá na boční rovnoběžníky obrázku.
Psaný vzorec se často používá k určení oblastí nakloněných hranolů. V případě pravidelného hranolu bude mít výraz pro S konkrétní tvar:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
První člen ve výrazu představuje plochu dvou základen pravidelného hranolu, druhý člen je plocha postranních obdélníků. Zde a je délka strany pravidelného n-úhelníku. Všimněte si, že délka boční hrany b pro pravidelný hranol je zároveň jeho výškou h, takže ve vzorci b může být nahrazeno h.
Jak vypočítat objem postavy?
Prisma je relativně jednoduchý mnohostěn s vysokou symetrií. Proto pro určení jeho objemu existuje velmi jednoduchý vzorec. Vypadá to takto:
V=Soh.
Výpočet základní plochy a výšky může být při pohledu na šikmý nepravidelný tvar složitý. Tento problém je řešen pomocí sekvenční geometrické analýzy zahrnující informace o dihedrálních úhlech mezi bočními rovnoběžníky a základnou.
Pokud je hranol správnývzorec pro V se stává docela konkrétním:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
Jak můžete vidět, plocha S a objem V pro pravidelný hranol jsou jednoznačně určeny, pokud jsou známy dva jeho lineární parametry.
Trojúhelníkový pravidelný hranol
Ukončeme článek zvážením vlastností pravidelného trojúhelníkového hranolu. Tvoří jej pět ploch, z nichž tři jsou obdélníky (čtverce) a dva jsou rovnostranné trojúhelníky. Hranol má šest vrcholů a devět hran. Pro tento hranol jsou vzorce objemu a povrchu napsány níže:
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2h.
Kromě těchto vlastností je také užitečné zadat vzorec pro apotém základny obrazce, což je výška ha rovnostranného trojúhelníku:
ha=√3/2a.
Strany hranolu jsou identické obdélníky. Délky jejich úhlopříček d jsou:
d=√(a2+ h2).
Znalost geometrických vlastností trojúhelníkového hranolu je nejen teoretická, ale i praktická. Faktem je, že tento obrazec vyrobený z optického skla se používá ke studiu spektra záření těles.
Procházející skleněným hranolem se světlo v důsledku disperzního jevu rozloží na řadu barev složek, což vytváří podmínky pro studium spektrálního složení elektromagnetického toku.
