Matice: Gaussova metoda. Výpočet Gaussovy matice: Příklady

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-17 05:20

Lineární algebra, která se vyučuje na univerzitách v různých specializacích, kombinuje mnoho komplexních témat. Některé z nich souvisejí s maticemi a také s řešením soustav lineárních rovnic Gaussovou a Gauss-Jordanovou metodou. Ne všichni studenti dokážou porozumět těmto tématům, algoritmům pro řešení různých problémů. Pojďme společně porozumět maticím a metodám Gauss a Gauss-Jordan.

Základní pojmy

Matice v lineární algebře je pravoúhlé pole prvků (tabulka). Níže jsou uvedeny sady prvků v závorkách. Toto jsou matrice. Z výše uvedeného příkladu je vidět, že prvky v obdélníkových polích nejsou pouze čísla. Matice se může skládat z matematických funkcí, algebraických symbolů.

Abychom porozuměli některým pojmům, udělejme matici A z prvků a_ij. Indexy nejsou jen písmena: i je číslo řádku v tabulce a j je číslo sloupce, v jehož oblasti průsečíku se prvek nacházía_ij. Vidíme tedy, že máme matici prvků jako a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ atd. Písmeno n označuje počet sloupců a písmeno m označuje počet řádků. Symbol m × n označuje rozměr matice. Toto je koncept, který definuje počet řádků a sloupců v pravoúhlém poli prvků.

Volitelně musí mít matice několik sloupců a řádků. Při rozměru 1 × n je pole prvků jednořádkové a při rozměru m × 1 jednosloupcové pole. Když je počet řádků a počet sloupců stejný, matice se nazývá čtverec. Každá čtvercová matice má determinant (det A). Tento termín odkazuje na číslo, které je přiřazeno matici A.

Několik dalších důležitých pojmů, které je třeba si zapamatovat, aby bylo možné úspěšně vyřešit matice, jsou hlavní a vedlejší diagonály. Hlavní úhlopříčka matice je úhlopříčka, která jde dolů do pravého rohu stolu z levého horního rohu. Boční úhlopříčka jde do pravého rohu nahoru od levého rohu zdola.

Zobrazení stupňovité matice

Podívejte se na obrázek níže. Na něm uvidíte matici a diagram. Pojďme se nejprve zabývat matricí. V lineární algebře se matice tohoto druhu nazývá kroková matice. Má jednu vlastnost: je-li a_ij prvním nenulovým prvkem v i-té řadě, pak všechny ostatní prvky z matice pod a nalevo od a_ij , jsou null (tj. všechny prvky, které mohou mít označení písmenem a_kl, kde k>i al<j).

Nyní zvažte schéma. Odráží stupňovitou formu matice. Schéma ukazuje 3 typy buněk. Každý typ označuje určité prvky:

• prázdné buňky – nula prvků matice;
• stínované buňky jsou libovolné prvky, které mohou být nulové i nenulové;
• černé čtverce jsou nenulové prvky, které se nazývají rohové prvky, „kroky“(v matici zobrazené vedle nich jsou takovými prvky čísla –1, 5, 3, 8).

Při řešení matic je někdy výsledkem, že "délka" kroku je větší než 1. To je povoleno. Důležitá je pouze „výška“schodů. V krokové matici musí být tento parametr vždy roven jedné.

Redukce matice na stupňovitý tvar

Jakoukoli obdélníkovou matici lze převést na stupňovitou formu. To se děje pomocí elementárních transformací. Patří mezi ně:

• přeskupení strun;
• Přidání dalšího řádku na jeden řádek, v případě potřeby vynásobený nějakým číslem (můžete také provést operaci odečítání).

Uvažujme elementární transformace při řešení konkrétního problému. Obrázek níže ukazuje matici A, kterou je potřeba zredukovat na stupňovitý tvar.

Abychom problém vyřešili, budeme postupovat podle algoritmu:

• Je vhodné provádět transformace na matici pomocíprvní prvek v levém horním rohu (tj. "vedoucí" prvek) je 1 nebo -1. V našem případě je první prvek v horním řádku 2, takže prohoďme první a druhý řádek.
• Proveďme operace odečítání ovlivňující řádky 2, 3 a 4. V prvním sloupci pod prvkem „leading“bychom měli dostat nuly. Abychom dosáhli tohoto výsledku: od prvků řádku č. 2 postupně odečítáme prvky řádku č. 1, vynásobené 2; od prvků řádku č. 3 postupně odečítáme prvky řádku č. 1, vynásobené 4; od prvků řádku č. 4 postupně odečítáme prvky řádku č. 1.
• Dále budeme pracovat s zkrácenou maticí (bez sloupce 1 a bez řádku 1). Nový "přední" prvek, stojící na průsečíku druhého sloupce a druhého řádku, je roven -1. Není potřeba přeskupovat řádky, takže první sloupec a první a druhý řádek přepíšeme beze změn. Proveďme odečítací operace, abychom dostali nuly ve druhém sloupci pod "vedoucím" prvkem: od prvků třetího řádku postupně odečítáme prvky druhého řádku, vynásobené 3; odečtěte prvky druhého řádku vynásobené 2 od prvků čtvrtého řádku.
• Zbývá změnit poslední řádek. Od jejích prvků postupně odečítáme prvky třetí řady. Tak jsme dostali stupňovitou matici.

Redukce matic na stupňovitý tvar se používá při řešení soustav lineárních rovnic (SLE) Gaussovou metodou. Než se podíváme na tuto metodu, pojďme pochopit některé termíny související se SLN.

Matice a soustavy lineárních rovnic

Matice se používají v různých vědách. Pomocí tabulek čísel můžete například řešit lineární rovnice spojené do systému pomocí Gaussovy metody. Nejprve se seznámíme s několika pojmy a jejich definicemi a také se podíváme, jak se matice tvoří ze systému, který kombinuje několik lineárních rovnic.

SLU – několik kombinovaných algebraických rovnic s neznámými první mocninou a bez součinových členů.

SLE řešení – nalezené hodnoty neznámých, jejichž dosazením se rovnice v systému stanou identitami.

Spojené SLE je systém rovnic, který má alespoň jedno řešení.

Nekonzistentní SLE je systém rovnic, který nemá řešení.

Jak se tvoří matice na základě systému, který kombinuje lineární rovnice? Existují takové koncepty jako hlavní a rozšířené matice systému. Abychom získali hlavní matici systému, je nutné dát do tabulky všechny koeficienty pro neznámé. Rozšířená matice se získá přidáním sloupce volných členů do hlavní matice (zahrnuje známé prvky, ke kterým se každá rovnice v systému rovná). Celý tento proces pochopíte prostudováním obrázku níže.

První věc, kterou na obrázku vidíme, je systém, který obsahuje lineární rovnice. Jeho prvky: a_ij – číselné koeficienty, x_j – neznámé hodnoty, b_i – konstantní členy (kde i=1, 2, …, ma j=1, 2, …, n). Druhým prvkem na obrázku je hlavní matice koeficientů. Z každé rovnice se koeficienty zapisují do řady. Výsledkem je, že v matici je tolik řádků, kolik je rovnic v systému. Počet sloupců se rovná největšímu počtu koeficientů v libovolné rovnici. Třetím prvkem na obrázku je rozšířená matice se sloupcem volných výrazů.

Obecné informace o Gaussově metodě

V lineární algebře je Gaussova metoda klasickým způsobem řešení SLE. Nese jméno Carla Friedricha Gausse, který žil v 18.-19. Toto je jeden z největších matematiků všech dob. Podstatou Gaussovy metody je provádění elementárních transformací na soustavě lineárních algebraických rovnic. Pomocí transformací je SLE redukován na ekvivalentní systém trojúhelníkového (stupňovaného) tvaru, ze kterého lze nalézt všechny proměnné.

Za zmínku stojí, že Carl Friedrich Gauss není objevitelem klasické metody řešení soustavy lineárních rovnic. Metoda byla vynalezena mnohem dříve. Jeho první popis se nachází v encyklopedii znalostí starověkých čínských matematiků, nazvané „Matematika v 9 knihách“.

Příklad řešení SLE Gaussovou metodou

Uvažme řešení soustav Gaussovou metodou na konkrétním příkladu. Budeme pracovat s SLU zobrazeným na obrázku.

Algoritmus řešení:

1. Systém zredukujeme na stupňovitou formu přímým pohybem Gaussovy metody, ale nejprvevytvoříme rozšířenou matici číselných koeficientů a volných členů.
2. Chceme-li vyřešit matici pomocí Gaussovy metody (tj. uvést ji do stupňovitého tvaru), od prvků druhého a třetího řádku postupně odečítáme prvky prvního řádku. Dostaneme nuly v prvním sloupci pod prvkem „leading“. Dále změníme druhý a třetí řádek na místech pro pohodlí. K prvkům posledního řádku postupně přidejte prvky druhého řádku vynásobené 3.
3. Výsledkem výpočtu matice Gaussovou metodou jsme dostali stupňovité pole prvků. Na jeho základě sestavíme nový systém lineárních rovnic. Opačným postupem Gaussovy metody najdeme hodnoty neznámých členů. Z poslední lineární rovnice je vidět, že x₃ se rovná 1. Tuto hodnotu dosadíme do druhého řádku soustavy. Získáte rovnici x₂ – 4=–4. Z toho vyplývá, že x₂ se rovná 0. Dosaďte x₂ a x₃ do první rovnice soustavy: x1 _{+ 0 +3=2. Neznámý výraz je -1.}

Odpověď: pomocí matice, Gaussovy metody, jsme našli hodnoty neznámých; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Gauss-Jordanova metoda

V lineární algebře existuje také něco jako Gauss-Jordanova metoda. Je považována za modifikaci Gaussovy metody a používá se k nalezení inverzní matice, výpočtu neznámých členů čtvercových soustav algebraických lineárních rovnic. Gauss-Jordanova metoda je výhodná v tom, že umožňuje řešit SLE v jednom kroku (bez použití přímého a inverzníhotahy).

Začněme termínem "inverzní matice". Předpokládejme, že máme matici A. Inverzní k ní bude matice A^-1, přičemž podmínka je nutně splněna: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, tj. součin těchto matic je roven matici identity (prvky hlavní diagonály matice identity jsou jedničky a zbývající prvky jsou nula).}

Důležitá nuance: v lineární algebře existuje věta o existenci inverzní matice. Postačující a nutnou podmínkou pro existenci matice A^-1 je, že matice A je nesingulární.

Základní kroky, na kterých je založena Gauss-Jordanova metoda:

1. Podívejte se na první řádek konkrétní matice. Metodu Gauss-Jordan lze spustit, pokud první hodnota není rovna nule. Pokud je na prvním místě 0, prohoďte řádky tak, aby první prvek měl nenulovou hodnotu (je žádoucí, aby číslo bylo blíže jedné).
2. Vydělte všechny prvky prvního řádku prvním číslem. Skončíte řetězcem, který začíná jedničkou.
3. Od druhého řádku odečtěte první řádek vynásobený prvním prvkem druhého řádku, to znamená, že nakonec dostanete řádek, který začíná od nuly. Udělejte totéž pro zbytek řádků. Vydělte každý řádek jeho prvním nenulovým prvkem, abyste získali 1 diagonálně.
4. Výsledkem je, že pomocí Gauss - Jordanovy metody získáte horní trojúhelníkovou matici. V něm je hlavní úhlopříčka zastoupena jednotkami. Spodní roh je vyplněn nulami ahorní roh - různé hodnoty.
5. Od předposledního řádku odečtěte poslední řádek vynásobený požadovaným koeficientem. Měli byste dostat řetězec s nulami a jedničkou. Pro zbytek řádků opakujte stejnou akci. Po všech transformacích bude získána matice identity.

Příklad nalezení inverzní matice pomocí Gauss-Jordanovy metody

Pro výpočet inverzní matice musíte napsat rozšířenou matici A|E a provést potřebné transformace. Podívejme se na jednoduchý příklad. Obrázek níže ukazuje matici A.

Řešení:

1. Nejprve najdeme determinant matice pomocí Gaussovy metody (det A). Pokud se tento parametr nerovná nule, bude matice považována za nesingulární. To nám umožní dojít k závěru, že A rozhodně má A^-1. Pro výpočet determinantu transformujeme matici do stupňovitého tvaru elementárními transformacemi. Spočítejme číslo K rovné počtu řádkových permutací. Změnili jsme řádky pouze 1krát. Pojďme vypočítat determinant. Jeho hodnota se bude rovnat součinu prvků hlavní úhlopříčky vynásobenému (–1)^K. Výsledek výpočtu: det A=2.
2. Složte rozšířenou matici přidáním matice identity k původní matici. Výsledné pole prvků bude použito k nalezení inverzní matice metodou Gauss-Jordan.
3. První prvek v prvním řádku se rovná jedné. To nám vyhovuje, protože není potřeba přeskupovat řádky a dělit daný řádek nějakým číslem. Začněme pracovats druhým a třetím řádkem. Chcete-li změnit první prvek ve druhém řádku na 0, odečtěte od druhého řádku první řádek vynásobený 3. Odečtěte první řádek od třetího řádku (není nutné násobení).
4. Ve výsledné matici je druhý prvek druhého řádku -4 a druhý prvek třetího řádku je -1. Prohodíme řádky pro pohodlí. Od třetího řádku odečtěte druhý řádek vynásobený 4. Vydělte druhý řádek -1 a třetí řádek 2. Získáme horní trojúhelníkovou matici.
5. Pojďme odečíst poslední řádek vynásobený 4 od druhého řádku a poslední řádek vynásobený 5 od prvního řádku. Dále odečteme druhý řádek vynásobený 2 od prvního řádku. Na levé straně máme matice identity. Vpravo je inverzní matice.

Příklad řešení SLE metodou Gauss-Jordan

Na obrázku je znázorněna soustava lineárních rovnic. Je nutné najít hodnoty neznámých proměnných pomocí matice, Gauss-Jordanovy metody.

Řešení:

1. Pojďme vytvořit rozšířenou matici. Za tímto účelem uvedeme koeficienty a volné termíny do tabulky.
2. Vyřešte matici pomocí Gauss-Jordanovy metody. Od řádku č. 2 odečteme řádek č. 1. Od řádku č. 3 odečteme řádek č. 1, předtím vynásobený 2.
3. Vyměňte řádky 2 a 3.
4. Od řádku 3 odečtěte řádek 2 vynásobený 2. Vydělte výsledný třetí řádek číslem –1.
5. Odečtěte řádek 3 od řádku 2.
6. Odečtěte řádek 1 od řádku 12 krát -1. Na straně jsme dostali sloupec složený z čísel 0, 1 a -1. Z toho vyvozujeme, že x₁=0, x₂=1 a x₃ =–1.

Pokud chcete, můžete zkontrolovat správnost řešení dosazením vypočtených hodnot do rovnic:

• 0 – 1=–1, první identita ze systému je správná;
• 0 + 1 + (–1)=0, druhá identita ze systému je správná;
• 0 – 1 + (–1)=–2, třetí identita ze systému je správná.

Závěr: pomocí Gauss-Jordanovy metody jsme našli správné řešení kvadratického systému, který kombinuje lineární algebraické rovnice.

Online kalkulačky

Život dnešní mládeže studující na univerzitách a studující lineární algebru se výrazně zjednodušil. Před pár lety jsme museli řešení systémů pomocí Gaussovy a Gauss-Jordanovy metody hledat sami. Někteří žáci se s úkoly úspěšně vypořádali, jiní se v řešení pletli, chybovali, žádali spolužáky o pomoc. Dnes můžete při domácích úkolech používat online kalkulačky. Pro řešení soustav lineárních rovnic, hledání inverzních matic byly napsány programy, které demonstrují nejen správné odpovědi, ale také ukazují postup řešení konkrétního problému.

Na internetu je mnoho zdrojů s vestavěnými online kalkulačkami. Gaussovy matice, soustavy rovnic jsou těmito programy vyřešeny během několika sekund. Studentům stačí zadat požadované parametry (např. počet rovnic,počet proměnných).