Metody pro stanovení rovnic přímek v rovině a v trojrozměrném prostoru

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-02 17:43

Přímka je hlavní geometrický objekt v rovině a v trojrozměrném prostoru. Z rovných čar je postaveno mnoho obrazců, například: rovnoběžník, trojúhelník, hranol, pyramida atd. Zvažte v článku různé způsoby nastavení rovnic přímek.

Definice přímky a typů rovnic pro její popis

Každý student má dobrou představu o tom, o jakém geometrickém objektu mluví. Přímá čára může být reprezentována jako soubor bodů, a pokud spojíme každý z nich postupně se všemi ostatními, dostaneme sadu paralelních vektorů. Jinými slovy, ke každému bodu úsečky je možné se dostat z jednoho z jejích pevných bodů a přenést jej na nějaký jednotkový vektor vynásobený reálným číslem. Tato definice přímky se používá k definování vektorové rovnosti pro její matematický popis jak v rovině, tak v trojrozměrném prostoru.

Přímku lze matematicky znázornit následujícími typy rovnic:

general;
vector;
parametric;
v segmentech;
symetrický (kanonický).

Dále zvážíme všechny jmenované typy a na příkladech řešení problémů si ukážeme, jak s nimi pracovat.

Vektorový a parametrický popis přímky

Začněme definováním přímky přes známý vektor. Předpokládejme, že v prostoru M je pevný bod (x₀; y₀; z_{0). Je známo, že jím prochází přímka a směřuje podél vektorového segmentu v¯(a; b; c). Jak z těchto údajů najít libovolný bod přímky? Odpověď na tuto otázku poskytne následující rovnost:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c)}

Kde λ je libovolné číslo.

Podobný výraz lze napsat pro dvourozměrný případ, kde jsou souřadnice vektorů a bodů reprezentovány sadou dvou čísel:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b)}

Psané rovnice se nazývají vektorové rovnice a směrovaný segment v¯ sám je směrovým vektorem pro přímku.

Ze zapsaných výrazů se odpovídající parametrické rovnice získají jednoduše, stačí je explicitně přepsat. Například pro případ ve vesmíru dostaneme následující rovnici:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

Pokud potřebujete analyzovat chování, je vhodné pracovat s parametrickými rovnicemikaždá souřadnice. Všimněte si, že ačkoli parametr λ může nabývat libovolných hodnot, musí být stejný ve všech třech rovností.

Obecná rovnice

Dalším způsobem, jak definovat přímku, která se často používá pro práci s uvažovaným geometrickým objektem, je použití obecné rovnice. Pro dvourozměrný případ to vypadá takto:

Ax + By + C=0

Velká písmena latinky zde představují konkrétní číselné hodnoty. Pohodlí této rovnosti při řešení problémů spočívá v tom, že explicitně obsahuje vektor, který je kolmý k přímce. Pokud jej označíme n¯, můžeme napsat:

n¯=[A; B

Výraz je navíc vhodné použít k určení vzdálenosti od přímky k nějakému bodu P(x₁; y_{1). Vzorec pro vzdálenost d je:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(A²+ B²⁾

Je snadné ukázat, že pokud explicitně vyjádříme proměnnou y z obecné rovnice, dostaneme následující známý tvar zápisu přímky:

y=kx + b

Kde kab jsou jednoznačně určeny čísly A, B, C.

Rovnice v segmentech a kanonické

Rovnici v segmentech lze nejsnáze získat z obecného pohledu. Ukážeme vám, jak na to.

Předpokládejme, že máme následující řádek:

Ax + By + C=0

Přesuňte volný člen na pravou stranu rovnosti a vydělte jím celou rovnici, dostaneme:

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1, kde q=-C / A, p=-C / B

Dostali jsme takzvanou rovnici v segmentech. Svůj název dostal díky tomu, že jmenovatel, kterým je každá proměnná rozdělena, ukazuje hodnotu souřadnice průsečíku přímky s příslušnou osou. Tuto skutečnost je vhodné využít k zobrazení přímky v souřadnicovém systému a také k analýze její relativní polohy vzhledem k jiným geometrickým objektům (přímky, body).

Nyní přejdeme k získání kanonické rovnice. To je snazší, pokud vezmeme v úvahu parametrickou možnost. Pro případ v letadle máme:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

Vyjádříme parametr λ v každé rovnosti, pak je srovnáme, dostaneme:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

Toto je požadovaná rovnice napsaná v symetrickém tvaru. Stejně jako vektorový výraz explicitně obsahuje souřadnice směrového vektoru a souřadnice jednoho z bodů, které patří k přímce.

Je vidět, že v tomto odstavci jsme uvedli rovnice pro dvourozměrný případ. Podobně můžete napsat rovnici přímky v prostoru. Zde je třeba poznamenat, že pokud kanonická formazáznamy a výrazy v segmentech budou mít stejný tvar, pak obecná rovnice v prostoru pro přímku je reprezentována systémem dvou rovnic pro protínající se roviny.

Problém sestrojení rovnice přímky

Z geometrie každý student ví, že pomocí dvou bodů lze nakreslit jednu čáru. Předpokládejme, že v rovině souřadnic jsou uvedeny následující body:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

Je nutné najít rovnici přímky, ke které oba body patří, v úsecích, ve vektorové, kanonické a obecné formě.

Pojďme nejprve získat vektorovou rovnici. Chcete-li to provést, definujte pro vektor přímého směru M₁M_2¯:

M₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

Nyní můžete vytvořit vektorovou rovnici tím, že vezmete jeden ze dvou bodů uvedených v zadání problému, například M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

K získání kanonické rovnice stačí převést nalezenou rovnost do parametrického tvaru a vyloučit parametr λ. Máme:

x=-1 - 2λ, tedy λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ, pak dostaneme λ=y - 3;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

Zbývající dvě rovnice (obecné a v segmentech) lze najít z kanonické rovnice tak, že ji transformujete takto:

x + 1=-2y + 6;

obecná rovnice: x + 2y - 5=0;

rovnice v segmentech: x / 5 + y / 2, 5=1

Výsledné rovnice ukazují, že vektor (1; 2) musí být kolmý k přímce. Pokud skutečně najdete jeho skalární součin se směrovým vektorem, bude se rovnat nule. Rovnice úsečky říká, že přímka protíná osu x v (5; 0) a osu y v (2, 5; 0).

Problém určení průsečíku čar

Dvě rovné čáry jsou dány v rovině následujícími rovnicemi:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

Je nutné určit souřadnice bodu, kde se tyto čáry protínají.

Problém lze vyřešit dvěma způsoby:

Převeďte vektorovou rovnici do obecného tvaru a poté vyřešte soustavu dvou lineárních rovnic.
Neprovádějte žádné transformace, ale jednoduše dosaďte souřadnici průsečíku, vyjádřenou parametrem λ, do první rovnice. Poté najděte hodnotu parametru.

Udělejme druhý způsob. Máme: