Typickým geometrickým problémem je nalezení úhlu mezi čarami. V rovině, pokud jsou známy rovnice přímek, lze je nakreslit a úhel změřit pomocí úhloměru. Tato metoda je však pracná a ne vždy možná. Pro zjištění pojmenovaného úhlu není nutné kreslit rovné čáry, lze jej vypočítat. Tento článek odpoví, jak se to dělá.
Přímka a její vektorová rovnice
Jakoukoli přímku lze reprezentovat jako vektor, který začíná na -∞ a končí na +∞. V tomto případě vektor prochází nějakým bodem v prostoru. Všechny vektory, které lze nakreslit mezi libovolnými dvěma body na přímce, budou tedy navzájem rovnoběžné. Tato definice vám umožňuje nastavit rovnici přímky ve vektorovém tvaru:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Vektor se souřadnicemi (a; b; c) je zde vodítkem pro tuto přímku procházející bodem (x0; y0; z0). Parametr α umožňuje přenést zadaný bod na jakýkoli jiný pro tuto čáru. Tato rovnice je intuitivní a snadno se s ní pracuje jak ve 3D prostoru, tak v rovině. U roviny nebude obsahovat souřadnice z a složku vektoru třetího směru.
Pohodlí při provádění výpočtů a studiu relativní polohy přímek díky použití vektorové rovnice je dáno tím, že je znám její směrovací vektor. Jeho souřadnice se používají k výpočtu úhlu mezi čarami a vzdálenosti mezi nimi.
Obecná rovnice pro přímku v rovině
Napišme explicitně vektorovou rovnici přímky pro dvourozměrný případ. Vypadá to takto:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Nyní vypočítáme parametr α pro každou rovnost a srovnáme správné části získaných rovností:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Otevřením závorek a převedením všech termínů na jednu stranu rovnosti dostaneme:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, kde A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Výsledný výraz se nazývá obecná rovnice pro přímku danou ve dvourozměrném prostoru (v trojrozměrném prostoru tato rovnice odpovídá rovině rovnoběžné s osou z, nikoli přímce).
Pokud v tomto výrazu výslovně napíšeme y až x, dostaneme následující tvar, známýkaždý student:
y=kx + p, kde k=-A/B, p=-C/B
Tato lineární rovnice jednoznačně definuje přímku na rovině. Je velmi snadné jej nakreslit podle známé rovnice, k tomu dejte postupně x=0 a y=0, označte odpovídající body v souřadnicovém systému a nakreslete přímku spojující získané body.
Vzorec úhlu mezi čarami
V rovině se dvě čáry mohou protínat nebo být vzájemně rovnoběžné. V prostoru se k těmto možnostem přidává možnost existence šikmých čar. Ať je implementována jakákoli verze vzájemné polohy těchto jednorozměrných geometrických objektů, úhel mezi nimi lze vždy určit podle následujícího vzorce:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Kde v1¯ a v2¯ jsou vodicí vektory pro řádek 1 a 2. Čitatel je modul bodového součinu pro vyloučení tupých úhlů a zohlednění pouze ostrých.
Vektory v1¯ a v2¯ mohou být dány dvěma nebo třemi souřadnicemi, zatímco vzorec pro úhel φ zůstává nezměněn.
Paralelnost a kolmost čar
Pokud je úhel mezi 2 čarami vypočítaný pomocí výše uvedeného vzorce 0o, říkáme, že jsou rovnoběžné. Chcete-li určit, zda jsou čáry rovnoběžné nebo ne, nemůžete vypočítat úhelφ, stačí ukázat, že jeden směrový vektor může být reprezentován podobným vektorem jiné přímky, tedy:
v1¯=qv2¯
Tady q je nějaké reálné číslo.
Pokud jsou rovnice přímek uvedeny jako:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
pak budou rovnoběžné pouze tehdy, když se koeficienty x budou rovnat, to znamená:
k1=k2
Tuto skutečnost lze dokázat, uvážíme-li, jak je koeficient k vyjádřen v souřadnicích směrovacího vektoru přímky.
Pokud je úhel průsečíku mezi čarami 90o, pak se nazývají kolmé. Pro určení kolmosti přímek také není nutné počítat úhel φ, k tomu stačí vypočítat pouze skalární součin vektorů v1¯ a v 2¯. Musí být nula.
V případě protínání přímek v prostoru lze také použít vzorec pro úhel φ. V tomto případě by měl být výsledek správně interpretován. Vypočtené φ ukazuje úhel mezi směrovými vektory čar, které se neprotínají a nejsou rovnoběžné.
Úkol 1. Kolmé čáry
Je známo, že rovnice přímek mají tvar:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Je nutné určit, zda tyto řádky jsoukolmo.
Jak bylo uvedeno výše, k zodpovězení otázky postačí vypočítat skalární součin vektorů vodítek, které odpovídají souřadnicím (1; 2) a (-4; 2). Máme:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Jelikož jsme dostali 0, znamená to, že uvažované čáry se protínají v pravém úhlu, to znamená, že jsou kolmé.
Úkol 2. Úhel průsečíku čar
Je známo, že dvě rovnice pro přímky mají následující tvar:
y=2x – 1;
y=-x + 3
Je nutné najít úhel mezi čarami.
Protože koeficienty x mají různé hodnoty, nejsou tyto čáry rovnoběžné. Abychom našli úhel, který je vytvořen, když se protnou, převedeme každou z rovnic do vektorového tvaru.
Za první řádek dostáváme:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Na pravé straně rovnice máme vektor, jehož souřadnice závisí na x. Představme si to jako součet dvou vektorů, přičemž souřadnice prvního budou obsahovat proměnnou x a souřadnice druhého budou tvořeny výhradně čísly:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Protože x nabývá libovolných hodnot, může být nahrazeno parametrem α. Vektorová rovnice pro první řádek bude:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Stejné akce provedeme s druhou rovnicí řádku, dostaneme:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Přepsali jsme původní rovnice do vektorového tvaru. Nyní můžete použít vzorec pro úhel průsečíku a dosadit do něj souřadnice směrovacích vektorů čar:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Uvažované čáry se tedy protínají pod úhlem 71,565o neboli 1,249 radiánů.
Tento problém mohl být vyřešen jinak. K tomu bylo nutné vzít dva libovolné body každé přímky, poskládat z nich přímé vektory a poté použít vzorec pro φ.
