Ve fyzice se zvažování problémů s rotujícími tělesy nebo systémy, které jsou v rovnováze, provádí pomocí konceptu „momentu síly“. Tento článek bude zvažovat vzorec pro moment síly a také jeho použití pro řešení tohoto typu problému.
Moment síly ve fyzice
Jak bylo uvedeno v úvodu, tento článek se zaměří na systémy, které se mohou otáčet kolem osy nebo kolem bodu. Zvažte příklad takového modelu, který je znázorněn na obrázku níže.
Vidíme, že šedá páka je upevněna na ose otáčení. Na konci páky je černá krychle nějaké hmoty, na kterou působí síla (červená šipka). Je intuitivně jasné, že výsledkem této síly bude rotace páky kolem osy proti směru hodinových ručiček.
Moment síly je ve fyzice veličina, která se rovná vektorovému součinu poloměru spojujícího osu rotace a bodu působení síly (zelený vektor na obrázku) a vnější síly sám. To znamená, že vzorec pro moment síly kolem osy je napsántakto:
M¯=r¯F¯
Výsledkem tohoto produktu je vektor M¯. Jeho směr je určen na základě znalosti multiplikačních vektorů, tedy r¯ a F¯. Podle definice křížového součinu musí být M¯ kolmé k rovině tvořené vektory r¯ a F¯ a musí být nasměrováno v souladu s pravidlem pravé ruky (pokud jsou čtyři prsty pravé ruky umístěny podél prvního násobeného vektor ke konci sekundy, pak palec ukazuje, kam směřuje požadovaný vektor). Na obrázku můžete vidět, kam směřuje vektor M¯ (modrá šipka).
Skalární zápis M¯
Na obrázku v předchozím odstavci působí síla (červená šipka) na páku pod úhlem 90o. V obecném případě může být aplikován v absolutně libovolném úhlu. Podívejte se na obrázek níže.
Zde vidíme, že síla F již působí na páku L pod určitým úhlem Φ. Pro tento systém bude mít vzorec pro moment síly vzhledem k bodu (znázorněnému šipkou) ve skalárním tvaru:
M=LFsin(Φ)
Z výrazu vyplývá, že moment síly M bude tím větší, čím blíže bude směr působení síly F k úhlu 90o vzhledem k L Naopak, pokud F působí podél L, pak sin(0)=0 a síla nevytváří žádný moment (M=0).
Při zvažování momentu síly ve skalární formě se často používá pojem „páka síly“. Tato hodnota je vzdálenost mezi osou (bodrotace) a vektor F. Aplikujeme-li tuto definici na obrázek výše, můžeme říci, že d=Lsin(Φ) je páka síly (rovnost vyplývá z definice goniometrické funkce "sinus"). Pomocí páky síly lze vzorec pro okamžik M přepsat takto:
M=dF
Fyzikální význam M
Uvažovaná fyzikální veličina určuje schopnost vnější síly F vyvíjet rotační účinek na systém. Aby bylo těleso uvedeno do rotačního pohybu, je nutné mu oznámit nějaký okamžik M.
Ukázkovým příkladem tohoto procesu je otevírání nebo zavírání dveří do místnosti. Při držení kliky se osoba snaží a otáčí dveře na pantech. Zvládne to každý. Pokud se pokusíte dveře otevřít tak, že na ně zasáhnete poblíž pantů, budete muset vynaložit velké úsilí, abyste je posunuli.
Dalším příkladem je povolování matice pomocí klíče. Čím kratší je tento klíč, tím obtížnější je úkol dokončit.
Naznačené vlastnosti jsou demonstrovány vzorcem momentu síly přes rameno, který byl uveden v předchozím odstavci. Pokud je M považováno za konstantní hodnotu, pak čím menší d, tím větší F musí být aplikováno k vytvoření daného momentu síly.
Několik působících sil v systému
Výše byly uvažovány případy, kdy na systém schopný rotace působí pouze jedna síla F, ale co když existuje několik takových sil? Tato situace je skutečně častější, protože na systém mohou působit sílyrůzné povahy (gravitační, elektrické, třecí, mechanické a jiné). Ve všech těchto případech lze výsledný moment síly M¯ získat pomocí vektorového součtu všech momentů Mi¯, tj.:
M¯=∑i(Mi¯), kde i je číslo síly Fi
Z vlastnosti aditivity momentů vyplývá důležitý závěr, který se nazývá Varignonova věta, pojmenovaná po matematikovi konce 17. – počátku 18. století – Francouzi Pierru Varignonovi. Zní: "Součet momentů všech sil působících na uvažovanou soustavu lze znázornit jako moment jedné síly, který se rovná součtu všech ostatních a působí na určitý bod." Matematicky lze větu napsat následovně:
∑i(Mi¯)=M¯=d∑i (Fi¯)
Tato důležitá věta se v praxi často používá k řešení problémů s rotací a rovnováhou těles.
Funguje moment síly?
Analýzou výše uvedených vzorců ve skalární nebo vektorové podobě můžeme dojít k závěru, že hodnota M je nějaká práce. Jeho rozměr je skutečně Nm, což v SI odpovídá joulu (J). Momentem síly ve skutečnosti není práce, ale pouze množství, které je toho schopné. Aby k tomu došlo, je nutné mít v soustavě kruhový pohyb a dlouhodobé působení M. Proto je vzorec pro práci momentu síly napsán takto:
A=Mθ
BV tomto výrazu je θ úhel, o který bylo otočeno momentem síly M. V důsledku toho lze jednotku práce zapsat jako Nmrad nebo Jrad. Například hodnota 60 Jrad znamená, že při otočení o 1 radián (přibližně 1/3 kruhu) síla F, která vytváří moment M, vykonala 60 joulů práce. Tento vzorec se často používá při řešení problémů v systémech, kde působí třecí síly, jak bude ukázáno níže.
Moment síly a moment hybnosti
Jak je znázorněno, dopad momentu M na systém vede k tomu, že se v něm objeví rotační pohyb. Ten je charakterizován veličinou zvanou „hybnost“. Lze jej vypočítat pomocí vzorce:
L=Iω
Zde I je moment setrvačnosti (hodnota, která hraje při rotaci stejnou roli jako hmotnost při lineárním pohybu tělesa), ω je úhlová rychlost, souvisí s lineární rychlostí podle vzorce ω=v/r.
Oba momenty (hybnost a síla) spolu souvisí následujícím výrazem:
M=Iα, kde α=dω / dt je úhlové zrychlení.
Uveďme další vzorec, který je důležitý pro řešení problémů pro působení momentů sil. Pomocí tohoto vzorce můžete vypočítat kinetickou energii rotujícího tělesa. Vypadá takhle:
Ek=1/2Iω2
Dále uvádíme dva problémy s řešením, kde ukážeme, jak používat uvažované fyzikální vzorce.
Rovnováha několika těles
První úkol souvisí s rovnováhou systému, ve kterém působí několik sil. NaObrázek níže ukazuje systém, na který působí tři síly. Je nutné vypočítat, jakou hmotnost musí být objekt na této páce zavěšen a v jakém bodě to musí být provedeno, aby byl tento systém v rovnováze.
Z podmínek problému můžeme pochopit, že k jeho vyřešení je třeba použít Varignonovu větu. První část problému může být zodpovězena okamžitě, protože hmotnost předmětu, který má být zavěšen na páku, bude:
P=F1 - F2 + F3=20 - 10 + 25=35 H
Značky jsou zde vybrány s ohledem na to, že síla, která otáčí pákou proti směru hodinových ručiček, vytváří záporný moment.
Pozice bodu d, kde má být toto závaží zavěšeno, se vypočítá podle vzorce:
M1 - M2 + M3=dP=720 - 510 + 325=d35=> d=165/35=4, 714 m
Všimněte si, že pomocí vzorce pro moment gravitace jsme vypočítali ekvivalentní hodnotu M k hodnotě vytvořené třemi silami. Aby byl systém v rovnováze, je nutné zavěsit těleso o hmotnosti 35 N v bodě 4, 714 m od osy na druhé straně páky.
Problém s pohyblivým diskem
Řešení následující úlohy je založeno na použití vzorce pro moment třecí síly a kinetickou energii rotačního tělesa. Úkol: Je dán disk o poloměru r=0,3 metru, který se otáčí rychlostí ω=1 rad/s. Je nutné vypočítat, jak daleko může ujet po povrchu, pokud je koeficient valivého tření Μ=0,001.
Tento problém lze nejsnáze vyřešit, pokud použijete zákon zachování energie. Máme počáteční kinetickou energii disku. Když se začne valit, veškerá tato energie je vynaložena na ohřev povrchu v důsledku působení třecí síly. Porovnáním obou veličin dostaneme výraz:
Iω2/2=ΜN/rrθ
První část vzorce je kinetická energie disku. Druhá část je práce momentu třecí síly F=ΜN/r, působící na okraj disku (M=Fr).
Vzhledem k tomu, že N=mg a I=1/2 mr2, vypočítáme θ:
θ=mr2 ω2/(4Μmg)=r 2 ω2/(4Μ g)=0, 32 1 2/(40,0019,81)=2,29358 rad
Protože 2pi radiány odpovídají délce 2pir, dostaneme, že požadovaná vzdálenost, kterou disk urazí, je:
s=θr=2,293580,3=0,688 m nebo přibližně 69 cm
Všimněte si, že hmotnost disku tento výsledek neovlivňuje.
