Jednou ze základních částí matematické analýzy je integrální počet. Pokrývá nejširší pole objektů, kde první je neurčitý integrál. Stojí za to ho umístit jako klíč, který i na střední škole odhaluje stále větší množství perspektiv a příležitostí, které vyšší matematika popisuje.
Vzhled
Na první pohled se zdá integrál naprosto moderní, relevantní, ale v praxi se ukazuje, že se objevil již v roce 1800 před naším letopočtem. Egypt je oficiálně považován za vlast, protože dřívější důkazy o jeho existenci se k nám nedostaly. On, kvůli nedostatku informací, byla celá ta doba umístěna jednoduše jako fenomén. Znovu potvrdil úroveň rozvoje vědy mezi národy té doby. Nakonec byla nalezena díla starověkých řeckých matematiků pocházející ze 4. století před naším letopočtem. Popsali metodu, kdy byl použit neurčitý integrál, jehož podstatou bylo najít objem nebo plochu křivočarého obrazce (trojrozměrnéhoa dvourozměrné roviny). Princip výpočtu byl založen na rozdělení původního obrazce na nekonečně malé složky za předpokladu, že je již znám jejich objem (plocha). Postupem času se metoda rozrostla, Archimedes ji použil k nalezení oblasti paraboly. Podobné výpočty prováděli ve stejnou dobu vědci ve starověké Číně a byly zcela nezávislé na jejich řeckých protějšcích ve vědě.
Vývoj
Dalším průlomem v 11. století našeho letopočtu byla práce arabského vědce – „univerzálního“Abu Ali al-Basriho, který posunul hranice toho, co již bylo známo, a odvodil vzorce založené na integrálu pro výpočet součtů řádků a součtů mocnin od prvního do čtvrtého, přičemž se použije nám známá metoda matematické indukce.
Mysli moderní doby obdivují, jak staří Egypťané vytvářeli úžasné architektonické památky bez jakýchkoliv speciálních zařízení, snad kromě rukou, ale není síla mysli tehdejších vědců o nic menší zázrak? Ve srovnání s dneškem se jejich život zdá téměř primitivní, ale řešení neurčitých integrálů bylo všude odvozeno a v praxi využíváno pro další vývoj.
Další krok se odehrál v 16. století, kdy italský matematik Cavalieri vyvinul metodu nedělitelných, kterou převzal Pierre Fermat. Právě tyto dvě osobnosti položily základ modernímu integrálnímu počtu, který je v současnosti znám. Propojili koncepty diferenciace a integrace, které byly dřívepovažovány za autonomní jednotky. Celkově vzato byla tehdejší matematika roztříštěná, částice závěrů existovaly samy o sobě a měly omezený rozsah. Cesta sjednocování a hledání společného základu byla v té době jediná správná, díky níž moderní matematická analýza dostala příležitost růst a rozvíjet se.
Všechno se postupem času změnilo, včetně zápisu integrálu. Celkově to vědci označovali všemi prostředky, například Newton použil čtvercovou ikonu, do které umístil integrovatelnou funkci nebo ji jednoduše umístil vedle ní.
Tato nejednotnost pokračovala až do 17. století, kdy vědec Gottfried Leibniz, mezník pro celou teorii matematické analýzy, představil nám tak známý symbol. Protáhlé „S“je skutečně založeno na tomto písmenu latinské abecedy, protože označuje součet primitivních derivátů. Integrál dostal své jméno díky Jacobu Bernoullimu o 15 let později.
Formální definice
Neurčitý integrál přímo závisí na definici primitivního prvku, proto jej nejprve zvažte.
Primitivní funkce je funkce, která je inverzní k derivaci, v praxi se také nazývá primitivní. Jinak: primitivní funkce funkce d je funkce D, jejíž derivace je rovna v V'=v. Hledání primitivní funkce je výpočet neurčitého integrálu a tento proces sám o sobě se nazývá integrace.
Příklad:
Funkce s(y)=y3 a její primitivní S(y)=(y4/4).
Množina všech primitivních funkcí uvažované funkce je neurčitý integrál, označuje se následovně: ∫v(x)dx.
Vzhledem k tomu, že V(x) je pouze nějaká primitivní funkce původní funkce, dochází k výrazu: ∫v(x)dx=V(x) + C, kde C je konstanta. Libovolná konstanta je jakákoli konstanta, protože její derivace je rovna nule.
Vlastnosti
Vlastnosti, které má neurčitý integrál, jsou založeny na hlavní definici a vlastnostech derivací.
Podívejme se na klíčové body:
- integrál z derivace primitivního prvku je samotný primitivní prvek plus libovolná konstanta С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- derivace integrálu funkce je původní funkce (∫v(x)dx)'=v(x);
- konstanta je vyjmuta pod znaménkem integrálu ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, kde k je libovolné;
- integrál převzatý ze součtu je shodně roven součtu integrálů ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
Z posledních dvou vlastností můžeme usoudit, že neurčitý integrál je lineární. Díky tomu máme: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Pro konsolidaci zvažte příklady řešení neurčitých integrálů.
Je nutné najít integrál ∫(3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx + 3xx
Z příkladu můžeme vyvodit závěr:nevíte jak řešit neurčité integrály? Stačí najít všechny primitivy! Ale principy vyhledávání budou zváženy níže.
Metody a příklady
K vyřešení integrálu se můžete uchýlit k následujícím metodám:
- použijte připravenou tabulku;
- integrovat po částech;
- integrovat změnou proměnné;
- přivedení pod znaménko rozdílu.
Tabulky
Nejjednodušší a nejpříjemnější způsob. V současné době se matematická analýza může pochlubit poměrně rozsáhlými tabulkami, ve kterých jsou zapsány základní vzorce neurčitých integrálů. Jinými slovy, existují šablony, které byly vyvinuty před vámi a pro vás zbývá pouze je použít. Zde je seznam hlavních pozic v tabulce, ze kterých můžete odvodit téměř každý příklad, který má řešení:
- ∫0dy=C, kde C je konstanta;
- ∫dy=y + C, kde C je konstanta;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, kde C je konstanta a n – jiné než jedno číslo;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, kde C je konstanta;
- ∫eydy=ey + C, kde C je konstanta;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, kde C je konstanta;
- ∫cosydy=siny + C, kde C je konstanta;
- ∫sinydy=-cosy + C, kde C je konstanta;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, kde C je konstanta;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, kde C je konstanta;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, kde C je konstanta;
- ∫chydy=plachý + C, kde C -konstantní;
- ∫shydy=chy + C, kde C je konstanta.
Pokud je to nutné, udělejte pár kroků, převeďte integrand do tabulkové podoby a užijte si vítězství. Příklad: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Podle řešení je zřejmé, že pro tabulkový příklad integrandu chybí faktor 5. Ten sečteme a vynásobíme paralelně 1/5, aby se obecný výraz nezměnil.
Integrace po částech
Uvažujme dvě funkce – z(y) a x(y). Musí být průběžně diferencovatelné v celé oblasti definice. Podle jedné z derivačních vlastností máme: d(xz)=xdz + zdx. Integrací obou částí rovnice dostaneme: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Přepsáním výsledné rovnosti získáme vzorec, který popisuje metodu integrace po částech: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Proč je to potřeba? Jde o to, že některé příklady lze zjednodušit, podmíněně řečeno, zredukovat ∫zdx na ∫xdz, pokud se blíží tabulkové formě. Tento vzorec lze také použít více než jednou, čímž se dosáhne optimálních výsledků.
Jak vyřešit neurčité integrály tímto způsobem:
potřebujete vypočítat ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
potřebujete vypočítat ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Variabilní substituce
Tento princip řešení neurčitých integrálů není o nic méně žádaný než dva předchozí, i když je složitější. Metoda je následující: nechť V(x) je integrál nějaké funkce v(x). V případě, že se samotný integrál v příkladu jeví jako komplexní, existuje vysoká pravděpodobnost, že se zmýlíte a vydáte se špatnou cestou řešení. Aby se tomu zabránilo, cvičí se přechod z proměnné x na z, ve kterém je obecný výraz vizuálně zjednodušen při zachování závislosti z na x.
Matematicky to vypadá takto: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), kde x=y(z) je substituce. A samozřejmě inverzní funkce z=y-1(x) plně popisuje závislost a vztah proměnných. Důležitá poznámka - diferenciál dx je nutně nahrazen novým diferenciálem dz, protože nahrazení proměnné v neurčitém integrálu znamená její nahrazení všude, nejen v integrandu.
Příklad:
potřebujete najít ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Použijte substituci z=(s+1)/(s2+2s-5). Potom dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Výsledkem je následující výraz, který lze velmi snadno vypočítat:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
potřebuji najít integrál∫2sesdx
Pro vyřešení přepíšeme výraz do následujícího tvaru:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Označte a=2e (tento krok nenahrazuje argument, je to stále s), převedeme náš zdánlivě složitý integrál do elementární tabulkové formy:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Uvedení pod diferenciální znak
Celkově je tato metoda neurčitých integrálů dvojčetem principu změny proměnné, ale existují rozdíly v procesu návrhu. Pojďme se na to podívat blíže.
Pokud ∫v(x)dx=V(x) + C a y=z(x), pak ∫v(y)dy=V(y) + C.
V tomto případě bychom neměli zapomínat na triviální integrální transformace, mezi které patří:
- dx=d(x + a), kde a je libovolná konstanta;
- dx=(1 / a)d(ax + b), kde a je opět konstanta, ale nerovná se nule;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Pokud vezmeme v úvahu obecný případ při výpočtu neurčitého integrálu, příklady lze shrnout do obecného vzorce w'(x)dx=dw(x).
Příklady:
potřebuji najít ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Online nápověda
V některých případech, jejichž na vině může být lenost nebo naléhavá potřeba, můžete využít online tipy, nebo spíše využít neurčitou integrální kalkulačku. Přes veškerou zdánlivou složitost a spornost integrálů podléhá jejich řešení určitému algoritmu, který je založen na principu „když ne …, tak …“.
Taková kalkulačka samozřejmě nezvládne zvlášť složité příklady, protože existují případy, kdy je třeba řešení najít uměle, „násilně“zaváděním určitých prvků do procesu, protože výsledku nelze dosáhnout zjevně způsoby. Přes veškerou kontroverznost tohoto tvrzení je to pravda, protože matematika je v zásadě abstraktní věda a za svůj primární úkol považuje nutnost rozšiřovat hranice možností. Posouvat se nahoru a rozvíjet se podle plynulých, zaběhnutých teorií je skutečně extrémně obtížné, takže byste neměli předpokládat, že příklady řešení neurčitých integrálů, které jsme uvedli, jsou vrcholem možností. Ale zpět k technické stránce věci. Alespoň pro kontrolu výpočtů můžete využít služeb, ve kterých bylo vše napsáno před námi. Pokud je potřeba automatický výpočet složitého výrazu, nelze se jich obejít, budete se muset uchýlit k serióznějšímu softwaru. Za pozornost stojí především prostředí MatLab.
Aplikace
Řešení neurčitých integrálů se na první pohled zdá být zcela mimo realitu, protože je obtížné vidět zřejmé oblasti použití. Nelze je skutečně nikde přímo použít, ale jsou považovány za nezbytný mezičlánek v procesu odvozování řešení používaných v praxi. Integrace je tedy inverzní k derivaci, díky čemuž se aktivně účastní procesu řešení rovnic.
Tyto rovnice mají zase přímý dopad na řešení mechanických problémů, výpočet trajektorií a tepelné vodivosti – zkrátka vše, co tvoří současnost a utváří budoucnost. Neurčitý integrál, jehož příklady jsme zkoumali výše, je triviální pouze na první pohled, protože je základem pro další a další nové objevy.
