Schopnost určit objem prostorových obrazců je důležitá pro řešení geometrických a praktických problémů. Jednou z těchto postav je hranol. V článku se zamyslíme nad tím, co to je, a ukážeme si, jak vypočítat objem šikmého hranolu.
Co znamená hranol v geometrii?
Jedná se o pravidelný mnohostěn (mnohostěn), který je tvořen dvěma identickými základnami umístěnými v rovnoběžných rovinách a několika rovnoběžníky spojujícími označené základny.
Základy hranolů mohou být libovolné mnohoúhelníky, jako je trojúhelník, čtyřúhelník, sedmiúhelník a tak dále. Navíc počet rohů (stran) polygonu určuje název obrázku.
Jakýkoli hranol s n-úhelníkovou základnou (n je počet stran) se skládá z n+2 ploch, 2 × n vrcholů a 3 × n hran. Z uvedených čísel je vidět, že počet prvků hranolu odpovídá Eulerově větě:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
Obrázek níže ukazuje, jak vypadají trojúhelníkové a čtyřboké hranoly vyrobené ze skla.
Typy postav. Nakloněný hranol
Už bylo řečeno výše, že název hranolu je určen počtem stran mnohoúhelníku na základně. V její struktuře jsou však i další znaky, které určují vlastnosti figury. Pokud jsou tedy všechny rovnoběžníky, které tvoří boční povrch hranolu, reprezentovány obdélníky nebo čtverci, pak se takový obrazec nazývá přímka. U přímého hranolu je vzdálenost mezi základnami rovna délce boční hrany libovolného obdélníku.
Pokud jsou některé nebo všechny strany rovnoběžníky, pak mluvíme o nakloněném hranolu. Jeho výška již bude menší než délka bočního žebra.
Dalším kritériem, podle kterého jsou uvažované obrazce klasifikovány, jsou délky stran a úhly mnohoúhelníku na základně. Pokud jsou si navzájem rovny, pak bude polygon správný. Rovný obrazec s pravidelným mnohoúhelníkem na základnách se nazývá pravidelný. Je vhodné s ním pracovat při určování plochy a objemu. Nakloněný hranol v tomto ohledu představuje určité potíže.
Na obrázku níže jsou dva hranoly se čtvercovou základnou. Úhel 90° ukazuje zásadní rozdíl mezi přímým a šikmým hranolem.
Vzorec pro určení objemu figurky
Část prostoru ohraničená plochami hranolu se nazývá jeho objem. Pro uvažovaná čísla jakéhokoli typu lze tuto hodnotu určit podle následujícího vzorce:
V=h × So
Zde symbol h označuje výšku hranolu,což je míra vzdálenosti mezi dvěma základnami. Symbol So- jeden základní čtverec.
Základní oblast lze snadno najít. Vzhledem k tomu, zda je mnohoúhelník pravidelný nebo ne, a pokud znáte počet jeho stran, měli byste použít příslušný vzorec a získat So. Například pro pravidelný n-úhelník s délkou strany a bude plocha:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Nyní přejdeme k výšce h. U přímého hranolu není určení výšky obtížné, ale u šikmého hranolu to není snadný úkol. Lze jej řešit různými geometrickými metodami, počínaje konkrétními počátečními podmínkami. Existuje však univerzální způsob, jak výšku postavy určit. Pojďme si to krátce popsat.
Cílem je najít vzdálenost od bodu v prostoru k rovině. Předpokládejme, že rovina je dána rovnicí:
A × x+ B × y + C × z + D=0
Pak bude letadlo ve vzdálenosti:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
Pokud jsou souřadnicové osy uspořádány tak, že bod (0; 0; 0) leží v rovině spodní podstavy hranolu, lze rovnici pro základní rovinu zapsat následovně:
z=0
To znamená, že bude zapsán vzorec pro výškutakže:
h=z1
K určení výšky postavy stačí najít z-ovou souřadnici libovolného bodu horní základny.
Příklad řešení problému
Obrázek níže ukazuje čtyřúhelníkový hranol. Základem šikmého hranolu je čtverec o straně 10 cm, jehož objem je nutné vypočítat, pokud je známo, že délka boční hrany je 15 cm a ostrý úhel čelního rovnoběžníku je 70°.
Vzhledem k tomu, že výška h obrázku je zároveň výškou rovnoběžníku, používáme vzorce k určení jeho plochy, abychom našli h. Označme strany rovnoběžníku takto:
a=10 cm;
b=15 cm
Poté pro něj můžete napsat následující vzorce k určení oblasti Sp:
Sp=a × b × sin (α);
Sp=a × h
Odkud získáváme:
h=b × sin (α)
Zde α je ostrý úhel rovnoběžníku. Protože základna je čtverec, vzorec pro objem nakloněného hranolu bude mít tvar:
V=a2 × b × sin (α)
Dosadíme data z podmínky do vzorce a dostaneme odpověď: V ≈ 1410 cm3.
