Teorie pravděpodobnosti pracuje s náhodnými proměnnými. Pro náhodné veličiny existují tzv. distribuční zákony. Takový zákon popisuje svou náhodnou veličinu s absolutní úplností. Při práci s reálnými množinami náhodných veličin je však často velmi obtížné okamžitě stanovit zákon jejich rozdělení a jsou omezeny na určitý soubor číselných charakteristik. Například výpočet průměru a rozptylu náhodné proměnné je často velmi užitečný.
Proč je to potřeba
Pokud se podstata matematického očekávání blíží střední hodnotě veličiny, pak v tomto případě rozptyl říká, jak jsou hodnoty naší veličiny rozptýleny kolem tohoto matematického očekávání. Pokud jsme například měřili IQ skupiny lidí a chtěli bychom zkoumat výsledky měření (vzorek), matematické očekávání ukáže přibližnou průměrnou hodnotu inteligenčního kvocientu pro tuto skupinu lidí a pokud spočítáme výběrový rozptyl, zjistíme, jak jsou výsledky seskupeny kolem matematického očekávání: shluk v jeho blízkosti (malá odchylka v IQ) nebo rovnoměrněji v celém rozsahu od minimálního k maximálnímu výsledku (velká odchylka a někde uprostřed - matematické očekávání).
Pro výpočet rozptylu potřebujete novou charakteristiku náhodné veličiny – odchylku hodnoty od matematickéčekání.
Odchylka
Abyste pochopili, jak vypočítat rozptyl, musíte nejprve porozumět odchylce. Jeho definice je rozdíl mezi hodnotou, kterou náhodná proměnná nabývá, a jejím matematickým očekáváním. Zhruba řečeno, abyste pochopili, jak je hodnota „rozptýlena“, musíte se podívat na to, jak je distribuována její odchylka. To znamená, že hodnotu hodnoty nahradíme hodnotou její odchylky od podložky. očekávání a prozkoumejte jeho distribuční zákon.
Zákon rozdělení diskrétní, tedy náhodné veličiny, která nabývá jednotlivých hodnot, je zapsán ve formě tabulky, kde hodnota hodnoty koreluje s pravděpodobností jejího výskytu. Pak v zákoně o rozdělení odchylek bude náhodná veličina nahrazena jejím vzorcem, ve kterém je hodnota (která si zachovala svou pravděpodobnost) a vlastní mat. čekání.
Vlastnosti zákona rozdělení odchylky náhodné veličiny
Zapsali jsme distribuční zákon pro odchylku náhodné veličiny. Z něj můžeme vytěžit zatím jen takovou charakteristiku, jako je matematické očekávání. Pro usnadnění je lepší vzít si číselný příklad.
Nechť existuje distribuční zákon nějaké náhodné veličiny: X - hodnota, p - pravděpodobnost.
Vypočteme matematické očekávání pomocí vzorce a okamžitě odchylku.
Nakreslete novou tabulku rozdělení odchylek.
Očekávání počítáme i zde.
Ukazuje se nula. Existuje pouze jeden příklad, ale bude tomu tak vždy: není těžké to dokázat v obecném případě. Vzorec pro matematické očekávání odchylky lze rozložit na rozdíl mezi matematickým očekáváním náhodné veličiny a, ať to zní jakkoli křivě, matematickým očekáváním podložky. očekávání (nicméně rekurze), která jsou stejná, proto jejich rozdíl bude nulový.
To se očekává: koneckonců, odchylky ve znaménku mohou být kladné i záporné, proto by v průměru měly dávat nulu.
Jak vypočítat rozptyl diskrétního případu. množství
Pokud mat. nemá smysl počítat očekávanou odchylku, musíte hledat něco jiného. Můžete jednoduše vzít absolutní hodnoty odchylek (modulo); ale u modulů není vše tak jednoduché, takže odchylky se umocní na druhou a pak se vypočítá jejich matematické očekávání. Ve skutečnosti to je to, co se myslí, když se mluví o tom, jak vypočítat rozptyl.
To znamená, že vezmeme odchylky, umocníme je a vytvoříme tabulku druhých mocnin odchylek a pravděpodobností, které odpovídají náhodným proměnným. Jedná se o nový zákon o distribuci. Chcete-li vypočítat matematické očekávání, musíte sečíst součiny druhé mocniny odchylky a pravděpodobnosti.
Snazší vzorec
Článek však začal tím, že zákon rozdělení počáteční náhodné veličiny je často neznámý. Je tedy potřeba něco lehčího. Ve skutečnosti existuje další vzorec, který vám umožňuje vypočítat rozptyl vzorku pouze pomocí podložky.čekání:
Rozptyl - rozdíl mezi podložkou. očekávání druhé mocniny náhodné veličiny a naopak druhé mocniny její mat. čekání.
Existuje pro to důkaz, ale nemá smysl to zde uvádět, protože to nemá žádnou praktickou hodnotu (a potřebujeme pouze vypočítat rozptyl).
Jak vypočítat rozptyl náhodné veličiny ve variačních řadách
V reálné statistice je nemožné zohlednit všechny náhodné veličiny (protože jich je, zhruba řečeno, nekonečně mnoho). Do studie se tedy dostává tzv. reprezentativní vzorek z nějaké obecné obecné populace. A protože číselné charakteristiky jakékoli náhodné proměnné z takové obecné populace jsou vypočítány ze vzorku, nazývají se výběrový: výběrový průměr, respektive výběrový rozptyl. Můžete jej vypočítat stejným způsobem jako obvyklým způsobem (přes druhou mocninu odchylek).
Takový rozptyl se však nazývá zkreslený. Vzorec nezaujatého rozptylu vypadá trochu jinak. Obvykle je nutné jej vypočítat.
Malý doplněk
S disperzí souvisí ještě jedna číselná charakteristika. Slouží také k vyhodnocení toho, jak se náhodná veličina rozptyluje po její podložce. očekávání. Není velký rozdíl v tom, jak vypočítat rozptyl a směrodatnou odchylku: ta druhá je druhá odmocnina první.
