Vzorec pro vnitřní energii ideálního plynu. Změna vnitřní energie plynu: vzorec

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-02 17:43

Při studiu chování plynů ve fyzice často vyvstávají problémy s určením energie v nich uložené, kterou lze teoreticky využít k provedení nějaké užitečné práce. V tomto článku se budeme zabývat otázkou, jaké vzorce lze použít k výpočtu vnitřní energie ideálního plynu.

Koncept ideálního plynu

Jasné pochopení konceptu ideálního plynu je důležité při řešení problémů se systémy v tomto stavu agregace. Jakýkoli plyn má tvar a objem nádoby, ve které je umístěn, ne každý plyn je však ideální. Například vzduch lze považovat za směs ideálních plynů, zatímco vodní páru nikoli. Jaký je zásadní rozdíl mezi skutečnými plyny a jejich ideálním modelem?

Odpovědí na otázku budou následující dvě funkce:

poměr mezi kinetickou a potenciální energií molekul a atomů, které tvoří plyn;
poměr mezi lineárními velikostmi částicplyn a průměrná vzdálenost mezi nimi.

Plyn je považován za ideální pouze tehdy, je-li průměrná kinetická energie jeho částic nesrovnatelně větší než vazebná energie mezi nimi. Rozdíl mezi těmito energiemi je takový, že můžeme předpokládat, že interakce mezi částicemi zcela chybí. Ideální plyn je také charakterizován absencí rozměrů jeho částic, nebo spíše, tyto rozměry lze ignorovat, protože jsou mnohem menší než průměrné mezičásticové vzdálenosti.

Dobrými empirickými kritérii pro určení ideálnosti plynového systému jsou jeho termodynamické charakteristiky, jako je teplota a tlak. Pokud je první větší než 300 K a druhý je menší než 1 atmosféra, pak každý plyn může být považován za ideální.

Jaká je vnitřní energie plynu?

Než si zapíšete vzorec pro vnitřní energii ideálního plynu, musíte se s touto charakteristikou blíže seznámit.

V termodynamice se vnitřní energie obvykle označuje latinským písmenem U. V obecném případě je určena následujícím vzorcem:

U=H – PV

Kde H je entalpie systému, P a V jsou tlak a objem.

Ve svém fyzikálním významu se vnitřní energie skládá ze dvou složek: kinetické a potenciální. První je spojena s různými druhy pohybu částic systému a druhá - se silovou interakcí mezi nimi. Pokud použijeme tuto definici na koncept ideálního plynu, který nemá žádnou potenciální energii, pak bude hodnota U v jakémkoli stavu systému přesně rovna jeho kinetické energii, tedy:

U=E_k.

Odvození vzorce vnitřní energie

Výše jsme zjistili, že pro jeho určení pro systém s ideálním plynem je nutné vypočítat jeho kinetickou energii. Z kurzu obecné fyziky je známo, že energie částice o hmotnosti m, která se pohybuje vpřed určitým směrem rychlostí v, je určena vzorcem:

E_k1=mv^2/2.

Může být také aplikován na částice plynu (atomy a molekuly), nicméně je třeba učinit několik poznámek.

Za prvé, rychlost v by měla být chápána jako nějaká průměrná hodnota. Faktem je, že částice plynu se pohybují různými rychlostmi podle Maxwell-Boltzmannovy distribuce. Ten umožňuje určit průměrnou rychlost, která se v průběhu času nemění, pokud na systém nepůsobí žádné vnější vlivy.

Zadruhé, vzorec pro E_k1 předpokládá energii na stupeň volnosti. Částice plynu se mohou pohybovat ve všech třech směrech a také rotovat v závislosti na jejich struktuře. Aby se vzal v úvahu stupeň volnosti z, měl by být vynásoben E_{k1, tj.:}

E_k1z=z/2mv^2.

Kinetická energie celého systému E_k je Nkrát větší než E_{k1z, kde N je celkový počet částic plynu. Pak pro U dostaneme:}

U=z/2Nmv2.

Podle tohoto vzorce je změna vnitřní energie plynu možná pouze tehdy, když se změní počet částic Nsystému nebo jejich průměrná rychlost v.

Vnitřní energie a teplota

Aplikací ustanovení molekulární kinetické teorie ideálního plynu můžeme získat následující vzorec pro vztah mezi průměrnou kinetickou energií jedné částice a absolutní teplotou:

mv²/2=1/2k_BT.

Zde k_{B je Boltzmannova konstanta. Dosazením této rovnosti do vzorce pro U získaného v předchozím odstavci dospějeme k následujícímu výrazu:}

U=z/2Nk_BT.

Tento výraz lze přepsat z hlediska množství látky n a plynové konstanty R v následujícím tvaru:

U=z/2nR T.

V souladu s tímto vzorcem je možná změna vnitřní energie plynu, pokud se změní jeho teplota. Hodnoty U a T na sobě závisejí lineárně, to znamená, že graf funkce U(T) je přímka.

Jak struktura částice plynu ovlivňuje vnitřní energii systému?

Struktura částice plynu (molekuly) se vztahuje k počtu atomů, které ji tvoří. Hraje rozhodující roli při dosazení odpovídajícího stupně volnosti z ve vzorci za U. Pokud je plyn monatomický, vzorec pro vnitřní energii plynu je:

U=3/2nRT.

Odkud se vzala hodnota z=3? Jeho vzhled je spojen pouze s třemi stupni volnosti, které atom má, protože se může pohybovat pouze v jednom ze tří prostorových směrů.

Pokud je dvouatomovýmolekula plynu, pak by se vnitřní energie měla vypočítat pomocí následujícího vzorce:

U=5/2nRT.

Jak vidíte, dvouatomová molekula má již 5 stupňů volnosti, z nichž 3 jsou translační a 2 rotační (v souladu s geometrií molekuly se může otáčet kolem dvou vzájemně kolmých os).

Konečně, pokud je plyn tří nebo více atomový, pak platí následující výraz pro U:

U=3nRT.

Komplexní molekuly mají 3 translační a 3 rotační stupně volnosti.

Příklad problému

Pod pístem je monatomický plyn o tlaku 1 atmosféry. V důsledku zahřívání se plyn rozšířil tak, že jeho objem vzrostl ze 2 litrů na 3. Jak se změnila vnitřní energie plynového systému, pokud byl expanzní proces izobarický.

K vyřešení tohoto problému vzorce uvedené v článku nestačí. Je třeba si připomenout stavovou rovnici pro ideální plyn. Vypadá to níže.

Protože píst uzavírá válec plynem, množství látky n zůstává během procesu expanze konstantní. Při izobarickém procesu se teplota mění přímo úměrně objemu soustavy (Karlesův zákon). To znamená, že výše uvedený vzorec by byl: