Tyto geometrické tvary nás všude obklopují. Konvexní polygony mohou být přirozené, jako je plástev, nebo umělé (umělé). Tyto figurky se používají při výrobě různých druhů nátěrů, v malířství, architektuře, dekoracích atd. Konvexní mnohoúhelníky mají tu vlastnost, že všechny jejich body jsou na stejné straně přímky, která prochází dvojicí sousedních vrcholů tohoto geometrického útvaru. Existují i další definice. Mnohoúhelník se nazývá konvexní, pokud je umístěn v jediné polorovině vzhledem k jakékoli přímce obsahující jednu z jeho stran.
Konvexní mnohoúhelníky
V průběhu elementární geometrie jsou vždy uvažovány pouze jednoduché polygony. Pochopit všechny vlastnosti takovéhogeometrické tvary, je nutné pochopit jejich povahu. Pro začátek je třeba chápat, že jakákoli čára se nazývá uzavřená, jejíž konce se shodují. Kromě toho může mít postava, kterou tvoří, různé konfigurace. Mnohoúhelník je jednoduchá uzavřená přerušovaná čára, ve které sousední články nejsou umístěny na stejné přímce. Jeho spojnice a vrcholy jsou stranami a vrcholy tohoto geometrického útvaru. Jednoduchá křivka nesmí mít průsečíky.
Vrcholy mnohoúhelníku se nazývají sousední, pokud představují konce jedné z jeho stran. Geometrický útvar, který má n-tý počet vrcholů, a tedy i n-tý počet stran, se nazývá n-úhelník. Samotná přerušovaná čára se nazývá hranice nebo obrys tohoto geometrického útvaru. Polygonální rovina nebo plochý polygon se nazývá koncová část jakékoli roviny, která je jí ohraničena. Přilehlé strany tohoto geometrického útvaru se nazývají segmenty přerušované čáry vycházející z jednoho vrcholu. Nebudou sousedit, pokud pocházejí z různých vrcholů mnohoúhelníku.
Další definice konvexních polygonů
V elementární geometrii existuje několik dalších ekvivalentních definic, které udávají, který polygon se nazývá konvexní. Všechna tato tvrzení jsou stejně pravdivá. Mnohoúhelník je považován za konvexní, pokud:
• každý segment, který spojuje jakékoli dva body uvnitř, leží zcela uvnitř;
• uvnitřvšechny jeho úhlopříčky leží;
• žádný vnitřní úhel nepřesahuje 180°.
Mnohoúhelník vždy rozděluje rovinu na 2 části. Jeden z nich je omezený (může být uzavřen v kruhu) a druhý je neomezený. První se nazývá vnitřní oblast a druhá je vnější oblast tohoto geometrického útvaru. Tento mnohoúhelník je průsečíkem (jinými slovy společným komponentem) několika polorovin. Navíc každý segment, který končí v bodech, které patří do polygonu, k němu zcela patří.
Různosti konvexních polygonů
Definice konvexního mnohoúhelníku nenaznačuje, že existuje mnoho druhů. A každý z nich má určitá kritéria. Takže konvexní polygony, které mají vnitřní úhel 180°, se nazývají slabě konvexní. Konvexní geometrický útvar, který má tři vrcholy, se nazývá trojúhelník, čtyři - čtyřúhelník, pět - pětiúhelník atd. Každý z konvexních n-úhelníků splňuje následující základní požadavek: n musí být rovno nebo větší než 3. trojúhelníky jsou konvexní. Geometrický obrazec tohoto typu, ve kterém jsou všechny vrcholy umístěny na stejné kružnici, se nazývá vepsaný do kruhu. Konvexní mnohoúhelník se nazývá opsaný, pokud se ho dotýkají všechny jeho strany v blízkosti kružnice. O dvou mnohoúhelnících se říká, že jsou si rovny, pouze pokud je lze překrývat superpozicí. Rovinný polygon se nazývá polygonální rovina.(část roviny), která je omezena tímto geometrickým obrazcem.
Pravidelné konvexní mnohoúhelníky
Pravidelné mnohoúhelníky jsou geometrické tvary se stejnými úhly a stranami. Uvnitř nich se nachází bod 0, který je ve stejné vzdálenosti od každého z jeho vrcholů. Říká se mu střed tohoto geometrického útvaru. Segmenty spojující střed s vrcholy tohoto geometrického útvaru se nazývají apotémy a ty, které spojují bod 0 se stranami, se nazývají poloměry.
Pravidelný čtyřúhelník je čtverec. Rovnostranný trojúhelník se nazývá rovnostranný trojúhelník. Pro takové obrázky platí následující pravidlo: každý roh konvexního mnohoúhelníku je 180°(n-2)/n, kde n je počet vrcholů tohoto konvexního geometrického útvaru.
Plocha libovolného pravidelného mnohoúhelníku je určena vzorcem:
S=ph, kde p je polovina součtu všech stran daného mnohoúhelníku a h je délka apotému.
Vlastnosti konvexních polygonů
Konvexní polygony mají určité vlastnosti. V něm se tedy nutně nachází segment, který spojuje libovolné 2 body takového geometrického útvaru. Důkaz:
Předpokládejme, že P je daný konvexní mnohoúhelník. Vezmeme 2 libovolné body, například A, B, které patří k P. Podle stávající definice konvexního mnohoúhelníku jsou tyto body umístěny na stejné straně úsečky, která obsahuje libovolnou stranu P. Proto má AB také tuto vlastnost a je obsažena v P. Konvexní mnohoúhelník může být vždy rozdělen na několik trojúhelníků absolutně všemi úhlopříčkami nakreslenými z jednoho z jeho vrcholů.
Úhly konvexních geometrických tvarů
Rohy konvexního mnohoúhelníku jsou rohy tvořené jeho stranami. Vnitřní rohy se nacházejí ve vnitřní oblasti daného geometrického útvaru. Úhel, který tvoří jeho strany, které se sbíhají v jednom vrcholu, se nazývá úhel konvexního mnohoúhelníku. Úhly sousedící s vnitřními úhly daného geometrického útvaru se nazývají vnější. Každý roh konvexního mnohoúhelníku umístěného uvnitř je:
180° – x, kde x je hodnota vnějšího úhlu. Tento jednoduchý vzorec funguje pro všechny geometrické tvary tohoto typu.
Obecně platí pro vnější rohy následující pravidlo: každý úhel konvexního mnohoúhelníku se rovná rozdílu mezi 180° a hodnotou vnitřního úhlu. Může mít hodnoty od -180° do 180°. Proto, když je vnitřní úhel 120°, vnější úhel bude 60°.
Součet úhlů konvexních mnohoúhelníků
Součet vnitřních úhlů konvexního mnohoúhelníku je určen vzorcem:
180°(n-2), kde n je počet vrcholů n-úhelníku.
Součet úhlů konvexního mnohoúhelníku se dá docela snadno vypočítat. Zvažte jakýkoli takový geometrický obrazec. Pro určení součtu úhlů uvnitř konvexního mnohoúhelníku je nutnéspojit jeden z jeho vrcholů s jinými vrcholy. Výsledkem této akce je (n-2) trojúhelníků. Víme, že součet úhlů libovolného trojúhelníku je vždy 180°. Protože jejich počet v libovolném mnohoúhelníku je (n-2), součet vnitřních úhlů takového obrazce je 180° x (n-2).
Součet úhlů konvexního mnohoúhelníku, jmenovitě libovolných dvou vnitřních a sousedních vnějších úhlů, pro daný konvexní geometrický obrazec bude vždy roven 180°. Na základě toho můžete určit součet všech jeho úhlů:
180 x n.
Součet vnitřních úhlů je 180°(n-2). Na základě toho je součet všech vnějších rohů tohoto obrázku nastaven podle vzorce:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Součet vnějších úhlů jakéhokoli konvexního mnohoúhelníku bude vždy 360° (bez ohledu na počet stran).
Vnější úhel konvexního mnohoúhelníku je obecně reprezentován rozdílem mezi 180° a hodnotou vnitřního úhlu.
Další vlastnosti konvexního mnohoúhelníku
Kromě základních vlastností těchto geometrických tvarů mají i další, které vznikají při manipulaci s nimi. Jakýkoli z polygonů lze tedy rozdělit na několik konvexních n-úhelníků. K tomu je nutné pokračovat v každé její straně a řezat tuto geometrickou postavu podél těchto přímých čar. Je také možné rozdělit libovolný mnohoúhelník na několik konvexních částí tak, aby se vrcholy každého z kusů shodovaly se všemi jeho vrcholy. Z takového geometrického útvaru lze velmi jednoduše vytvořit trojúhelníky nakreslením všechúhlopříčky z jednoho vrcholu. Jakýkoli mnohoúhelník tak může být nakonec rozdělen na určitý počet trojúhelníků, což se ukazuje jako velmi užitečné při řešení různých problémů spojených s takovými geometrickými tvary.
Obvod konvexního mnohoúhelníku
Segmenty přerušované čáry, nazývané strany mnohoúhelníku, se nejčastěji označují těmito písmeny: ab, bc, cd, de, ea. Jsou to strany geometrického útvaru s vrcholy a, b, c, d, e. Součet délek všech stran tohoto konvexního mnohoúhelníku se nazývá jeho obvod.
Obvod mnohoúhelníku
Konvexní polygony lze vepsat a opsat. Kruh, který se dotýká všech stran tohoto geometrického útvaru, se nazývá vepsaný do něj. Takový mnohoúhelník se nazývá opsaný. Střed kružnice, která je vepsána do mnohoúhelníku, je průsečíkem os všech úhlů v rámci daného geometrického obrazce. Oblast takového mnohoúhelníku je:
S=pr, kde r je poloměr vepsané kružnice ap je semiperimetr daného mnohoúhelníku.
Kruh obsahující vrcholy mnohoúhelníku se nazývá opsaný kolem něj. Navíc se tento konvexní geometrický útvar nazývá vepsaný. Střed kružnice, která je opsána kolem takového mnohoúhelníku, je průsečíkem takzvaných kolmých os všech stran.
Úhlopříčky konvexních geometrických tvarů
Úhlopříčky konvexního mnohoúhelníku jsou segmenty, kteréspojit nesousedící vrcholy. Každý z nich leží uvnitř tohoto geometrického útvaru. Počet úhlopříček takového n-úhelníku je dán vzorcem:
N=n (n – 3)/ 2.
Počet úhlopříček konvexního mnohoúhelníku hraje v elementární geometrii důležitou roli. Počet trojúhelníků (K), na které je možné rozdělit každý konvexní mnohoúhelník, se vypočítá podle následujícího vzorce:
K=n – 2.
Počet úhlopříček konvexního mnohoúhelníku vždy závisí na počtu jeho vrcholů.
Rozklad konvexního mnohoúhelníku
V některých případech je pro řešení geometrických problémů nutné rozdělit konvexní mnohoúhelník na několik trojúhelníků s neprotínajícími se úhlopříčkami. Tento problém lze vyřešit odvozením konkrétního vzorce.
Definice problému: nazvěme správné rozdělení konvexního n-úhelníku na několik trojúhelníků úhlopříčkami, které se protínají pouze ve vrcholech tohoto geometrického útvaru.
Řešení: Předpokládejme, že Р1, Р2, Р3 …, Pn jsou vrcholy tohoto n-úhelníku. Číslo Xn je počet jeho oddílů. Uvažujme pečlivě získanou úhlopříčku geometrického útvaru Pi Pn. V kterémkoli z pravidelných oddílů patří P1 Pn k určitému trojúhelníku P1 Pi Pn, který má 1<i<n. Vyjdeme-li z toho a za předpokladu, že i=2, 3, 4 …, n-1, dostaneme (n-2) skupin těchto oddílů, které zahrnují všechny možné konkrétní případy.
Nechť i=2 je jedna skupina pravidelných oddílů, vždy obsahujících úhlopříčku Р2 Pn. Počet oddílů, které do něj vstupují, je stejný jako počet oddílů(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Jinými slovy, rovná se Xn-1.
Pokud i=3, pak tato další skupina oddílů bude vždy obsahovat úhlopříčky Р3 Р1 a Р3 Pn. V tomto případě se počet pravidelných oddílů, které jsou obsaženy v této skupině, bude shodovat s počtem oddílů (n-2)-gon P3 P4 … Pn. Jinými slovy, bude se rovnat Xn-2.
Nechť i=4, pak bude mezi trojúhelníky pravidelná příčka jistě obsahovat trojúhelník P1 P4 Pn, ke kterému bude přiléhat čtyřúhelník P1 P2 P3 P4, (n-3)-úhelník P4 P5 … Pn. Počet pravidelných oddílů takového čtyřúhelníku je X4 a počet oddílů (n-3)-úhelníku je Xn-3. Na základě výše uvedeného můžeme říci, že celkový počet správných oddílů obsažených v této skupině je Xn-3 X4. Ostatní skupiny s i=4, 5, 6, 7… budou obsahovat Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … běžné oddíly.
Nechť i=n-2, pak počet správných rozdělení v této skupině bude stejný jako počet rozdělení ve skupině, kde i=2 (jinými slovy se rovná Xn-1).
Vzhledem k tomu, že X1=X2=0, X3=1, X4=2…, je počet všech oddílů konvexního mnohoúhelníku:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Příklad:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Počet správných oddílů protínajících jednu úhlopříčku uvnitř
Při kontrole zvláštních případů lze dospět kpředpoklad, že počet úhlopříček konvexních n-úhelníků je roven součinu všech dělení tohoto obrázku (n-3).
Důkaz tohoto předpokladu: představte si, že P1n=Xn(n-3), pak lze libovolný n-úhelník rozdělit na (n-2)-trojúhelníky. Navíc z nich může být složen (n-3)-čtyřúhelník. Spolu s tím bude mít každý čtyřúhelník úhlopříčku. Protože v tomto konvexním geometrickém obrazci lze nakreslit dvě úhlopříčky, znamená to, že dalších (n-3) úhlopříček lze nakreslit v libovolných (n-3) čtyřúhelnících. Na základě toho můžeme usoudit, že v každém pravidelném oddílu je možné nakreslit (n-3)-úhlopříčky, které splňují podmínky tohoto problému.
Oblast konvexních polygonů
Při řešení různých problémů elementární geometrie je často nutné určit oblast konvexního polygonu. Předpokládejme, že (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n je posloupnost souřadnic všech sousedních vrcholů polygonu, který nemá vlastní průniky. V tomto případě se jeho plocha vypočítá pomocí následujícího vzorce:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), kde (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
