Trojúhelník, čtverec, šestiúhelník – tyto obrazce zná téměř každý. Ne každý ale ví, co je to pravidelný mnohoúhelník. Ale to jsou všechny stejné geometrické tvary. Pravidelný mnohoúhelník je takový, který má stejné úhly a strany. Existuje mnoho takových obrazců, ale všechny mají stejné vlastnosti a platí pro ně stejné vzorce.
Vlastnosti pravidelných mnohoúhelníků
Do kruhu lze vepsat jakýkoli pravidelný mnohoúhelník, ať už je to čtverec nebo osmiúhelník. Tato základní vlastnost se často používá při konstrukci figury. Kromě toho lze do mnohoúhelníku vepsat i kružnici. V tomto případě se počet bodů kontaktu bude rovnat počtu jeho stran. Důležité je, že kružnice vepsaná do pravidelného mnohoúhelníku s ní bude mít společný střed. Tyto geometrické útvary podléhají stejným teorémům. Jakákoli stranapravidelného n-úhelníku je vztaženo k poloměru R kružnice, která je mu opsána, proto jej lze vypočítat pomocí následujícího vzorce: a=2R ∙ sin180°. Prostřednictvím poloměru kruhu můžete najít nejen strany, ale také obvod mnohoúhelníku.
Jak zjistit počet stran pravidelného mnohoúhelníku
Jakýkoli pravidelný n-úhelník se skládá z určitého počtu navzájem rovných segmentů, které po spojení tvoří uzavřenou čáru. V tomto případě mají všechny rohy vytvořeného obrázku stejnou hodnotu. Polygony se dělí na jednoduché a složité. Do první skupiny patří trojúhelník a čtverec. Složité polygony mají více stran. Patří k nim také figurky ve tvaru hvězdy. U složitých pravidelných mnohoúhelníků se strany najdou vepsáním do kruhu. Dejme důkaz. Nakreslete pravidelný mnohoúhelník s libovolným počtem stran n. Popište kruh kolem něj. Určete poloměr R. Nyní si představte, že je dán nějaký n-úhelník. Leží-li body jeho úhlů na kružnici a jsou si navzájem rovny, pak strany najdeme podle vzorce: a=2R ∙ sinα: 2.
Zjištění počtu stran pravidelného trojúhelníku vepsaného
Rovnostranný trojúhelník je pravidelný mnohoúhelník. Platí pro něj stejné vzorce jako pro čtverec a n-úhelník. Trojúhelník bude považován za správný, pokud má stejně dlouhé strany. V tomto případě jsou úhly 60⁰. Sestrojte trojúhelník s danou délkou strany a. Znalost jeho mediánu a výšky,můžete najít hodnotu jeho stran. K tomu použijeme metodu hledání pomocí vzorce a \u003d x: cosα, kde x je medián nebo výška. Protože jsou všechny strany trojúhelníku stejné, dostaneme a=b=c. Potom bude platit následující tvrzení a=b=c=x: cosα. Podobně můžete najít hodnotu stran v rovnoramenném trojúhelníku, ale x bude daná výška. Zároveň by měl být promítán přesně na základnu obrázku. Když tedy známe výšku x, najdeme stranu a rovnoramenného trojúhelníku pomocí vzorce a \u003d b \u003d x: cosα. Po zjištění hodnoty a můžete vypočítat délku základny c. Aplikujme Pythagorovu větu. Budeme hledat hodnotu poloviny základu c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Pak c=2xtanα. Zde je jednoduchý způsob, jak zjistit počet stran libovolného vepsaného mnohoúhelníku.
Vypočítejte strany čtverce vepsaného do kruhu
Jako každý jiný vepsaný pravidelný mnohoúhelník má čtverec stejné strany a úhly. Platí pro něj stejné vzorce jako pro trojúhelník. Strany čtverce můžete vypočítat pomocí hodnoty úhlopříčky. Zvažme tuto metodu podrobněji. Je známo, že úhlopříčka půlí úhel. Zpočátku byla jeho hodnota 90 stupňů. Po rozdělení tak vzniknou dva pravoúhlé trojúhelníky. Jejich základní úhly budou 45 stupňů. V souladu s tím bude každá strana čtverce stejná, to znamená: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, kde e je úhlopříčka čtverce nebo základna pravoúhlý trojúhelník vzniklý po rozdělení. Není to jediný způsobnajít strany čtverce. Vepišme tento obrazec do kruhu. Když známe poloměr této kružnice R, najdeme stranu čtverce. Vypočteme to následovně a4=R√2. Poloměry pravidelných mnohoúhelníků se vypočítají podle vzorce R=a: 2tg (360o: 2n), kde a je délka strany.
Jak vypočítat obvod n-úhelníku
Obvod n-úhelníku je součtem všech jeho stran. Je snadné si to spočítat. K tomu potřebujete znát hodnoty všech stran. Pro některé typy polygonů existují speciální vzorce. Umožňují vám mnohem rychleji najít perimetr. Je známo, že každý pravidelný mnohoúhelník má stejné strany. Pro výpočet jeho obvodu tedy stačí znát alespoň jeden z nich. Vzorec bude záviset na počtu stran obrázku. Obecně to vypadá takto: P \u003d an, kde a je hodnota strany a n je počet úhlů. Chcete-li například zjistit obvod pravidelného osmiúhelníku o straně 3 cm, musíte jej vynásobit číslem 8, tedy P=3 ∙ 8=24 cm. Pro šestiúhelník o straně 5 cm vypočítáme takto: P=5 ∙ 6=30 cm. A tak pro každý mnohoúhelník.
Nalezení obvodu rovnoběžníku, čtverce a kosočtverce
Podle toho, kolik stran má pravidelný mnohoúhelník, se vypočítá jeho obvod. Tím je úkol mnohem jednodušší. Na rozdíl od jiných figurek totiž v tomto případě není nutné hledat všechny jeho strany, stačí jen jedna. Podle stejného principu najdeme obvod včtyřúhelníky, tedy čtverec a kosočtverec. Navzdory skutečnosti, že se jedná o různé obrázky, vzorec pro ně je stejný P=4a, kde a je strana. Vezměme si příklad. Pokud je strana kosočtverce nebo čtverce 6 cm, zjistíme obvod takto: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm. Rovnoběžník má pouze opačné strany. Proto se jeho obvod zjišťuje jinou metodou. Potřebujeme tedy znát délku a a šířku b obrázku. Potom použijeme vzorec P=(a + c) ∙ 2. Rovnoběžník, ve kterém jsou všechny strany a úhly mezi nimi stejné, se nazývá kosočtverec.
Nalezení obvodu rovnostranného a pravoúhlého trojúhelníku
Obvod pravidelného rovnostranného trojúhelníku lze nalézt podle vzorce P=3a, kde a je délka strany. Pokud je neznámý, lze jej nalézt prostřednictvím mediánu. V pravoúhlém trojúhelníku jsou stejné pouze dvě strany. Základ lze nalézt prostřednictvím Pythagorovy věty. Poté, co budou známy hodnoty všech tří stran, vypočítáme obvod. Lze jej nalézt použitím vzorce P \u003d a + b + c, kde a a b jsou stejné strany a c je základ. Připomeňme, že v rovnoramenném trojúhelníku a \u003d b \u003d a tedy a + b \u003d 2a, pak P \u003d 2a + c. Například strana rovnoramenného trojúhelníku je 4 cm, najděte jeho základnu a obvod. Hodnotu přepony vypočítáme pomocí Pythagorovy věty c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 cm. Nyní vypočítáme obvod Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 cm.
Jak najít rohy pravidelného mnohoúhelníku
Pravidelný mnohoúhelníkse v našem životě vyskytuje každý den, například obyčejný čtverec, trojúhelník, osmiúhelník. Zdálo by se, že není nic jednoduššího, než si tuto postavu postavit sami. Ale to je jen na první pohled. Abyste mohli sestrojit jakýkoli n-úhelník, musíte znát hodnotu jeho úhlů. Ale jak je najdete? Dokonce i vědci starověku se snažili postavit pravidelné mnohoúhelníky. Hádali, že je zapadnou do kruhů. A pak na něm byly vyznačeny potřebné body spojené přímkami. U jednoduchých figurek byl konstrukční problém vyřešen. Byly získány vzorce a věty. Například Euclid ve svém slavném díle „Počátek“se zabýval řešením problémů pro 3-, 4-, 5-, 6- a 15-úhelníky. Našel způsoby, jak je zkonstruovat a najít úhly. Podívejme se, jak to udělat pro 15-gon. Nejprve musíte vypočítat součet jeho vnitřních úhlů. Je nutné použít vzorec S=180⁰(n-2). Dostaneme tedy 15úhelník, což znamená, že číslo n je 15. Do vzorce dosadíme data, která známe, a dostaneme S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Našli jsme součet všech vnitřních úhlů 15úhelníku. Nyní potřebujeme získat hodnotu každého z nich. Úhlů je celkem 15. Provedeme výpočet 2340⁰: 15=156⁰. To znamená, že každý vnitřní úhel je 156⁰, nyní pomocí pravítka a kružítka můžete postavit běžný 15úhelník. Ale co složitější n-úhelníky? Po staletí se vědci snažili tento problém vyřešit. Byl nalezen až v 18. století Carlem Friedrichem Gaussem. Byl schopen postavit 65537-gon. Od té doby je problém oficiálně považován za zcela vyřešený.
Výpočet úhlů n-úhelníkův radiánech
Samozřejmě existuje několik způsobů, jak najít rohy polygonů. Nejčastěji se počítají ve stupních. Můžete je ale vyjádřit i v radiánech. Jak to udělat? Je nutné postupovat následovně. Nejprve zjistíme počet stran pravidelného mnohoúhelníku, poté od něj odečteme 2. Dostaneme tedy hodnotu: n - 2. Nalezený rozdíl vynásobíme číslem n („pi“=3, 14). Nyní zbývá pouze vydělit výsledný produkt počtem úhlů v n-úhelníku. Zvažte tyto výpočty pomocí příkladu stejného patnáctistranného. Číslo n je tedy 15. Použijte vzorec S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. To samozřejmě, není jediný způsob, jak vypočítat úhel v radiánech. Velikost úhlu ve stupních můžete jednoduše vydělit číslem 57, 3. Vždyť tolik stupňů odpovídá jednomu radiánu.
Vypočítejte hodnotu úhlů ve stupních
Kromě stupňů a radiánů můžete zkusit najít hodnotu úhlů pravidelného mnohoúhelníku ve stupních. To se provádí následujícím způsobem. Od celkového počtu úhlů odečtěte 2, výsledný rozdíl vydělte počtem stran pravidelného mnohoúhelníku. Nalezený výsledek vynásobíme 200. Mimochodem taková jednotka měření úhlů, jako jsou kroupy, se prakticky nepoužívá.
Výpočet vnějších úhlů n-úhelníků
Pro každý pravidelný mnohoúhelník, kromě vnitřního, můžete také vypočítat vnější úhel. Jeho hodnota se zjišťuje stejným způsobem jako u jiných čísel. Chcete-li tedy najít vnější úhel pravidelného mnohoúhelníku, potřebujeteznát význam vnitřního. Dále víme, že součet těchto dvou úhlů je vždy 180 stupňů. Proto provedeme výpočty následovně: 180⁰ mínus hodnota vnitřního úhlu. Najdeme rozdíl. Bude se rovnat hodnotě úhlu, který k němu přiléhá. Například vnitřní roh čtverce je 90 stupňů, takže vnější úhel bude 180⁰ - 90⁰=90⁰. Jak vidíme, není těžké ho najít. Vnější úhel může nabývat hodnoty od +180⁰ do -180⁰.
