Pravidelný šestihranný jehlan. Vzorce pro objem a povrch. Řešení geometrického problému

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-02 17:43

Stereometrie jako odvětví geometrie v prostoru studuje vlastnosti hranolů, válců, kuželů, koulí, jehlanů a dalších trojrozměrných obrazců. Tento článek je věnován podrobnému přehledu charakteristik a vlastností šestibokého pravidelného jehlanu.

Která pyramida bude studována

Pravidelný šestiúhelníkový jehlan je obrazec v prostoru, který je ohraničen jedním rovnostranným a rovnoúhelným šestiúhelníkem a šesti stejnými rovnoramennými trojúhelníky. Tyto trojúhelníky mohou být za určitých podmínek také rovnostranné. Tato pyramida je zobrazena níže.

Je zde zobrazen stejný obrázek, pouze v jednom případě je otočen boční stranou ke čtečce a ve druhém - bočním okrajem.

Pravidelný šestiúhelníkový jehlan má 7 stěn, které byly zmíněny výše. Má také 7 vrcholů a 12 hran. Na rozdíl od hranolů mají všechny jehlany jeden zvláštní vrchol, který je tvořen průsečíkem bočnítrojúhelníky. U pravidelné pyramidy hraje důležitou roli, protože kolmice, která je z ní spuštěna k základně postavy, je výška. Dále bude výška označena písmenem h.

Zobrazená pyramida se nazývá správná ze dvou důvodů:

• na základně je šestiúhelník se stejnými délkami stran a a stejnými úhly 120o;
• Výška jehlanu h protíná šestiúhelník přesně v jeho středu (průsečík leží ve stejné vzdálenosti od všech stran a od všech vrcholů šestiúhelníku).

Povrch

Vlastnosti pravidelného šestibokého jehlanu budou uvažovány z definice jeho plochy. K tomu je nejprve užitečné rozložit postavu na rovině. Jeho schematické znázornění je uvedeno níže.

Je vidět, že plocha tažení, a tedy i celý povrch uvažovaného obrázku, se rovná součtu ploch šesti identických trojúhelníků a jednoho šestiúhelníku.

K určení plochy šestiúhelníku S_{6 použijte univerzální vzorec pro pravidelný n-úhelník:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

Kde a je délka strany šestiúhelníku.

Obsah boční strany trojúhelníku S₃ lze nalézt, pokud znáte hodnotu jeho výšky h_b:

S₃=1/2h_ba.

Protože všech šesttrojúhelníky jsou si navzájem rovny, pak získáme pracovní výraz pro určení plochy šestihranného jehlanu se správnou základnou:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

Objem pyramidy

Stejně jako plocha je i objem šestibokého pravidelného jehlanu jeho důležitou vlastností. Tento objem se vypočítá podle obecného vzorce pro všechny jehlany a kužely. Pojďme si to zapsat:

V=1/3S_oh.

Zde symbol S_o je plocha šestiúhelníkové základny, tj. S_o=S _6.

Dosazením výše uvedeného výrazu za S_{6 do vzorce pro V se dostaneme ke konečné rovnosti pro určení objemu pravidelného šestibokého jehlanu:}

V=√3/2a2h.

Příklad geometrického problému

U pravidelného šestibokého jehlanu je boční hrana dvojnásobkem délky základní strany. S vědomím, že druhý je 7 cm, je nutné vypočítat povrch a objem tohoto obrázku.

Jak asi tušíte, řešení tohoto problému zahrnuje použití výrazů získaných výše pro S a V. Nicméně je nebude možné použít hned, protože neznáme apotém a výška pravidelného šestibokého jehlanu. Pojďme je spočítat.

Apotému h_b lze určit uvažováním pravoúhlého trojúhelníku postaveného na stranách b, a/2 a h_{b. Zde b je délka boční hrany. Pomocí podmínky problému dostaneme:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14 ²-7^{2/4)=13 555 cm.}

Výšku h pyramidy lze určit přesně stejným způsobem jako apotém, ale nyní bychom měli uvažovat trojúhelník o stranách h, b a a, který se nachází uvnitř pyramidy. Výška bude:

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12 124 cm.}

Je vidět, že vypočítaná hodnota výšky je menší než u apotému, což platí pro jakoukoli pyramidu.

Nyní můžete použít výrazy pro objem a plochu:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96 cm^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48 cm^3.

Abyste tedy mohli jednoznačně určit jakoukoli charakteristiku pravidelného šestibokého jehlanu, potřebujete znát libovolné dva jeho lineární parametry.