Geometrie je krásná, protože na rozdíl od algebry, kde není vždy jasné, co si myslíte a proč, dává objektu viditelnost. Tento nádherný svět různých těl zdobí pravidelné mnohostěny.
Obecné informace o běžných mnohostěnech
Podle mnohých mají pravidelné mnohostěny, nebo jak se jim také říká platónská tělesa, jedinečné vlastnosti. S těmito objekty je spojeno několik vědeckých hypotéz. Když začnete studovat tato geometrická tělesa, pochopíte, že o takovém konceptu, jako jsou pravidelné mnohostěny, nevíte prakticky nic. Prezentace těchto předmětů ve škole není vždy zajímavá, takže si mnozí ani nepamatují, jak se jmenují. Většina lidí si pamatuje pouze kostku. Žádné z těles v geometrii není tak dokonalé jako pravidelné mnohostěny. Všechny názvy těchto geometrických těles pocházejí ze starověkého Řecka. Znamenají počet stěn: čtyřstěn - čtyřstěn, šestistěn - šestistěn, osmistěn - osmistěn, dvanáctistěn - dvanáctistěn, dvacetistěn - dvacetistěn. Všechna tato geometrická tělesazaujímal důležité místo v Platónově pojetí vesmíru. Čtyři z nich personifikovaly prvky nebo entity: čtyřstěn - oheň, dvacetistěn - voda, krychle - země, osmistěn - vzduch. Dvanáctstěn ztělesňoval vše, co existuje. Byl považován za hlavní, protože byl symbolem vesmíru.
Zobecnění konceptu mnohostěnu
Mnohostěn je sbírka konečného počtu mnohoúhelníků, takže:
- každá ze stran kteréhokoli z mnohoúhelníků je současně stranou pouze jednoho dalšího mnohoúhelníku na stejné straně;
- z každého z polygonů se můžete dostat k ostatním tím, že projdete podél polygonů, které s ním sousedí.
Mnohoúhelníky, které tvoří mnohostěn, jsou jeho plochy a jejich strany jsou hrany. Vrcholy mnohostěnů jsou vrcholy mnohoúhelníků. Je-li pojem mnohoúhelník chápán jako ploché uzavřené přerušované čáry, dospějeme k jedné definici mnohostěnu. V případě, kdy tento pojem znamená část roviny, která je omezena přerušovanými čarami, pak je třeba chápat plochu sestávající z polygonálních kusů. Konvexní mnohostěn je těleso ležící na jedné straně roviny přiléhající k jeho obličeji.
Další definice mnohostěnu a jeho prvků
Mnohostěn je plocha skládající se z mnohoúhelníků, která omezuje geometrické těleso. Jsou to:
- nekonvexní;
- konvexní (správné a nesprávné).
Pravidelný mnohostěn je konvexní mnohostěn s maximální symetrií. Prvky pravidelných mnohostěnů:
- tetrahedron: 6 hran, 4 plochy, 5 vrcholů;
- hexahedron (krychle): 12, 6, 8;
- dodekaedr: 30, 12, 20;
- oktaedr: 12, 8, 6;
- ikosahedr: 30, 20, 12.
Eulerova věta
Vytváří vztah mezi počtem hran, vrcholů a ploch, které jsou topologicky ekvivalentní kouli. Sečtením počtu vrcholů a ploch (B + D) různých pravidelných mnohostěnů a jejich porovnáním s počtem hran lze vytvořit jeden vzor: součet počtu ploch a vrcholů se rovná počtu zvětšených hran (P). o 2. Můžete odvodit jednoduchý vzorec:
B + D=R + 2
Tento vzorec platí pro všechny konvexní mnohostěny.
Základní definice
Pojem pravidelného mnohostěnu nelze popsat jednou větou. Je smysluplnější a objemnější. Aby mohl být orgán jako takový uznán, musí splňovat řadu definic. Geometrické těleso tedy bude pravidelným mnohostěnem, pokud jsou splněny následující podmínky:
- je konvexní;
- stejný počet hran se sbíhá v každém z jeho vrcholů;
- všechny jeho plochy jsou pravidelné mnohoúhelníky, které jsou si navzájem rovné;
- všechny jeho dihedrální úhly jsou stejné.
Vlastnosti pravidelného mnohostěnu
Existuje 5 různých typů pravidelných mnohostěnů:
- Krychle (šestistěn) - má nahoře plochý úhel 90°. Má 3-stranný úhel. Součet plochých úhlů nahoře je 270°.
- Tetrahedron - plochý úhel nahoře - 60°. Má 3-stranný úhel. Součet plochých úhlů nahoře je 180°.
- Octaedr - plochý vrcholový úhel - 60°. Má 4stranný roh. Součet plochých úhlů nahoře je 240°.
- Dodekaedr - plochý úhel ve vrcholu 108°. Má 3-stranný úhel. Součet plochých úhlů nahoře je 324°.
- Ikosahedr - má nahoře plochý úhel - 60°. Má 5-ti stranný úhel. Součet plochých úhlů nahoře je 300°.
Plocha pravidelného mnohostěnu
Povrch těchto geometrických těles (S) se vypočítá jako plocha pravidelného mnohoúhelníku vynásobená počtem jeho ploch (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Objem pravidelného mnohostěnu
Tato hodnota se vypočítá vynásobením objemu pravidelného jehlanu, na jehož základně je pravidelný mnohoúhelník, počtem stěn a jeho výška je poloměrem vepsané koule (r):
V=1: 3rS
Objemy pravidelných mnohostěnů
Stejně jako každé jiné geometrické těleso mají i pravidelné mnohostěny různé objemy. Níže jsou uvedeny vzorce, podle kterých je můžete vypočítat:
- tetrahedron: α x 3√2: 12;
- oktaedr: α x 3√2: 3;
- icosahedron; α x 3;
- hexaedr (krychle): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodekaedr: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Prvky pravidelných mnohostěnů
Šestistěn a osmistěn jsou duální geometrická tělesa. Jinými slovy, lze je získat jeden od druhého, pokud se těžiště tváře jednoho vezme jako vrchol druhého a naopak. Dvanáctstěn a dvanáctistěn jsou také duální. Pouze čtyřstěn je duální sám se sebou. Podle Euklidovy metody můžete získat dvanáctistěn z šestistěnu stavbou „střech“na stěny krychle. Vrcholy čtyřstěnu budou libovolné 4 vrcholy krychle, které nesousedí ve dvojicích podél hrany. Z šestistěnu (krychle) můžete získat další pravidelné mnohostěny. Navzdory skutečnosti, že existuje nespočet pravidelných mnohoúhelníků, existuje pouze 5 pravidelných mnohostěnů.
Poloměr pravidelných mnohoúhelníků
S každým z těchto geometrických těles jsou spojeny 3 soustředné koule:
- popsáno, procházející svými vrcholy;
- vepsaný, dotýkající se každé z jeho tváří ve svém středu;
- střední, dotýkající se všech okrajů uprostřed.
Poloměr popsané koule se vypočítá podle následujícího vzorce:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Poloměr vepsané koule se vypočítá podle vzorce:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
kde θ je dihedrální úhel mezi sousedními plochami.
Poloměr střední koule lze vypočítat pomocí následujícího vzorce:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
kde hodnota h=4, 6, 6, 10 nebo 10. Poměr opsaných a vepsaných poloměrů je symetrický vzhledem k p a q. Tovypočteno podle vzorce:
R/r=tg π/p x tg π/q
Symetrie mnohostěnů
Symetrie pravidelných mnohostěnů způsobuje hlavní zájem o tato geometrická tělesa. Je chápán jako takový pohyb tělesa v prostoru, který opouští stejný počet vrcholů, ploch a hran. Jinými slovy, pod účinkem transformace symetrie si hrana, vrchol, plocha buď zachová svou původní polohu, nebo se přesune do původní polohy jiné hrany, vrcholu nebo plochy.
Prvky symetrie pravidelných mnohostěnů jsou charakteristické pro všechny typy takových geometrických těles. Zde mluvíme o identické transformaci, která ponechá některý z bodů v původní poloze. Když tedy otočíte polygonální hranol, můžete získat několik symetrií. Kterýkoli z nich může být reprezentován jako produkt odrazů. Symetrie, která je součinem sudého počtu odrazů, se nazývá přímka. Pokud je součinem lichého počtu odrazů, pak se nazývá inverzní. Všechny rotace kolem přímky jsou tedy přímou symetrií. Jakýkoli odraz mnohostěnu je inverzní symetrie.
Pro lepší pochopení prvků symetrie pravidelných mnohostěnů si můžeme vzít příklad čtyřstěnu. Jakákoli přímka, která bude procházet jedním z vrcholů a střed tohoto geometrického útvaru, bude také procházet středem protilehlé plochy. Každý z obratů o 120° a 240° kolem čáry je množný.symetrie čtyřstěnu. Protože má 4 vrcholy a 4 plochy, existuje pouze osm přímých symetrií. Kterákoli z čar procházejících středem okraje a střed tohoto tělesa prochází středem jeho protilehlého okraje. Jakékoli otočení o 180°, nazývané poloviční otáčky, kolem přímky je symetrie. Protože čtyřstěn má tři páry hran, existují další tři přímé symetrie. Na základě výše uvedeného můžeme usoudit, že celkový počet přímých symetrií, včetně identické transformace, dosáhne dvanácti. Čtyřstěn nemá žádné další přímé symetrie, ale má 12 inverzních symetrií. Proto se čtyřstěn vyznačuje celkem 24 symetriemi. Pro názornost si můžete z kartonu postavit model pravidelného čtyřstěnu a ujistit se, že toto geometrické těleso má skutečně jen 24 symetrií.
Dvanáctstěn a dvacetistěn jsou nejblíže sféře těla. Dvacetistěn má největší počet ploch, největší úhel vzepětí a lze jej nejtěsněji přitlačit k vepsané kouli. Dvanáctstěn má nejmenší úhlovou vadu, největší prostorový úhel ve vrcholu. Dokáže naplnit svou popsanou kouli na maximum.
Sweeps of polyhedra
Běžné nezabalené mnohostěny, které jsme všichni v dětství slepovali dohromady, mají mnoho konceptů. Pokud existuje sbírka mnohoúhelníků, z nichž každá je označena pouze jednou stranou mnohostěnu, musí identifikace stran splňovat dvě podmínky:
- z každého polygonu můžete procházet polygony, které majíidentifikovaná strana;
- identifikované strany musí mít stejnou délku.
Množina polygonů, které splňují tyto podmínky, se nazývá vývoj mnohostěnu. Každé z těchto orgánů jich má několik. Takže například krychle jich má 11.
