Ve školním kurzu geometrie je velké množství času věnováno studiu trojúhelníků. Studenti počítají úhly, staví osy a výšky, zjišťují, jak se tvary od sebe liší, a nejsnadněji zjistí jejich plochu a obvod. Zdá se, že to v životě není nijak užitečné, ale někdy se přece jen hodí vědět například, jak určit, že trojúhelník je rovnostranný nebo tupý. Jak na to?
Typy trojúhelníků
Tři body, které neleží na stejné přímce, a segmenty, které je spojují. Zdá se, že toto číslo je nejjednodušší. Jak mohou vypadat trojúhelníky, pokud mají pouze tři strany? Ve skutečnosti existuje poměrně velké množství možností a některým z nich je věnována zvláštní pozornost v rámci kurzu školní geometrie. Rovnostranný trojúhelník je rovnostranný, to znamená, že všechny jeho úhly a strany jsou stejné. Má řadu pozoruhodných vlastností, o kterých bude řeč později.
Rovnoramenný má pouze dvě stejné strany a je také docela zajímavý. V pravoúhlých a tupoúhlých trojúhelníkech, jak můžete hádat, je jeden z úhlů pravý nebo tupoúhlý. Vmohou být také rovnoramenní.
Existuje také zvláštní druh trojúhelníku zvaný egyptský. Jeho strany jsou 3, 4 a 5 jednotek. Je však obdélníkový. Předpokládá se, že takový trojúhelník aktivně používali egyptští geodeti a architekti k budování pravých úhlů. Předpokládá se, že s jeho pomocí byly postaveny slavné pyramidy.
A přesto mohou všechny vrcholy trojúhelníku ležet na jedné přímce. V tomto případě se bude nazývat degenerované, zatímco všechny ostatní se nazývají nedegenerované. Jsou jedním z předmětů studia geometrie.
Rovnostranný trojúhelník
Správná čísla jsou samozřejmě vždy nejzajímavější. Zdají se být dokonalejší, ladnější. Vzorce pro výpočet jejich charakteristik jsou často jednodušší a kratší než u běžných čísel. To platí i pro trojúhelníky. Není divu, že se jim při studiu geometrie věnuje velká pozornost: školáci se učí rozlišovat pravidelné obrazce od ostatních a také mluví o některých jejich zajímavých vlastnostech.
Znaky a vlastnosti
Jak už z názvu asi tušíte, každá strana rovnostranného trojúhelníku se rovná zbývajícím dvěma. Navíc má řadu funkcí, díky kterým je možné určit, zda je údaj správný nebo ne.
- všechny jeho úhly jsou stejné, jejich hodnota je 60 stupňů;
- osy, výšky a mediány nakreslené z každého vrcholu jsou stejné;
- pravidelný trojúhelník má 3 osy symetrie, itse při otočení o 120 stupňů nemění.
- střed vepsané kružnice je zároveň středem opsané kružnice a průsečíkem střednic, os, výšek a kolmých os.
Pokud je pozorováno alespoň jedno z výše uvedených znamének, pak je trojúhelník rovnostranný. Pro normální číslo platí všechna výše uvedená tvrzení.
Všechny trojúhelníky mají řadu pozoruhodných vlastností. Za prvé, prostřední čára, to znamená segment rozdělující dvě strany na polovinu a rovnoběžný se třetí, se rovná polovině základny. Za druhé, součet všech úhlů tohoto obrázku je vždy roven 180 stupňům. V trojúhelnících je navíc ještě jeden zajímavý vztah. Takže naproti větší straně leží větší úhel a naopak. Ale to samozřejmě nemá nic společného s rovnostranným trojúhelníkem, protože všechny jeho úhly jsou stejné.
Vepsané a opsané kruhy
Není neobvyklé, že se studenti v kurzu geometrie také naučí, jak spolu mohou tvary interagovat. Studují se zejména kružnice vepsané do mnohoúhelníků nebo kolem nich popsané. O co jde?
Vepsaný kruh je kruh, jehož všechny strany mnohoúhelníku jsou tečné. Popsaný - ten, který má styčné body se všemi rohy. Pro každý trojúhelník je vždy možné sestrojit první i druhou kružnici, ale pouze jednu od každého typu. Důkaz pro tyto dva
věty jsou uvedeny vškolní kurz geometrie.
Kromě výpočtu parametrů samotných trojúhelníků některé úkoly zahrnují také výpočet poloměrů těchto kružnic. A vzorce pro rovnostranný trojúhelník vypadají takto:
r=a/√ ̅3;
R=a/2√ ̅3;
kde r je poloměr kružnice vepsané, R je poloměr kružnice opsané, a je délka strany trojúhelníku.
Výpočet výšky, obvodu a plochy
Hlavní parametry, které počítají školáci při studiu geometrie, zůstávají nezměněny téměř u žádné postavy. Jedná se o obvod, plochu a výšku. Pro usnadnění výpočtu existují různé vzorce.
Obvod, tedy délka všech stran, se vypočítá následovně:
P=3a=3√ ̅3R=6√ ̅3r, kde a je strana pravidelného trojúhelníku, R je poloměr kružnice opsané, r je kružnice vepsané.
Výška:
h=(√ ̅3/2)a, kde a je délka strany.
Nakonec je vzorec pro obsah rovnostranného trojúhelníku odvozen od standardního vzorce, tedy součin poloviny základny a její výšky.
S=(√ ̅3/4)a2, kde a je délka strany.
Tuto hodnotu lze také vypočítat pomocí parametrů kružnice opsané nebo vepsané. Existují pro to také speciální vzorce:
S=3√ ̅3r2=(3√ ̅3/4)R2, kde r a R jsou v tomto pořadí poloměry vepsané a opsané kružnice.
Building
Ještě jedenZajímavý typ úloh, včetně trojúhelníků, je spojen s potřebou nakreslit ten či onen obrazec pomocí minimální sady
nástroje: kružítko a pravítko bez dělení.
K vytvoření správného trojúhelníku pomocí těchto nástrojů je potřeba pár kroků.
- Musíte nakreslit kružnici s libovolným poloměrem se středem v libovolném bodě A. Musí být označena.
- Dále musíte přes tento bod nakreslit rovnou čáru.
- Průsečíky kružnice a přímky musí být označeny jako B a C. Všechny konstrukce musí být provedeny s co největší přesností.
- Dále musíte postavit další kružnici se stejným poloměrem a středem v bodě C nebo oblouk s příslušnými parametry. Křižovatky budou označeny jako D a F.
- Body B, F, D musí být spojeny segmenty. Je sestrojen rovnostranný trojúhelník.
Řešení takových problémů je pro školáky obvykle problém, ale tato dovednost může být užitečná v každodenním životě.
