Matrice a determinanty byly objeveny v osmnáctém a devatenáctém století. Zpočátku se jejich vývoj týkal transformace geometrických objektů a řešení soustav lineárních rovnic. Historicky byl časný důraz kladen na determinant. V moderních metodách zpracování lineární algebry jsou matice považovány za první. Stojí za to se nad touto otázkou na chvíli zamyslet.
Odpovědi z této oblasti znalostí
Matice poskytují teoreticky i prakticky užitečný způsob řešení mnoha problémů, jako například:
- systémy lineárních rovnic;
- rovnováha pevných látek (ve fyzice);
- teorie grafů;
- Leontiefův ekonomický model;
- lesnictví;
- počítačová grafika a tomografie;
- genetika;
- kryptografie;
- elektrické sítě;
- fractal.
Ve skutečnosti má maticová algebra pro "figuríny" zjednodušenou definici. Vyjadřuje se takto: jedná se o vědní obor, ve kterémpříslušné hodnoty jsou studovány, analyzovány a plně prozkoumány. V této části algebry jsou studovány různé operace s maticemi, které jsou předmětem studia.
Jak pracovat s maticemi
Tyto hodnoty jsou považovány za stejné, pokud mají stejné rozměry a každý prvek jedné se rovná odpovídajícímu prvku druhé. Matici je možné násobit libovolnou konstantou. Toto se nazývá skalární násobení. Příklad: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Matice stejné velikosti lze sčítat a odečítat podle vstupů a hodnoty kompatibilních velikostí lze násobit. Příklad: sečtěte dvě A a B: A=[21−10]B=[1423]. To je možné, protože A i B jsou obě matice se dvěma řádky a stejným počtem sloupců. Je nutné přidat každý prvek v A k odpovídajícímu prvku v B: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Matice se v algebře odečítají stejným způsobem.
Násobení matice funguje trochu jinak. Navíc může existovat mnoho případů a možností, stejně jako řešení. Pokud vynásobíme matici Apq a Bmn, pak součin Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. Záznam v g-tém řádku a h-tém sloupci AB je součtem součinu odpovídajících záznamů v g A a h B. Násobení dvou matic je možné pouze tehdy, pokud počet sloupců v prvním a řádků ve druhém jsou si rovni. Příklad: splňte podmínku pro uvažované A a B: A=[1−130]B=[2−11214]. To je možné, protože první matice obsahuje 2 sloupce a druhá obsahuje 2 řádky. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Základní informace o matrikách
Dotyčné hodnoty organizují informace, jako jsou proměnné a konstanty, a ukládají je do řádků a sloupců, které se obvykle nazývají C. Každá pozice v matici se nazývá prvek. Příklad: C=[1234]. Skládá se ze dvou řádků a dvou sloupců. Prvek 4 je v řádku 2 a sloupci 2. Matici můžete obvykle pojmenovat podle jejích rozměrů, ta s názvem Cmk má m řádků a k sloupců.
Expanded matices
Úvahy jsou neuvěřitelně užitečné věci, které se objevují v mnoha různých oblastech použití. Matice byly původně založeny na soustavách lineárních rovnic. Vzhledem k následující struktuře nerovností je třeba vzít v úvahu následující doplněnou matici:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Zapište si koeficienty a hodnoty odpovědí, včetně všech znamének mínus. Pokud je prvek se záporným číslem, bude se rovnat "1". To znamená, že vzhledem k systému (lineárních) rovnic je možné k němu přiřadit matici (mřížku čísel v závorkách). Je to ten, který obsahuje pouze koeficienty lineárního systému. Říká se tomu „rozšířená matice“. Mřížka obsahující koeficienty z levé strany každé rovnice byla „vyplněna“odpověďmi z pravé strany každé rovnice.
Záznamy, to jesthodnoty B matice odpovídají hodnotám x-, y- a z v původním systému. Je-li správně uspořádán, tak jej nejprve zkontrolujte. Někdy je potřeba změnit uspořádání výrazů nebo vložit nuly jako zástupné symboly do studované nebo studované matice.
S ohledem na následující soustavu rovnic můžeme okamžitě napsat související rozšířenou matici:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Nejprve nezapomeňte přeuspořádat systém takto:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Pak je možné zapsat související matici jako: [11000113-1012]. Při vytváření rozšířené jedničky se vyplatí použít nulu pro každý záznam, kde je odpovídající místo v soustavě lineárních rovnic prázdné.
Matricová algebra: Vlastnosti operací
Pokud je nutné tvořit prvky pouze z hodnot koeficientů, bude uvažovaná hodnota vypadat takto: [110011-101]. Říká se tomu "matice koeficientů".
Vezmeme-li v úvahu následující rozšířenou maticovou algebru, je nutné ji vylepšit a přidat související lineární systém. Jak již bylo řečeno, je důležité si uvědomit, že vyžadují, aby proměnné byly dobře uspořádané a úhledné. A obvykle, když existují tři proměnné, použijte x, y a z v tomto pořadí. Proto by přidružený lineární systém měl být:
x + 3y=4
2y – z=5
3x + z=-2.
Velikost matice
Dotyčné položky jsou často označovány podle jejich výkonu. Velikost matice v algebře je dána jakoměření, protože místnost lze nazvat jinak. Měřenými mírami hodnot jsou řádky a sloupce, nikoli šířka a délka. Například matice A:
[1234]
[2345]
[3456].
Protože A má tři řádky a čtyři sloupce, velikost A je 3 × 4.
→
↓
Čáry jdou do stran. Sloupce jdou nahoru a dolů. "Řádek" a "sloupec" jsou specifikace a nejsou zaměnitelné. Velikosti matic se vždy zadávají s počtem řádků a poté počtem sloupců. V souladu s touto konvencí následující B:
[123]
[234] je 2 × 3. Pokud má matice stejný počet řádků jako sloupců, nazývá se "čtverec". Například hodnoty koeficientů shora:
[110]
[011]
[-101] je čtvercová matice 3×3.
Matriční zápis a formátování
Poznámka k formátování: Když například potřebujete napsat matici, je důležité použít závorky . Sloupce absolutní hodnoty || se nepoužívají, protože mají v tomto kontextu jiný směr. Nikdy se nepoužívají závorky ani složené závorky {}. Nebo nějaký jiný symbol seskupení, nebo žádný, protože tyto prezentace nemají žádný význam. V algebře je matice vždy v hranatých závorkách. Musí být použit pouze správný zápis, jinak mohou být odpovědi považovány za zkreslené.
Jak již bylo zmíněno dříve, hodnoty obsažené v matici se nazývají záznamy. Z jakéhokoli důvodu jsou příslušné prvky obvykle napsányvelká písmena, jako je A nebo B, a položky jsou specifikovány pomocí odpovídajících malých písmen, ale s dolními indexy. V matici A se hodnoty obvykle nazývají "ai, j", kde i je řádek A a j je sloupec A. Například a3, 2=8. Záznam pro a1, 3 je 3.
U menších matic, které mají méně než deset řádků a sloupců, se čárka dolního indexu někdy vynechává. Například „a1, 3=3“lze zapsat jako „a13=3“. Je zřejmé, že to nebude fungovat pro velké matice, protože a213 bude nejasný.
Typy matic
Někdy klasifikovány podle konfigurace záznamů. Například taková matice, která má všechny nulové položky pod úhlopříčkou nahoře-levá-dolní-pravá "úhlopříčka", se nazývá horní trojúhelníková. Mimo jiné mohou existovat i jiné druhy a typy, které však nejsou příliš užitečné. Obecně je většinou vnímán jako horní trojúhelníkový. Hodnoty s nenulovými exponenty pouze vodorovně se nazývají diagonální hodnoty. Podobné typy mají nenulové položky, ve kterých jsou všechny 1, takové odpovědi se nazývají identické (z důvodů, které budou zřejmé, když se naučíte a pochopíte, jak násobit příslušné hodnoty). Podobných výzkumných ukazatelů je mnoho. Identita 3 × 3 je označena I3. Podobně identita 4 × 4 je I4.
Matricová algebra a lineární prostory
Všimněte si, že trojúhelníkové matice jsou čtvercové. Ale úhlopříčky jsou trojúhelníkové. Vzhledem k tomu jsounáměstí. A identity jsou považovány za úhlopříčky, a tedy za trojúhelníkové a čtvercové. Když je požadováno popsat matici, obvykle se jednoduše specifikuje vlastní nejkonkrétnější klasifikace, protože to zahrnuje všechny ostatní. Klasifikujte následující možnosti výzkumu:jako 3 × 4. V tomto případě nejsou čtvercové. Hodnoty proto nemohou být nic jiného. Následující klasifikace:je možná jako 3 × 3. Ale považuje se za čtverec a není na tom nic zvláštního. Klasifikace následujících údajů:jako 3 × 3 horní trojúhelník, ale není diagonální. Je pravda, že v uvažovaných hodnotách mohou být další nuly na nebo nad umístěným a označeným prostorem. Studovaná klasifikace je dále: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], kde je reprezentována jako úhlopříčka a navíc všechny položky jsou 1. Pak se jedná o identitu 3 × 3, I3.
Vzhledem k tomu, že analogické matice jsou z definice čtvercové, stačí k nalezení jejich rozměrů použít pouze jeden index. Aby byly dvě matice stejné, musí mít stejný parametr a stejné položky na stejných místech. Předpokládejme například, že jsou uvažovány dva prvky: A=[1 3 0] [-2 0 0] a B=[1 3] [-2 0]. Tyto hodnoty nemohou být stejné, protože se liší velikostí.
I když A a B jsou: A=[3 6] [2 5] [1 4] a B=[1 2 3] [4 5 6] – stále nejsou stejné stejná věc. A a B mají každýšest záznamů a mají také stejná čísla, ale to je pro matriky málo. A je 3 × 2. A B je matice 2 × 3. A pro 3 × 2 není 2 × 3. Nezáleží na tom, zda A a B mají stejné množství dat nebo dokonce stejná čísla jako záznamy. Pokud A a B nemají stejnou velikost a tvar, ale mají stejné hodnoty na podobných místech, nejsou stejné.
Podobné operace v uvažované oblasti
Tuto vlastnost maticové rovnosti lze přeměnit na úkoly pro nezávislý výzkum. Například jsou dány dvě matice a je uvedeno, že jsou stejné. V tomto případě budete muset tuto rovnost použít k prozkoumání a získání odpovědí na hodnoty proměnných.
Příklady a řešení matic v algebře se mohou lišit, zejména pokud jde o rovnosti. Vzhledem k tomu, že jsou uvažovány následující matice, je nutné najít hodnoty x a y. Aby A a B byly stejné, musí mít stejnou velikost a tvar. Ve skutečnosti jsou takové, protože každá z nich je matice 2 × 2. A měli by mít stejné hodnoty na stejných místech. Pak a1, 1 se musí rovnat b1, 1, a1, 2 se musí rovnat b1, 2 atd. jim). Ale a1, 1=1 se zjevně nerovná b1, 1=x. Aby A bylo totožné s B, musí mít záznam a1, 1=b1, 1, takže může být 1=x. Podobně indexy a2, 2=b2, 2, tedy 4=y. Pak řešení je: x=1, y=4. Vzhledem k tomu, že následujícímatice jsou stejné, musíte najít hodnoty x, y a z. Aby bylo A=B, musí mít koeficienty všechny položky stejné. To znamená, že a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 a tak dále. Zejména musí:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Jak můžete vidět z vybraných matic: s 1, 1-, 2, 2- a 3, 1-prvky. Řešením těchto tří rovnic dostaneme odpověď: x=4, y=-6 az=9. Maticová algebra a maticové operace se liší od toho, na co jsou všichni zvyklí, ale nedají se reprodukovat.
Další informace v této oblasti
Lineární maticová algebra je studium podobných soustav rovnic a jejich transformačních vlastností. Tato oblast znalostí vám umožňuje analyzovat rotace v prostoru, aproximovat nejmenší čtverce, řešit související diferenciální rovnice, určit kružnici procházející třemi danými body a řešit mnoho dalších problémů v matematice, fyzice a technologii. Lineární algebra matice není ve skutečnosti technický smysl použitého slova, to znamená vektorový prostor v nad polem f atd.
Matice a determinant jsou extrémně užitečné nástroje lineární algebry. Jedním z ústředních úkolů je řešení maticové rovnice Ax=b, pro x. I když by to teoreticky šlo vyřešit pomocí inverzní x=A-1 b. Jiné metody, jako je Gaussova eliminace, jsou numericky spolehlivější.
Kromě toho, že se používá k popisu studia lineárních sad rovnic, specifikovanévýše uvedený termín se také používá k popisu určitého typu algebry. Zejména L nad polem F má strukturu kruhu se všemi obvyklými axiomy pro vnitřní sčítání a násobení, spolu s distributivními zákony. Proto mu dává větší strukturu než prsten. Lineární maticová algebra také připouští vnější operaci násobení skaláry, které jsou prvky základního pole F. Například množina všech uvažovaných transformací z vektorového prostoru V k sobě samému nad polem F je vytvořena přes F. Další příklad lineárního algebra je množina všech reálných čtvercových matic nad polem R reálných čísel.
