Ideální tekutina a rovnice popisující její pohyb

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-17 05:20

Sekce fyziky, která studuje vlastnosti pohybu kapalných médií, se nazývá hydrodynamika. Jedním z hlavních matematických výrazů hydrodynamiky je Bernoulliho rovnice pro ideální tekutinu. Článek je věnován tomuto tématu.

Jaká je ideální tekutina?

Mnoho lidí ví, že kapalná látka je takový agregovaný stav hmoty, který si za stálých vnějších podmínek zachovává objem, ale při sebemenším dopadu na něj mění svůj tvar. Ideální tekutina je tekutá látka, která nemá viskozitu a je nestlačitelná. To jsou dvě hlavní vlastnosti, které jej odlišují od skutečných tekutin.

Všimněte si, že téměř všechny skutečné kapaliny lze považovat za nestlačitelné, protože malá změna jejich objemu vyžaduje obrovský vnější tlak. Pokud například vytvoříte tlak 5 atmosfér (500 kPa), voda zvýší svou hustotu pouze o 0,024 %. Pokud jde o problematiku viskozity, pro řadu praktických problémů, kdy je voda považována za pracovní tekutinu, ji lze zanedbat. Pro úplnost podotýkáme, žedynamická viskozita vody při 20 ^oC je 0,001 Pas², což je skrovné ve srovnání s touto hodnotou pro med (>2000).

Je důležité nezaměňovat pojmy ideální kapalina a ideální plyn, protože ten je snadno stlačitelný.

Rovnice kontinuity

V hydrodynamice se pohyb ideální tekutiny začíná uvažovat na základě studia rovnice kontinuity jejího proudění. Abychom pochopili podstatu problému, je nutné zvážit pohyb tekutiny potrubím. Představte si, že na vstupu má potrubí průřez A₁ a na výstupu A₂.

Nyní předpokládejme, že kapalina proudí na začátku potrubí rychlostí v₁, to znamená, že v čase t úsekem A_{1objem průtoku V}1_=A1_v1_{t. Vzhledem k tomu, že kapalina je ideální, to znamená nestlačitelná, z konce potrubí musí za čas t vytéct přesně stejný objem vody, dostaneme: V}2_=A2 _v2_{t. Z rovnosti objemů V}1 _{a V}2 _{vyplývá rovnice kontinuity proudění ideální tekutiny:}

A₁v₁=A₂v₂.

Z výsledné rovnice vyplývá, že pokud A₁>A₂, pak v₁ by mělo být menší než v₂. Jinými slovy, zmenšením průřezu trubky tím zvýšíme rychlost proudění tekutiny, která ji opouští. Je zřejmé, že tento efekt pozoroval každý člověk ve svém životě, který alespoň jednou zaléval záhony hadicí popřzahradu, takže zakryjte otvor v hadici prstem a můžete sledovat, jak proud vody tryskající z ní zesílí.

Rovnice kontinuity pro rozvětvené potrubí

Je zajímavé zvážit případ pohybu ideální tekutiny potrubím, které nemá jeden, ale dva nebo více výstupů, to znamená, že je rozvětvené. Například plocha průřezu trubky na vstupu je A₁ a směrem k výstupu se větví na dvě trubky s sekcemi A₂a A_{3. Určíme průtoky v}2 _{a v}3_{, pokud je známo, že voda vstupuje do vstupu rychlostí v} 1.

Pomocí rovnice kontinuity dostaneme výraz: A₁v₁=A₂ v ₂ + A₃v₃. Chcete-li vyřešit tuto rovnici pro neznámé rychlosti, musíte pochopit, že na výstupu, ať je tok v jakémkoli potrubí, se pohybuje stejnou rychlostí, tj. v₂=v3_{. Tuto skutečnost lze intuitivně pochopit. Pokud je výstupní potrubí rozděleno na dvě části nějakou přepážkou, průtok se nezmění. Vzhledem k této skutečnosti dostáváme řešení: v}2_=v3 _=A1_v1/(A₂ + A₃).

Bernoulliho rovnice pro ideální tekutinu

Daniil Bernoulli, švýcarský fyzik a matematik holandského původu, ve své práci „Hydrodynamika“(1734) předložil rovnici pro ideální tekutinu popisující její pohyb. Píše se v následujícím tvaru:

P+ ρv²/2 + ρgh=konst.

Tento výraz odráží zákon zachování energie v případě proudění tekutiny. První člen (P) je tedy tlak nasměrovaný podél vektoru přemístění tekutiny, který popisuje práci proudění, druhý člen (ρv²/2) je kinetický energie tekuté látky a třetí člen (ρgh) je její potenciální energie.

Připomeňme, že tato rovnice platí pro ideální tekutinu. Ve skutečnosti vždy dochází ke tření tekuté látky o stěny potrubí a uvnitř jeho objemu, proto je do výše uvedené Bernoulliho rovnice zaveden další člen, který popisuje tyto energetické ztráty.

Použití Bernoulliho rovnice

Je zajímavé uvést některé vynálezy, které využívají dedukce z Bernoulliho rovnice:

• Komín a digestoře. Z rovnice vyplývá, že čím větší je rychlost pohybu tekuté látky, tím nižší je její tlak. Rychlost pohybu vzduchu v horní části komína je větší než u jeho základny, takže proud kouře má vždy tendenci stoupat kvůli rozdílu tlaků.
• Vodovodní potrubí. Rovnice pomáhá pochopit, jak se změní tlak vody v potrubí, pokud se změní průměr potrubí.
• Letadla a formule 1. Úhel křídel letadla a křídla F1 zajišťuje rozdíl v tlaku vzduchu nad a pod křídlem, což vytváří vztlakovou a přítlačnou sílu.

Režimy proudění tekutiny

Bernoulliho rovnice neníbere v úvahu režim pohybu tekutiny, který může být dvojího typu: laminární a turbulentní. Laminární proudění se vyznačuje klidným prouděním, při kterém se vrstvy tekutiny pohybují po relativně hladkých trajektoriích a vzájemně se nemísí. Turbulentní způsob pohybu tekutiny je charakterizován chaotickým pohybem každé molekuly, která tok tvoří. Charakteristickým rysem turbulentního režimu je přítomnost vírů.

Jaký způsob bude kapalina proudit, závisí na řadě faktorů (vlastnosti systému, například přítomnost nebo nepřítomnost nerovností na vnitřním povrchu potrubí, viskozita látky a rychlost jejího hnutí). Přechod mezi uvažovanými způsoby pohybu je popsán Reynoldsovými čísly.

Výrazným příkladem laminárního proudění je pomalý pohyb krve hladkými cévami. Příkladem turbulentního proudění je silný tlak vody z kohoutku.