Pohyb kolem osy otáčení je jedním z nejběžnějších typů pohybu objektů v přírodě. V tomto článku se podíváme na tento typ pohybu z hlediska dynamiky a kinematiky. Poskytujeme také vzorce týkající se hlavních fyzikálních veličin.
O kterém hnutí mluvíme?
V doslovném slova smyslu budeme mluvit o pohybu těles po kružnici, tedy o jejich rotaci. Pozoruhodným příkladem takového pohybu je otáčení kola automobilu nebo jízdního kola při pohybu vozidla. Otáčení kolem své osy krasobruslaře předvádějícího složité piruety na ledě. Nebo rotace naší planety kolem Slunce a kolem vlastní osy nakloněné k rovině ekliptiky.
Jak vidíte, důležitým prvkem uvažovaného typu pohybu je osa rotace. Každý bod tělesa libovolného tvaru kolem sebe provádí kruhové pohyby. Vzdálenost od bodu k ose se nazývá poloměr otáčení. Na jeho hodnotě závisí mnoho vlastností celého mechanického systému, například moment setrvačnosti, lineární rychlost aostatní.
Dynamika rotace
Pokud je důvodem lineárního translačního pohybu těles v prostoru vnější síla, která na ně působí, pak důvodem pohybu kolem osy rotace je vnější moment síly. Tato hodnota je popsána jako vektorový součin aplikované síly F¯ a vektoru vzdálenosti od bodu jejího působení k ose r¯, tedy:
M¯=[r¯F¯]
Akce okamžiku M¯ vede k výskytu úhlového zrychlení α¯ v systému. Obě veličiny spolu souvisí prostřednictvím nějakého koeficientu I následující rovností:
M¯=Iα¯
Hodnota I se nazývá moment setrvačnosti. Závisí jak na tvaru tělesa, tak na rozložení hmoty uvnitř něj a na vzdálenosti k ose rotace. Pro hmotný bod se vypočítá podle vzorce:
I=mr2
Pokud je vnější moment síly roven nule, pak si systém zachová svůj moment hybnosti L¯. Toto je další vektorová veličina, která se podle definice rovná:
L¯=[r¯p¯]
Zde p¯ je lineární hybnost.
Zákon zachování momentu L¯ se obvykle píše takto:
Iω=const
Kde ω je úhlová rychlost. O ní bude dále pojednáno v článku.
Rotační kinematika
Na rozdíl od dynamiky uvažuje tato část fyziky výhradně o praktických důležitých veličinách souvisejících se změnou polohy těles v časeprostor. To znamená, že předměty studia kinematiky rotace jsou rychlosti, zrychlení a úhly rotace.
Nejprve si představíme úhlovou rychlost. Rozumí se jím úhel, o který se těleso otočí za jednotku času. Vzorec pro okamžitou úhlovou rychlost je:
ω=dθ/dt
Pokud se těleso otáčí ve stejných úhlech za stejné časové intervaly, pak se rotace nazývá rovnoměrná. Pro něj platí vzorec pro průměrnou úhlovou rychlost:
ω=Δθ/Δt
Měřeno ω v radiánech za sekundu, což v soustavě SI odpovídá reciprokým sekundám (c-1).
V případě nerovnoměrného otáčení se používá koncept úhlového zrychlení α. Určuje rychlost změny hodnoty ω v čase, tedy:
α=dω/dt=d2θ/dt2
Měřeno α v radiánech za čtvereční sekundu (v SI - c-2).
Pokud se těleso zpočátku stejnoměrně otáčelo rychlostí ω0 a poté začalo svou rychlost zvyšovat s konstantním zrychlením α, pak lze takový pohyb popsat následovně vzorec:
θ=ω0t + αt2/2
Tato rovnost se získá integrací rovnic úhlové rychlosti v průběhu času. Vzorec pro θ vám umožňuje vypočítat počet otáček, které systém provede kolem osy otáčení za čas t.
Lineární a úhlové rychlosti
Obě rychlosti navzájempřipojen k jinému. Když mluvíme o rychlosti rotace kolem osy, mohou znamenat lineární i úhlové charakteristiky.
Předpokládejme, že se nějaký hmotný bod otáčí kolem osy ve vzdálenosti r rychlostí ω. Pak bude jeho lineární rychlost v rovna:
v=ωr
Rozdíl mezi lineární a úhlovou rychlostí je významný. ω tedy nezávisí na vzdálenosti k ose při rovnoměrné rotaci, zatímco hodnota v se vzrůstajícím r lineárně roste. Posledně jmenovaný fakt vysvětluje, proč je s rostoucím poloměrem otáčení obtížnější udržet těleso na kruhové trajektorii (zvyšuje se jeho lineární rychlost a v důsledku toho i setrvačné síly).
Problém výpočtu rychlosti rotace kolem své osy Země
Každý ví, že naše planeta ve sluneční soustavě vykonává dva druhy rotačního pohybu:
- kolem své osy;
- kolem hvězdy.
Vypočítejte rychlosti ω a v pro první z nich.
Úhlovou rychlost není těžké určit. Za tímto účelem si pamatujte, že planeta provede úplnou otáčku rovnající se 2pi radiánům za 24 hodin (přesná hodnota je 23 hodin 56 minut 4,1 sekundy). Potom bude hodnota ω:
ω=2pi/(243600)=7, 2710-5rad/s
Vypočítaná hodnota je malá. Ukažme si nyní, jak moc se liší absolutní hodnota ω od hodnoty v.
Vypočítejte lineární rychlost v pro body ležící na povrchu planety v zeměpisné šířce rovníku. PokudZemě je zploštělá koule, rovníkový poloměr je o něco větší než polární. Je to 6378 km. Pomocí vzorce pro spojení dvou rychlostí dostaneme:
v=ωr=7, 2710-56378000 ≈ 464 m/s
Výsledná rychlost je 1670 km/h, což je více než rychlost zvuku ve vzduchu (1235 km/h).
Otáčení Země kolem své osy vede ke vzniku tzv. Coriolisovy síly, se kterou je třeba počítat při létání balistických střel. Je také příčinou mnoha atmosférických jevů, jako je odchylka směru pasátů na západ.
