Kinematika je část fyziky, která bere v úvahu zákony pohybu těles. Jeho rozdíl od dynamiky je v tom, že nebere v úvahu síly působící na pohybující se těleso. Tento článek je věnován otázce kinematiky rotačního pohybu.
Rotační pohyb a jeho rozdíl od pohybu dopředu
Pokud budete dávat pozor na okolní pohybující se objekty, můžete vidět, že se pohybují buď přímočaře (auto jede po silnici, letadlo letí po obloze), nebo v kruhu (stejné auto vjíždějící do zatáčky, otáčení kola). Složitější typy pohybu objektů mohou být redukovány, jako první přiblížení, na kombinaci dvou uvedených typů.
Progresivní pohyb zahrnuje změnu prostorových souřadnic těla. V tomto případě je často považován za hmotný bod (geometrické rozměry se neberou v úvahu).
Rotační pohyb je druh pohybu, při kterémsystém se pohybuje v kruhu kolem nějaké osy. Navíc je objekt v tomto případě zřídka považován za hmotný bod, nejčastěji se používá jiná aproximace - absolutně tuhé tělo. To druhé znamená, že elastické síly působící mezi atomy tělesa jsou zanedbávány a předpokládá se, že geometrické rozměry soustavy se během rotace nemění. Nejjednodušší případ je pevná osa.
Kinematika translačního a rotačního pohybu se řídí stejnými Newtonovými zákony. K popisu obou typů pohybu se používají podobné fyzikální veličiny.
Jaké veličiny popisují pohyb ve fyzice?
Kinematika rotačního a translačního pohybu využívá tři základní veličiny:
- Cesta ušla. Budeme jej označovat písmenem L pro translační a θ - pro rotační pohyb.
- Rychlost. Pro lineární případ se obvykle píše latinským písmenem v, pro pohyb po kruhové dráze - řeckým písmenem ω.
- Zrychlení. Pro lineární a kruhovou cestu se používají symboly a a α.
Často se také používá pojem trajektorie. Ale pro typy pohybu uvažovaných objektů se tento koncept stává triviálním, protože translační pohyb je charakterizován lineární trajektorií a rotační - kruhem.
Lineární a úhlové rychlosti
Začneme kinematikou rotačního pohybu hmotného bodunahlíženo z konceptu rychlosti. Je známo, že pro translační pohyb těles tato hodnota popisuje, která dráha bude překonána za jednotku času, tedy:
v=L / t
V se měří v metrech za sekundu. Pro rotaci je nepohodlné uvažovat tuto lineární rychlost, protože závisí na vzdálenosti k ose rotace. Zavádí se mírně odlišná charakteristika:
ω=θ / t
Toto je jeden z hlavních vzorců kinematiky rotačního pohybu. Ukazuje, pod jakým úhlem θ se celý systém otočí kolem pevné osy za čas t.
Oba výše uvedené vzorce odrážejí stejný fyzikální proces rychlosti pohybu. Pouze pro lineární případ je důležitá vzdálenost a pro kruhový případ úhel natočení.
Oba vzorce se vzájemně ovlivňují. Pojďme získat toto spojení. Vyjádříme-li θ v radiánech, pak hmotný bod rotující ve vzdálenosti R od osy po provedení jedné otáčky urazí dráhu L=2piR. Výraz pro lineární rychlost bude mít tvar:
v=L / t=2píR / t
Ale poměr 2pí radiánů k času t není nic jiného než úhlová rychlost. Pak dostaneme:
v=ωR
Zde je vidět, že čím větší je lineární rychlost v a čím menší je poloměr otáčení R, tím větší je úhlová rychlost ω.
Lineární a úhlové zrychlení
Další důležitou charakteristikou v kinematice rotačního pohybu hmotného bodu je úhlové zrychlení. Než ho poznáme, pojďmevzorec pro podobnou lineární hodnotu:
1) a=dv / dt
2) a=Δv / Δt
První výraz odráží okamžité zrychlení (dt ->0), zatímco druhý vzorec je vhodný, pokud se rychlost mění rovnoměrně v průběhu času Δt. Zrychlení získané ve druhé variantě se nazývá průměrné.
Vzhledem k podobnosti veličin, které popisují lineární a rotační pohyb, můžeme pro úhlové zrychlení napsat:
1) α=dω / dt
2) α=Δω / Δt
Výklad těchto vzorců je přesně stejný jako pro lineární případ. Jediný rozdíl je v tom, že a ukazuje, o kolik metrů za sekundu se rychlost změní za jednotku času, a α ukazuje, o kolik radiánů za sekundu se úhlová rychlost změní za stejnou dobu.
Pojďme najít souvislost mezi těmito zrychleními. Dosazením hodnoty pro v, vyjádřené pomocí ω, do jedné ze dvou rovností pro α, dostaneme:
α=Δω / Δt=Δv / Δt1 / R=a / R
Z toho vyplývá, že čím menší je poloměr otáčení a čím větší je lineární zrychlení, tím větší je hodnota α.
Ujetá vzdálenost a úhel natočení
Zbývá uvést vzorce pro poslední ze tří základních veličin v kinematice rotačního pohybu kolem pevné osy – pro úhel rotace. Stejně jako v předchozích odstavcích si nejprve zapíšeme vzorec pro rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb, máme:
L=v0 t + a t2 / 2
Úplná analogie s rotačním pohybem vede k následujícímu vzorci:
θ=ω0 t + αt2 / 2
Poslední výraz vám umožňuje získat úhel natočení pro jakoukoli dobu t. Všimněte si, že obvod je 2pí radiánů (≈ 6,3 radiánů). Pokud je v důsledku vyřešení problému hodnota θ větší než specifikovaná hodnota, pak tělo udělalo více než jednu otáčku kolem osy.
Vzorec pro vztah mezi L a θ se získá nahrazením odpovídajících hodnot pro ω0a α pomocí lineárních charakteristik:
θ=v0 t / R + at2 / (2R)=L /R
Výsledný výraz odráží význam samotného úhlu θ v radiánech. Jestliže θ=1 rad, pak L=R, to znamená, že úhel jednoho radiánu spočívá na oblouku o délce jednoho poloměru.
Příklad řešení problému
Vyřešme následující problém rotační kinematiky: víme, že auto se pohybuje rychlostí 70 km/h. S vědomím, že průměr jeho kola je D=0,4 metru, je nutné pro něj určit hodnotu ω a také počet otáček, které udělá, když auto ujede vzdálenost 1 kilometr.
K nalezení úhlové rychlosti stačí dosadit známá data do vzorce pro její vztah k lineární rychlosti, dostaneme:
ω=v / R=7104 / 3600 / 0, 2=97, 222 rad/s.
Podobně pro úhel θ, do kterého se kolo otočí po projetí1 km, dostaneme:
θ=L / R=1000 / 0, 2=5000 rad.
Vzhledem k tomu, že jedna otáčka je 6,2832 radiánů, dostaneme počet otáček kola, který odpovídá tomuto úhlu:
n=θ / 6, 2832=5000 / 6, 2832=795, 77 otáček.
Na otázky jsme odpověděli pomocí vzorců v článku. Úlohu bylo možné vyřešit i jinak: vypočítat dobu, za kterou auto ujede 1 km, a dosadit ji do vzorce pro úhel natočení, ze kterého získáme úhlovou rychlost ω. Odpověď nalezena.
