V praxi se často objevují úkoly, které vyžadují schopnost sestavit řezy z geometrických tvarů různých tvarů a najít plochu řezů. V tomto článku se podíváme na to, jak se staví důležité části hranolu, jehlanu, kužele a válce a jak vypočítat jejich plochy.
3D postavy
Ze stereometrie je známo, že trojrozměrný obrazec jakéhokoli typu je omezen počtem povrchů. Například pro takové mnohostěny, jako je hranol a jehlan, jsou tyto povrchy polygonálními stranami. U válce a kužele mluvíme o rotačních plochách válcových a kuželových útvarů.
Pokud vezmeme rovinu a libovolně protneme povrch trojrozměrného obrazce, dostaneme řez. Jeho plocha se rovná ploše části roviny, která bude uvnitř objemu obrázku. Minimální hodnota této plochy je nula, což je realizováno, když se rovina dotkne obrazce. Například řez, který je tvořen jediným bodem, se získá, pokud rovina prochází vrcholem jehlanu nebo kužele. Maximální hodnota plochy průřezu závisí narelativní polohu postavy a roviny, stejně jako tvar a velikost postavy.
Níže zvážíme, jak vypočítat plochu vytvořených řezů pro dvě rotační postavy (válec a kužel) a dva mnohostěny (pyramidu a hranol).
Válec
Kruhový válec je obrazec rotace obdélníku kolem kterékoli z jeho stran. Válec je charakterizován dvěma lineárními parametry: poloměr základny r a výška h. Níže uvedený diagram ukazuje, jak vypadá kruhový přímý válec.
Tento obrázek má tři důležité typy sekcí:
- round;
- rectangular;
- eliptické.
Eliptický tvar vzniká jako výsledek roviny protínající boční povrch obrazce pod určitým úhlem k jeho základně. Kulatá je výsledkem průsečíku roviny řezu boční plochy rovnoběžné se základnou válce. Konečně, obdélníkový je získán, pokud je řezná rovina rovnoběžná s osou válce.
Kruhová plocha se vypočítá podle vzorce:
S1=pir2
Plocha axiálního řezu, tedy obdélníkového, který prochází osou válce, je definována takto:
S2=2rh
Kuželové sekce
Kónus je tvar rotace pravoúhlého trojúhelníku kolem jedné z nohou. Kužel má jeden vrchol a kulatou základnu. Jeho parametry jsou také poloměr r a výška h. Níže je uveden příklad papírového kornoutu.
Existuje několik typů kuželoseček. Pojďme si je vyjmenovat:
- round;
- eliptické;
- parabolic;
- hyperbolic;
- trojúhelníkový.
Nahrazují se navzájem, pokud zvětšíte úhel sklonu roviny sečny vzhledem ke kulaté základně. Nejjednodušší způsob je zapsat si vzorce pro průřezovou plochu kruhového a trojúhelníkového.
Kruhový řez je vytvořen jako výsledek průsečíku kuželové plochy s rovinou, která je rovnoběžná se základnou. Pro jeho oblast platí následující vzorec:
S1=pir2z2/h 2
Zde z je vzdálenost od horní části obrázku k vytvořené sekci. Je vidět, že pokud z=0, pak rovina prochází pouze vrcholem, takže plocha S1 bude rovna nule. Od z < h bude plocha studovaného úseku vždy menší než jeho hodnota pro základnu.
Trojúhelník se získá, když rovina protíná obrazec podél jeho osy otáčení. Tvar výsledného řezu bude rovnoramenný trojúhelník, jehož strany jsou průměrem základny a dvou generátorů kužele. Jak najít plochu průřezu trojúhelníku? Odpověď na tuto otázku bude následující vzorec:
S2=rh
Tato rovnost se získá aplikací vzorce pro obsah libovolného trojúhelníku přes délku jeho základny a výšku.
Prizmatické sekce
Prisma je velká třída figurek, které se vyznačují přítomností dvou identických polygonálních základen, které jsou vzájemně rovnoběžné,spojeny paralelogramy. Jakákoli část hranolu je mnohoúhelník. S ohledem na rozmanitost uvažovaných obrazců (šikmé, přímé, n-gonální, pravidelné, konkávní hranoly) je také rozmanitost jejich řezů velká. Níže zvažujeme pouze některé speciální případy.
Pokud je rovina řezu rovnoběžná se základnou, pak se plocha průřezu hranolu bude rovnat ploše této základny.
Pokud rovina prochází geometrickými středy dvou základen, to znamená, že je rovnoběžná s bočními okraji obrazce, pak se v řezu vytvoří rovnoběžník. V případě rovných a pravidelných hranolů bude uvažovaným řezem obdélník.
Pyramida
Pyramida je další mnohostěn, který se skládá z n-úhelníku a n trojúhelníků. Níže je uveden příklad trojúhelníkové pyramidy.
Pokud je řez nakreslen rovinou rovnoběžnou s n-gonální základnou, bude její tvar přesně stejný jako tvar základny. Plocha takového úseku se vypočítá podle vzorce:
S1=So(h-z)2/h 2
Kde z je vzdálenost od základny k rovině řezu, So je plocha základny.
Pokud rovina řezu obsahuje vrchol jehlanu a protíná jeho základnu, dostaneme trojúhelníkový řez. Chcete-li vypočítat jeho plochu, musíte použít příslušný vzorec pro trojúhelník.
