Jedním z odvětví matematiky, se kterým se školáci vyrovnávají s největšími obtížemi, je trigonometrie. Není divu: Abyste si mohli svobodně osvojit tuto oblast znalostí, potřebujete prostorové myšlení, schopnost najít sinus, kosinus, tangens, kotangens pomocí vzorců, zjednodušit výrazy a umět používat číslo pí ve výpočtech. Kromě toho musíte být schopni použít trigonometrii při dokazování teorémů, a to vyžaduje buď rozvinutou matematickou paměť, nebo schopnost odvodit složité logické řetězce.
Počátky trigonometrie
Úvod do této vědy by měl začít definicí sinus, kosinus a tangens úhlu, ale nejprve musíte zjistit, co trigonometrie dělá obecně.
Historicky byly pravoúhlé trojúhelníky hlavním předmětem výzkumu v této části matematické vědy. Přítomnost úhlu 90 stupňů umožňuje provádět různé operace, které umožňují dvastrany a jeden roh nebo dva rohy a jedna strana k určení hodnot všech parametrů příslušného obrázku. V minulosti si lidé tohoto vzoru všimli a začali jej aktivně používat při stavbě budov, navigaci, astronomii a dokonce i umění.
Počátek
Zpočátku se o vztahu úhlů a stran mluvilo výhradně na příkladu pravoúhlých trojúhelníků. Poté byly objeveny speciální vzorce, které umožnily rozšířit hranice použití v každodenním životě této části matematiky.
Studium trigonometrie ve škole dnes začíná pravoúhlými trojúhelníky, poté získané znalosti využijí studenti ve fyzice a řešení abstraktních goniometrických rovnic, s nimiž se začíná pracovat už na střední škole.
Sférická trigonometrie
Později, když věda dosáhla další úrovně vývoje, se vzorce se sinusem, kosinus, tangens, kotangens začaly používat ve sférické geometrii, kde platí jiná pravidla a součet úhlů v trojúhelníku je vždy větší než 180 stupňů. Tato část se ve škole nestuduje, ale je nutné o její existenci vědět, přinejmenším proto, že zemský povrch, i povrch jakékoli jiné planety, je konvexní, což znamená, že jakékoli označení povrchu bude „obloukovité v trojrozměrném prostoru.
Vezměte si glóbus a vlákno. Připojte nit k libovolným dvěma bodům na zeměkouli tak, aby byla napnutá. Věnujte pozornost - získal tvar oblouku. Zabývá se takovými formamisférická geometrie používaná v geodézii, astronomii a dalších teoretických a aplikovaných oborech.
Pravý trojúhelník
Když jsme se trochu naučili o způsobech používání trigonometrie, vraťme se k základní trigonometrii, abychom dále porozuměli tomu, co je sinus, kosinus, tangens, jaké výpočty lze s jejich pomocí provádět a jaké vzorce použít.
Nejprve musíte pochopit pojmy související s pravoúhlým trojúhelníkem. Za prvé, přepona je strana protilehlá úhlu 90 stupňů. Ta je nejdelší. Pamatujeme si, že podle Pythagorovy věty je jeho číselná hodnota rovna odmocnině součtu druhých mocnin ostatních dvou stran.
Pokud jsou například dvě strany 3 a 4 centimetry, délka přepony bude 5 centimetrů. Mimochodem, staří Egypťané o tom věděli asi před čtyřmi a půl tisíci lety.
Dvě zbývající strany, které tvoří pravý úhel, se nazývají nohy. Kromě toho si musíme pamatovat, že součet úhlů v trojúhelníku v pravoúhlém souřadnicovém systému je 180 stupňů.
Definice
Konečně, když dobře rozumíme geometrické základně, můžeme přejít k definici sinusu, kosinu a tangens úhlu.
Sinus úhlu je poměr protější větve (tj. strany protilehlé požadovanému úhlu) k přeponě. Kosinus úhlu je poměr přilehlé větve k přeponě.
Pamatujte si, že ani sinus ani kosinus nemohou být větší než jedna! Proč?Protože přepona je standardně nejdelší stranou pravoúhlého trojúhelníku. Bez ohledu na to, jak je noha dlouhá, bude kratší než přepona, což znamená, že jejich poměr bude vždy menší než jedna. Pokud tedy v odpovědi na problém dostanete sinus nebo kosinus s hodnotou větší než 1, hledejte chybu ve výpočtech nebo uvažování. Tato odpověď je zjevně špatná.
Konečně, tangens úhlu je poměr protilehlé strany k sousední straně. Stejný výsledek poskytne dělení sinusu kosinusem. Podívejte se: podle vzorce vydělíme délku strany přeponou, poté vydělíme délkou druhé strany a vynásobíme přeponou. Dostaneme tedy stejný poměr jako v definici tečny.
Kotangens je poměr strany přiléhající k rohu k opačné straně. Stejný výsledek dostaneme vydělením jednotky tečnou.
Zvážili jsme tedy definice toho, co je sinus, kosinus, tangens a kotangens, a můžeme se zabývat vzorci.
Jednoduché vzorce
V trigonometrii se bez vzorců neobejdete – jak bez nich najít sinus, kosinus, tangens, kotangens? Ale to je přesně to, co je vyžadováno při řešení problémů.
První vzorec, který potřebujete znát, když začínáte studovat trigonometrii, říká, že součet druhých mocnin sinu a kosinu úhlu je roven jedné. Tento vzorec je přímým důsledkem Pythagorovy věty, ale šetří čas, pokud potřebujete zjistit hodnotu úhlu, nikoli strany.
Mnoho studentů si nepamatuje druhý vzorec, také velmioblíbené při řešení školních úloh: součet jedné a druhé mocniny tečny úhlu se rovná jedné dělené druhou mocninou kosinusu úhlu. Podívejte se blíže: vždyť jde o stejné tvrzení jako v prvním vzorci, pouze obě strany identity byly rozděleny druhou mocninou kosinusu. Ukazuje se, že jednoduchá matematická operace změní goniometrický vzorec zcela k nepoznání. Pamatujte: s vědomím, co je sinus, kosinus, tangens a kotangens, s pravidly převodu a několika základními vzorci, můžete kdykoli nezávisle odvodit požadované složitější vzorce na kus papíru.
Vzorce se dvěma úhly a přidání argumentů
Dva další vzorce, které je třeba se naučit, souvisí s hodnotami sinus a kosinus pro součet a rozdíl úhlů. Jsou znázorněny na obrázku níže. Vezměte prosím na vědomí, že v prvním případě se sinus a kosinus násobí oba časy a ve druhém případě se sčítá párový součin sinu a kosinusu.
Existují také vzorce spojené s argumenty dvojitého úhlu. Jsou zcela odvozeny od předchozích - v praxi je zkuste získat sami, přičemž úhel alfa se rovná úhlu beta.
Nakonec si všimněte, že vzorce pro dvojitý úhel lze převést, aby se snížil stupeň sinusu, kosinusu, tečny alfa.
Věty
Dvě hlavní věty v základní trigonometrii jsou sinusová a kosinová. S pomocí těchto teorémů můžete snadno pochopit, jak najít sinus, kosinus a tangens, a tedy oblast obrázku a velikostkaždá strana atd.
Sinusová věta říká, že jako výsledek dělení délky každé ze stran trojúhelníku hodnotou opačného úhlu dostaneme stejné číslo. Navíc se toto číslo bude rovnat dvěma poloměrům kružnice opsané, tedy kružnice obsahující všechny body daného trojúhelníku.
Kosinová věta zobecňuje Pythagorovu větu a promítá ji na libovolné trojúhelníky. Ukazuje se, že od součtu čtverců dvou stran odečtěte jejich součin, vynásobený dvojitým kosinusem úhlu, který k nim přiléhá - výsledná hodnota se bude rovnat čtverci třetí strany. Pythagorova věta se tedy ukazuje jako speciální případ kosinové věty.
Chyby způsobené nepozorností
I když víme, co je sinus, kosinus a tangens, je snadné udělat chybu kvůli roztržitosti nebo chybě v nejjednodušších výpočtech. Abyste se vyhnuli takovým chybám, pojďme se podívat na ty nejoblíbenější.
Především nepřevádějte běžné zlomky na desetinná místa, dokud nezískáte konečný výsledek – odpověď můžete ponechat jako společný zlomek, pokud není v podmínce uvedeno jinak. Takovou transformaci nelze nazvat chybou, ale je třeba mít na paměti, že v každé fázi úkolu se mohou objevit nové kořeny, které by podle představy autora měly být redukovány. V tomto případě budete ztrácet čas zbytečnými matematickými operacemi. To platí zejména pro hodnoty, jako je odmocnina ze tří nebo dvou, protože se vyskytují v úkolech na každém kroku. Totéž platí pro zaokrouhlování."Ošklivá" čísla.
Dále si všimněte, že kosinová věta platí pro jakýkoli trojúhelník, ale ne pro Pythagorovu větu! Pokud omylem zapomenete odečíst dvojnásobek součinu stran vynásobeného kosinusem úhlu mezi nimi, dostanete nejen zcela špatný výsledek, ale také prokážete naprosté nepochopení předmětu. To je horší než chyba z nedbalosti.
Za třetí, nezaměňujte hodnoty pro úhly 30 a 60 stupňů pro sinus, kosinus, tangens, kotangens. Pamatujte si tyto hodnoty, protože sinus 30 stupňů se rovná kosinu 60 a naopak. Je snadné je smíchat a nevyhnutelně dostanete chybný výsledek.
Aplikace
Mnoho studentů se studiem trigonometrie nijak nespěchá, protože nerozumí jejímu aplikovanému významu. Co je sinus, kosinus, tangens pro inženýra nebo astronoma? Jde o koncepty, díky kterým můžete vypočítat vzdálenost ke vzdáleným hvězdám, předpovědět pád meteoritu, poslat výzkumnou sondu na jinou planetu. Bez nich není možné postavit budovu, navrhnout auto, vypočítat zatížení povrchu nebo trajektorii objektu. A to jsou jen ty nejviditelnější příklady! Koneckonců, trigonometrie v té či oné formě se používá všude, od hudby po medicínu.
Na závěr
Takže víte, co je sinus, kosinus, tangens. Můžete je použít při výpočtech a úspěšně řešit školní problémy.
Celá pointatrigonometrie je redukována na to, že podle známých parametrů trojúhelníku je nutné dopočítat neznámé. Parametrů je celkem šest: délky tří stran a velikosti tří úhlů. Celý rozdíl v úkolech spočívá v tom, že jsou dána různá vstupní data.
Jak najít sinus, kosinus, tečnu na základě známých délek nohou nebo přepony, teď už víte. Protože tyto pojmy neznamenají nic jiného než poměr a poměr je zlomek, hlavním cílem goniometrické úlohy je najít kořeny obyčejné rovnice nebo soustavy rovnic. A tady vám pomůže obvyklá školní matematika.
