Trojúhelník je nejjednodušší obrazec uzavřený na rovině, který se skládá pouze ze tří vzájemně propojených segmentů. V problémech s geometrií je často nutné určit oblast tohoto obrázku. Co k tomu potřebujete vědět? V článku odpovíme na otázku, jak najít obsah trojúhelníku na třech stranách.
Obecný vzorec
Každý student ví, že obsah trojúhelníku se vypočítá jako součin délky kterékoli z jeho stran - a poloviční výšky - h, snížené na vybranou stranu. Níže je odpovídající vzorec: S=ah/2.
Tento výraz lze použít, pokud jsou známy alespoň dvě strany a hodnota úhlu mezi nimi. V tomto případě lze výšku h snadno vypočítat pomocí goniometrických funkcí, jako je sinus. Ale ne každý ví, jak najít oblast na třech stranách trojúhelníku.
Heronův vzorec
Tento vzorec je odpovědí na otázku jaktři strany najdou oblast trojúhelníku. Než to zapíšeme, označme délky úseček libovolného obrazce jako a, b a c. Heronův vzorec je napsán následovně: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Kde p je polovina obvodu obrázku, tj.: p=(a+b+c)/2.
Přes zdánlivou těžkopádnost je výše uvedený výraz pro oblast S snadno zapamatovatelný. Chcete-li to provést, musíte nejprve vypočítat půlobvod trojúhelníku, poté od něj odečíst jednu délku strany obrázku, vynásobit všechny získané rozdíly a samotný půlobvod. Nakonec vezměte druhou odmocninu produktu.
Tento vzorec je pojmenován po Heronovi Alexandrijském, který žil na počátku našeho letopočtu. Moderní historie věří, že to byl tento filozof, kdo jako první použil tento výraz, aby provedl odpovídající výpočty. Tento vzorec je zveřejněn v jeho Metrici, která se datuje do roku 60 našeho letopočtu. Všimněte si, že některá díla Archiméda, který žil o dvě století dříve než Heron, obsahují známky toho, že řecký filozof již tento vzorec znal. Navíc staří Číňané také věděli, jak najít oblast trojúhelníku, když znali tři strany.
Je důležité poznamenat, že problém lze vyřešit i bez znalosti existence Heronova vzorce. Chcete-li to provést, nakreslete do trojúhelníku několik výšek a použijte obecný vzorec z předchozího odstavce a sestavte příslušný systém rovnic.
Heronův výraz lze použít k výpočtu ploch libovolných polygonů po jejich rozdělení natrojúhelníky a výpočet délek výsledných úhlopříček.
Příklad řešení problému
Když víme, jak najít oblast trojúhelníku na třech stranách, upevníme své znalosti vyřešením následujícího problému. Nechť strany obrázku jsou 5 cm, 4 cm a 3 cm. Najděte oblast.
Tři strany trojúhelníku jsou známé, takže můžete použít Heronův vzorec. Vypočítáme půlobvod a potřebné rozdíly, máme:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1cm;
- p-b=2 cm;
- p-c=3 cm.
Pak dostaneme plochu: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
Trojúhelník uvedený v podmínce úlohy je pravoúhlý, což lze snadno ověřit, pokud použijete Pythagorovu větu. Protože plocha takového trojúhelníku je polovinou součinu nohou, dostaneme: S=43/2=6 cm2.
Výsledná hodnota je stejná jako u Heronova vzorce, což potvrzuje platnost druhého.
