Bertrandův paradox je problémem klasické interpretace teorie pravděpodobnosti. Joseph to představil ve svém díle Calcul des probabilités (1889) jako příklad toho, že pravděpodobnosti nelze dobře definovat, pokud mechanismus nebo metoda vytváří náhodnou proměnnou.
Problémové prohlášení
Bertrandův paradox je následující.
Nejprve zvažte rovnostranný trojúhelník vepsaný do kruhu. V tomto případě je průměr zvolen náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že je delší než strana trojúhelníku?
Bertrand uvedl tři argumenty, z nichž všechny se zdají být správné, ale dávají různé výsledky.
Metoda náhodného koncového bodu
Musíte vybrat dvě místa na kruhu a nakreslit je spojující oblouk. Pro výpočet je uvažován Bertrandův pravděpodobnostní paradox. Je třeba si představit, že trojúhelník je natočen tak, aby jeho vrchol splýval s jedním z koncových bodů tětivy. Stojí za to zaplatitvšimněte si, že pokud je druhá část na oblouku mezi dvěma místy, je kruh delší než strana trojúhelníku. Délka oblouku je jedna třetina kruhu, takže pravděpodobnost, že náhodná tětiva je delší, je 1/3.
Metoda výběru
Je nutné vybrat poloměr kružnice a bod na ní. Poté musíte přes toto místo postavit tětivu kolmo k průměru. Abychom vypočítali uvažovaný paradox Bertranda teorie pravděpodobnosti, musíme si představit, že trojúhelník je otočen tak, že strana je kolmá k poloměru. Tětiva je delší než noha, pokud je vybraný bod blíže středu kruhu. A v tomto případě strana trojúhelníku půlí poloměr. Proto pravděpodobnost, že tětiva je delší než strana vepsaného obrazce, je 1/2.
Náhodné akordy
Metoda středního bodu. Je potřeba vybrat místo na kruhu a vytvořit tětivu s daným středem. Osa je delší než hrana vepsaného trojúhelníku, pokud je vybrané místo uvnitř soustředného kruhu o poloměru 1/2. Plocha menšího kruhu je jedna čtvrtina většího obrázku. Proto je pravděpodobnost náhodného tětivy delší než strana vepsaného trojúhelníku a rovná se 1/4.
Jak je uvedeno výše, metody výběru se liší v hmotnosti, kterou dávají určitým tětivám, což jsou průměry. V metodě 1 lze každou tětivu vybrat přesně jedním způsobem, ať už se jedná o průměr nebo ne.
V metodě 2 lze každou přímku vybrat dvěma způsoby. Zatímco jakýkoli jiný akord bude vybránpouze jedna z možností.
V metodě 3 má každý výběr středního bodu jeden parametr. Kromě středu kružnice, který je středem všech průměrů. Těmto problémům se lze vyhnout „uspořádáním“všech otázek tak, aby byly vyloučeny parametry, aniž by to ovlivnilo výsledné pravděpodobnosti.
Vybrané metody lze také zobrazit následovně. Tětiva, která není průměrem, je jednoznačně identifikována svým středem. Každá ze tří výše uvedených selekčních metod vytváří odlišnou distribuci středu. A možnosti 1 a 2 poskytují dva různé nejednotné oddíly, zatímco metoda 3 poskytuje jednotné rozdělení.
Klasický paradox řešení Bertrandova problému závisí na metodě, kterou je akord vybrán „náhodně“. Ukazuje se, že pokud je předem specifikována metoda náhodného výběru, má problém dobře definované řešení. Je to proto, že každá jednotlivá metoda má své vlastní rozložení akordů. Tři rozhodnutí uvedená Bertrandem odpovídají různým způsobům výběru a při absenci dalších informací není důvod upřednostňovat jedno před druhým. Uvedený problém tedy nemá jediné řešení.
Příkladem, jak učinit obecnou odpověď jedinečnou, je zadat, že koncové body tětivy jsou rovnoměrně rozmístěny mezi 0 a c, kde c je obvod kruhu. Toto rozdělení je stejné jako v prvním Bertrandově argumentu a výsledná jedinečná pravděpodobnost bude 1/3.
Tento paradox Bertranda Russella a další unikáty klasikyinterpretace možností ospravedlňují přísnější formulace. Včetně frekvence pravděpodobnosti a subjektivistické bayesovské teorie.
Co je základem Bertrandova paradoxu
V roce 1973 ve svém článku „The Well-posed Problem“Edwin Jaynes nabídl své jedinečné řešení. Poznamenal, že Bertrandův paradox je založen na premise založené na principu „maximální nevědomosti“. To znamená, že byste neměli používat žádné informace, které nejsou uvedeny v prohlášení o problému. Jaynes poukázal na to, že Bertrandův problém neurčuje polohu ani velikost kruhu. A tvrdil, že proto každé definitivní a objektivní rozhodnutí musí být „lhostejné“k velikosti a poloze.
Pro ilustraci
Za předpokladu, že jsou všechny akordy umístěny náhodně na 2 cm kruhu, nyní na něj musíte z dálky házet brčka.
Pak je třeba vzít další kruh s menším průměrem (například 1 centimetr), který se vejde do větší postavy. Pak by rozložení akordů na tomto menším kruhu mělo být stejné jako na tom maximálním. Pokud se druhá postava také pohybuje uvnitř první, pravděpodobnost by se v zásadě měnit neměla. Je velmi snadné vidět, že pro metodu 3 dojde k následující změně: rozložení akordů na malém červeném kruhu bude kvalitativně odlišné od rozložení na velkém kruhu.
Totéž platí pro metodu 1. I když je to hůře vidět v grafickém zobrazení.
Metoda 2 je jedinácož se ukáže jako měřítko i překladový invariant.
Metoda číslo 3 se zdá být jednoduše rozšiřitelná.
Metoda 1 není ani jedno.
Janes však nepoužívala invarianty snadno k přijetí nebo odmítnutí těchto metod. To by ponechalo možnost, že existuje další nepopsaná metoda, která by odpovídala svým aspektům rozumného významu. Jaynes použil integrální rovnice popisující invariance. K přímému určení rozdělení pravděpodobnosti. V jeho problému mají integrální rovnice skutečně jedinečné řešení, a to je přesně to, čemu se říká druhá metoda náhodného poloměru výše.
V článku z roku 2015 Alon Drory tvrdí, že Jaynesův princip může také přinést dvě další Bertrandova řešení. Autor ujišťuje, že matematická implementace výše uvedených vlastností invariance není jedinečná, ale závisí na základním postupu náhodného výběru, který se člověk rozhodne použít. Ukazuje, že každé ze tří Bertrandových řešení lze získat pomocí rotační, škálovací a translační invariance. Zároveň dochází k závěru, že Jaynesův princip podléhá výkladu stejně jako samotný způsob lhostejnosti.
Fyzikální experimenty
Metoda 2 je jediné řešení, které splňuje transformační invarianty, které jsou přítomné ve specifických fyziologických konceptech, jako je statistická mechanika a struktura plynu. Také v navrhovanémJanesin experiment házení brčka z malého kruhu.
Lze však navrhnout další praktické experimenty, které poskytnou odpovědi podle jiných metod. Chcete-li například dospět k řešení první metody náhodného koncového bodu, můžete připojit čítač do středu oblasti. A nechte výsledky dvou nezávislých rotací zvýraznit konečná místa akordu. Abychom dospěli k řešení třetí metody, můžeme kruh pokrýt například melasou a označit první bod, na kterém muška přistane, jako střední tětivu. Několik kontemplátorů vytvořilo studie k vyvození různých závěrů a empiricky potvrdili výsledky.
Poslední události
Ve svém článku z roku 2007 „The Bertrand Paradox and the Infference Principle“Nicholas Shackel tvrdí, že po více než století zůstává problém stále nevyřešen. Dále vyvrací zásadu lhostejnosti. Kromě toho Darrell R. Robottom ve svém dokumentu z roku 2013 „The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical“ukazuje, že všechna navrhovaná rozhodnutí nemají nic společného s jeho vlastní otázkou. Ukázalo se tedy, že řešení paradoxu bude mnohem obtížnější, než se dříve myslelo.
Shackel zdůrazňuje, že dosud se mnoho vědců a lidí daleko od vědy pokusilo vyřešit Bertrandův paradox. Stále se překonává pomocí dvou různých přístupů.
Ty, ve kterých byl zvažován rozdíl mezi neekvivalentními problémy a těmi, ve kterých byl problém vždy považován za správný. Shackel cituje Louise ve svých kniháchMarinoff (jako typický představitel strategie diferenciace) a Edwin Jaynes (jako autor dobře promyšlené teorie).
Ve své nedávné práci Solving a Complex Problem se však Diederik Aerts a Massimiliano Sassoli de Bianchi domnívají, že k vyřešení Bertrandova paradoxu je třeba hledat premisy ve smíšené strategii. Podle těchto autorů je prvním krokem vyřešení problému jasným uvedením povahy entity, která je randomizována. A teprve poté, co se to stane, může být jakýkoli problém považován za správný. To si Janes myslí.
Takže k jeho vyřešení lze použít princip maximální nevědomosti. Za tímto účelem, a protože problém nespecifikuje, jak by měl být akord vybrán, princip není aplikován na úrovni různých možností, ale na mnohem hlubší úrovni.
Výběr dílů
Tato část problému vyžaduje výpočet metaprůměru ze všech možných způsobů, který autoři nazývají univerzální průměr. K tomu používají metodu diskretizace. Inspirováno tím, co se dělá při definování zákona pravděpodobnosti ve Wienerových procesech. Jejich výsledek je v souladu s numerickým důsledkem Jaynese, ačkoli jejich dobře položený problém se liší od problému původního autora.
V ekonomii a obchodu popisuje Bertrandův paradox, pojmenovaný po svém tvůrci Josephu Bertrandovi, situaci, kdy dva hráči (firmy) dosáhnou Nashovy rovnováhy. Když obě firmy stanoví cenu rovnou mezním nákladům(MS).
Bertrandův paradox je založen na předpokladu. Spočívá v tom, že v modelech, jako je Cournotova konkurence, je nárůst počtu firem spojen s konvergencí cen s mezními náklady. V těchto alternativních modelech je Bertrandův paradox v oligopolu malého počtu firem, které získávají kladné zisky účtováním cen nad náklady.
Pro začátek stojí za to předpokládat, že dvě firmy A a B prodávají homogenní produkt, z nichž každá má stejné výrobní a distribuční náklady. Z toho vyplývá, že kupující si vybírají produkt pouze na základě ceny. To znamená, že poptávka je nekonečně cenově elastická. Ani A, ani B nenastaví vyšší cenu než ostatní, protože by to způsobilo kolaps celého Bertrandova paradoxu. Jeden z účastníků trhu ustoupí svému konkurentovi. Pokud stanoví stejnou cenu, společnosti se podělí o zisk.
Na druhou stranu, pokud nějaká firma byť jen nepatrně sníží cenu, získá celý trh a výrazně vyšší výnos. Protože to A a B vědí, budou se každý snažit podbízet konkurenta, dokud se produkt neprodá s nulovým ekonomickým ziskem.
Nedávná práce ukázala, že v Bertrandově smíšeném strategickém paradoxu může existovat další rovnováha s pozitivními ekonomickými zisky za předpokladu, že monopolní součet je nekonečný. V případě konečného zisku se ukázalo, že pozitivní nárůst v rámci cenové konkurence je nemožný ve smíšené rovnováze a dokonce ani v obecnějším případěkorelované systémy.
Ve skutečnosti je Bertrandův paradox v ekonomii v praxi vidět jen zřídka, protože skutečné produkty se téměř vždy odlišují jiným způsobem než cenou (například přeplácením etikety). Firmy mají omezenou schopnost vyrábět a distribuovat. To je důvod, proč mají dvě firmy jen zřídka stejné náklady.
Bertrandův výsledek je paradoxní, protože pokud se počet firem zvýší z jedné na dvě, cena klesne z monopolu na konkurenční a zůstane na stejné úrovni jako počet firem, které se poté zvýší. To není příliš realistické, protože ve skutečnosti trhy s malým počtem firem s tržní silou mají tendenci účtovat ceny nad mezní náklady. Empirická analýza ukazuje, že většina odvětví se dvěma konkurenty vytváří kladné zisky.
V moderním světě se vědci snaží najít řešení paradoxu, která jsou více v souladu s Cournotovým modelem konkurence. Kde dvě firmy na trhu dosahují kladných zisků, které jsou někde mezi dokonale konkurenční a monopolní úrovní.
Některé důvody, proč Bertrandův paradox přímo nesouvisí s ekonomikou:
- Omezení kapacity. Někdy firmy nemají dostatečnou kapacitu k uspokojení veškeré poptávky. Tento bod poprvé vznesl Francis Edgeworth a dal vzniknout modelu Bertrand-Edgeworth.
- Celočíselné ceny. Ceny nad MC jsou vyloučeny, protože jedna firma může náhodně podbízet druhou.malé množství. Pokud jsou ceny diskrétní (například musí mít celočíselné hodnoty), pak jedna firma musí podbízet druhou alespoň o jeden rubl. To znamená, že hodnota drobné měny je nad MC. Pokud jiná firma nastaví cenu vyšší, jiná firma ji může snížit a ovládnout celý trh, právě v tom spočívá Bertrandův paradox. Nepřinese jí to žádný zisk. Tento podnik bude upřednostňovat sdílení prodeje 50/50 s jinou firmou a získá čistě kladné příjmy.
- Rozlišení produktů. Pokud se produkty různých firem od sebe liší, spotřebitelé nemusí zcela přejít na produkty s nižší cenou.
- Dynamická soutěž. Opakovaná interakce nebo opakovaná cenová konkurence může vést k rovnováze hodnoty.
- Více položek za vyšší částku. To vyplývá z opakované interakce. Pokud jedna společnost nastaví cenu o něco výše, získá stále zhruba stejný počet nákupů, ale větší zisk na položku. Druhá společnost proto zvýší své přirážky atd. (Pouze při přehrávání, jinak jde dynamika opačným směrem).
oligopoly
Pokud se dvě společnosti mohou dohodnout na ceně, je v jejich dlouhodobém zájmu dohodu dodržet: výnosy ze snížení hodnoty jsou menší než dvojnásobek výnosů z dodržování dohody a potrvají pouze do doby, než druhá firma sníží své vlastní ceny.
Teoriepravděpodobnosti (stejně jako zbytek matematiky) jsou ve skutečnosti vynálezem poslední doby. A vývoj nebyl hladký. První pokusy o formalizaci počtu pravděpodobnosti učinil markýz de Laplace, který navrhl definovat koncept jako poměr počtu událostí vedoucích k výsledku.
To má samozřejmě smysl pouze tehdy, je-li počet všech možných událostí konečný. A kromě toho jsou všechny události stejně pravděpodobné.
V té době se tedy zdálo, že tyto koncepty nemají žádný pevný základ. Pokusy rozšířit definici na případ nekonečného počtu událostí vedly k ještě větším potížím. Bertrandův paradox je jedním z takových objevů, který přiměl matematiky k opatrnosti vůči celému konceptu pravděpodobnosti.
