Schopnost pracovat s číselnými výrazy obsahujícími druhou odmocninu je nezbytná pro úspěšné řešení řady problémů z OGE a USE. Při těchto zkouškách obvykle postačí základní pochopení toho, co je extrakce kořenů a jak se provádí v praxi.
Definice
N-tá odmocnina čísla X je číslo x, pro které platí rovnost: xn =X.
Nalezení hodnoty výrazu s odmocninou znamená nalezení x daného X a n.
Odmocnina nebo, což je totéž, druhá odmocnina z X - číslo x, pro které je splněna rovnost: x2 =X.
Označení: ∛Х. Zde 3 je stupeň kořene, X je kořenový výraz. Znak '√' se často nazývá radikál.
Pokud číslo nad kořenem neoznačuje stupeň, pak je výchozím nastavením stupeň 2.
Ve školním kurzu pro sudé stupně se obvykle nebere v úvahu negativní kořeny a radikální výrazy. Například neexistuje√-2 a pro výraz √4 je správná odpověď 2, přestože (-2)2 se také rovná 4.
Racionalita a iracionalita kořenů
Nejjednodušším možným úkolem s kořenem je najít hodnotu výrazu nebo jej otestovat na racionalitu.
Vypočítejte například hodnoty √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5, protože 52 =25;
- ∛8=2 protože 23 =8;
- ∛ - 125=-5 od (-5)3 =-125.
Odpovědi v uvedených příkladech jsou racionální čísla.
Při práci s výrazy, které neobsahují doslovné konstanty a proměnné, se doporučuje vždy provést takovou kontrolu pomocí inverzní operace zvýšení na přirozenou mocninu. Nalezení čísla x na n-tou mocninu je ekvivalentní výpočtu součinu n faktorů x.
Existuje mnoho výrazů s odmocninou, jejichž hodnota je iracionální, tj. zapsaná jako nekonečný neperiodický zlomek.
Podle definice jsou racionální čísla ta, která lze vyjádřit jako společný zlomek, a iracionální jsou všechna ostatní reálná čísla.
Mezi ně patří √24, √0, 1, √101.
Pokud kniha úloh říká: najděte hodnotu výrazu s odmocninou 2, 3, 5, 6, 7 atd., tedy z těch přirozených čísel, která nejsou obsažena v tabulce čtverců, pak je správná odpověď √ Může být přítomno 2 (pokud není uvedeno jinak).
Posuzování
V problémech sotevřená odpověď, pokud není možné najít hodnotu výrazu s odmocninou a zapsat jej jako racionální číslo, výsledek by měl být ponechán jako radikál.
Některé úkoly mohou vyžadovat hodnocení. Porovnejte například 6 a √37. Řešení vyžaduje umocnění obou čísel a porovnání výsledků. Ze dvou čísel je to, jehož čtverec je větší, větší. Toto pravidlo funguje pro všechna kladná čísla:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- znamená √37 > 6.
Stejným způsobem se řeší problémy, ve kterých musí být několik čísel uspořádáno vzestupně nebo sestupně.
Příklad: Uspořádejte 5, √6, √48, √√64 vzestupně.
Po umocnění máme: 25, 6, 48, √64. Dalo by se znovu odmocnit všechna čísla a porovnat je s √64, ale to se rovná racionálnímu číslu 8. 6 < 8 < 25 < 48, takže řešení je: 48.
Zjednodušení výrazu
Stává se, že není možné najít hodnotu výrazu s odmocninou, takže je třeba to zjednodušit. K tomu pomáhá následující vzorec:
√ab=√a√b.
Odmocnina součinu dvou čísel se rovná součinu jejich odmocnin. Tato operace bude také vyžadovat schopnost faktorizovat číslo.
V počáteční fázi se pro urychlení práce doporučuje mít po ruce tabulku prvočísel a čtverců. Tyto tabulky s častýmpoužití v budoucnu bude zapamatováno.
Například √242 je iracionální číslo, můžete ho převést takto:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Výsledek se obvykle zapisuje jako 11√2 (čti: jedenáct odmocnin ze dvou).
Pokud je obtížné okamžitě zjistit, na které dva faktory je třeba číslo rozložit, aby bylo možné z jednoho z nich extrahovat přirozený kořen, můžete použít úplný rozklad na prvočinitele. Vyskytne-li se stejné prvočíslo v rozšíření dvakrát, je vyjmuto z kořenového znaménka. Pokud existuje mnoho faktorů, můžete extrahovat kořen v několika krocích.
Příklad: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Číslo 2 se v rozšíření vyskytuje 2krát (ve skutečnosti více než dvakrát, ale stále nás zajímají první dva výskyty v rozšíření).
Vyjímáme to pod kořenovým znakem:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√ (2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Opakujte stejnou akci:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√ (2 × 3 × 5 × 5).
Ve zbývajícím radikálním výrazu se 2 a 3 vyskytují jednou, takže zbývá vyjmout faktor 5:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√ (2 × 3);
a provádět aritmetické operace:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Takže dostáváme √2400=20√6.
Pokud úkol výslovně neuvádí: „najít hodnotu výrazu s odmocninou“, pak volba,v jaké formě ponechat odpověď (zda extrahovat kořen zpod radikálu) zůstává na studentovi a může záviset na řešeném problému.
Zpočátku jsou kladeny vysoké požadavky na návrh úloh, výpočet, včetně ústního nebo písemného, bez použití technických prostředků.
Pouze po dobrém zvládnutí pravidel pro práci s iracionálními číselnými výrazy má smysl přejít k obtížnějším doslovným výrazům a k řešení iracionálních rovnic a počítání rozsahu možných hodnot výrazu pod radikální.
S tímto typem problému se studenti setkávají u jednotné státní zkoušky z matematiky a také v prvním ročníku specializovaných univerzit při studiu matematické analýzy a příbuzných oborů.
