Nauka funkcí a jejich grafů je téma, kterému je v rámci středoškolského kurikula věnována zvláštní pozornost. Některé základy matematické analýzy - diferenciace - jsou součástí profilové úrovně zkoušky z matematiky. Někteří školáci mají s tímto tématem problémy, protože si pletou grafy funkce a derivace a také zapomínají na algoritmy. Tento článek se bude zabývat hlavními typy úkolů a jejich řešením.
Jaká je hodnota funkce?
Matematická funkce je speciální rovnice. Vytváří vztah mezi čísly. Funkce závisí na hodnotě argumentu.
Hodnota funkce se vypočítá podle daného vzorce. Chcete-li to provést, nahraďte libovolný argument, který odpovídá rozsahu platných hodnot v tomto vzorci, místo x a proveďte potřebné matematické operace. Co?
Jak můžete najít nejmenší hodnotu funkce,pomocí funkce grafu?
Grafické znázornění závislosti funkce na argumentu se nazývá graf funkce. Je postaven na rovině s určitým jednotkovým segmentem, kde je hodnota proměnné nebo argumentu vynesena podél vodorovné vodorovné osy a odpovídající funkční hodnota podél svislé osy pořadnice.
Čím větší je hodnota argumentu, tím více vpravo leží v grafu. A čím větší je hodnota samotné funkce, tím vyšší je bod.
Co to říká? Nejmenší hodnota funkce bude bod, který leží na grafu nejníže. Abyste ji našli v segmentu grafu, potřebujete:
1) Najděte a označte konce tohoto segmentu.
2) Vizuálně určete, který bod na tomto segmentu leží nejníže.
3) V odpovědi zapište jeho číselnou hodnotu, kterou lze určit promítnutím bodu na osu y.
Extrémní body na derivačním grafu. Kde hledat?
Při řešení problémů však někdy není dán graf funkce, ale její derivace. Abyste náhodou neudělali hloupou chybu, je lepší si podmínky pečlivě přečíst, protože záleží na tom, kde potřebujete hledat extrémní body.
Derivace je tedy okamžitá rychlost nárůstu funkce. Podle geometrické definice derivace odpovídá sklonu tečny, která je přímo nakreslena k danému bodu.
Je známo, že v extrémních bodech je tečna rovnoběžná s osou Ox. To znamená, že jeho sklon je 0.
Z toho můžeme usoudit, že v extrémních bodech derivace leží na ose x nebo mizí. Ale navíc v těchto bodech funkce mění svůj směr. To znamená, že po období nárůstu začne klesat a derivát se podle toho změní z pozitivního na negativní. Nebo naopak.
Pokud se derivace stane zápornou z kladné, je to maximální bod. Pokud se z negativního stane kladné - minimální bod.
Důležité: pokud potřebujete v úloze určit minimální nebo maximální bod, pak byste jako odpověď měli napsat odpovídající hodnotu podél osy úsečky. Ale pokud potřebujete najít hodnotu funkce, musíte nejprve dosadit odpovídající hodnotu argumentu do funkce a vypočítat ji.
Jak najít extrémní body pomocí derivace?
Uvažované příklady se týkají především úlohy číslo 7 zkoušky, která zahrnuje práci s grafem derivace nebo primitivní funkce. Ale úkol 12 USE - najít nejmenší hodnotu funkce na segmentu (někdy největší) - se provádí bez jakýchkoli výkresů a vyžaduje základní dovednosti v matematické analýze.
Abyste to mohli provést, musíte být schopni najít extrémní body pomocí derivace. Algoritmus pro jejich nalezení je následující:
- Najděte derivaci funkce.
- Nastavte na nulu.
- Najděte kořeny rovnice.
- Zkontrolujte, zda získané body jsou extrémní nebo inflexní body.
To provedete nakreslením diagramu a dálevýsledné intervaly určují znaménka derivace dosazením čísel náležejících k segmentům do derivace. Pokud jste při řešení rovnice dostali kořeny dvojnásobné násobnosti, jedná se o inflexní body.
Pomocí teorémů určete, které body jsou minimální a které maximální
Vypočítejte nejmenší hodnotu funkce pomocí derivace
Po provedení všech těchto akcí však najdeme hodnoty minimálního a maximálního bodu podél osy x. Jak ale najít nejmenší hodnotu funkce na segmentu?
Co je třeba udělat, abyste našli číslo, které odpovídá funkci v určitém bodě? Do tohoto vzorce musíte dosadit hodnotu argumentu.
Body minima a maxima odpovídají nejmenší a největší hodnotě funkce na segmentu. Chcete-li tedy najít hodnotu funkce, musíte funkci vypočítat pomocí získaných hodnot x.
Důležité! Pokud úloha vyžaduje zadání minimálního nebo maximálního bodu, pak byste jako odpověď měli napsat odpovídající hodnotu podél osy x. Pokud ale potřebujete najít hodnotu funkce, musíte nejprve do funkce dosadit odpovídající hodnotu argumentu a provést potřebné matematické operace.
Co mám dělat, pokud v tomto segmentu nejsou žádná minima?
Jak ale najít nejmenší hodnotu funkce na segmentu bez extrémních bodů?
To znamená, že se funkce monotónně snižuje nebo zvyšuje. Potom je potřeba do funkce dosadit hodnotu krajních bodů tohoto segmentu. Existují dva způsoby.
1) Po výpočtuderivace a intervaly, na kterých je kladná nebo záporná, k závěru, zda funkce na daném segmentu klesá nebo roste.
V souladu s nimi dosaďte do funkce větší nebo menší hodnotu argumentu.
2) Jednoduše dosaďte oba body do funkce a porovnejte výsledné hodnoty funkce.
V jakých úkolech je hledání derivace volitelné
Zpravidla v přiřazeních USE stále musíte najít derivát. Existuje pouze několik výjimek.
1) Parabola.
Vrchol paraboly se najde podle vzorce.
Pokud je < 0, pak větve paraboly směřují dolů. A jeho vrchol je maximální bod.
Pokud je > 0, pak větve paraboly směřují nahoru, vrchol je minimální bod.
Po výpočtu vrcholu paraboly byste měli její hodnotu dosadit do funkce a vypočítat odpovídající hodnotu funkce.
2) Funkce y=tg x. Nebo y=ctg x.
Tyto funkce se monotónně zvyšují. Čím větší je tedy hodnota argumentu, tím větší je hodnota samotné funkce. Dále se podíváme na to, jak najít největší a nejmenší hodnotu funkce na segmentu s příklady.
Hlavní typy úkolů
Task: největší nebo nejmenší hodnota funkce. Příklad na grafu.
Na obrázku vidíte graf derivace funkce f (x) na intervalu [-6; 6]. V jakém bodě segmentu [-3; 3] f(x) má nejmenší hodnotu?
Pro začátek byste tedy měli vybrat určený segment. Na něm funkce jednou nabude nulové hodnoty a změní své znaménko - to je bod extrému. Protože derivace ze záporu se stává kladnou, znamená to, že se jedná o minimální bod funkce. Tento bod odpovídá hodnotě argumentu 2.
Odpověď: 2.
Pokračujte v prohlížení příkladů. Úkol: najděte největší a nejmenší hodnotu funkce v segmentu.
Najděte nejmenší hodnotu funkce y=(x - 8) ex-7 na intervalu [6; 8].
1. Vezměte derivaci komplexní funkce.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Přirovnejte výslednou derivaci k nule a vyřešte rovnici.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x – 7=0 nebo ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, bez kořenů
3. Dosaďte do funkce hodnotu krajních bodů a také získané kořeny rovnice.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Odpověď: -1.
V tomto článku se tedy zabývala hlavní teorií, jak najít nejmenší hodnotu funkce na segmentu, která je nezbytná pro úspěšné řešení USE úloh ve specializované matematice. Také prvky matematikyanalýzy se používají při řešení úloh z části C zkoušky, ale zjevně představují jinou úroveň složitosti a algoritmy jejich řešení je obtížné začlenit do rámce jednoho materiálu.
