Na střední škole po prostudování vlastností obrazců v rovině přejdou k úvahám o prostorových geometrických objektech, jako jsou hranoly, koule, jehlany, válce a kužely. V tomto článku poskytneme nejúplnější popis přímého trojúhelníkového hranolu.
Co je to trojúhelníkový hranol?
Začněme článek definicí postavy, o které se bude dále diskutovat. Hranol z hlediska geometrie je obrazec v prostoru tvořený dvěma stejnými n-úhelníky umístěnými v rovnoběžných rovinách, jejichž stejné úhly jsou spojeny úsečkami. Tyto segmenty se nazývají boční žebra. Spolu se stranami základny tvoří boční plochu, která je obecně reprezentována rovnoběžníky.
Základem obrázku jsou dva n-úhelníky. Pokud jsou boční hrany k nim kolmé, pak hovoří o rovném hranolu. Pokud je tedy počet stran n mnohoúhelníku na základnách tři, pak se takový obrazec nazývá trojúhelníkový hranol.
Trojúhelníkový rovný hranol je zobrazen výše na obrázku. Tento obrazec se také nazývá pravidelný, protože jeho základny jsou rovnostranné trojúhelníky. Délka bočního okraje obrázku, označená na obrázku písmenem h, se nazývá jeho výška.
Obrázek ukazuje, že hranol s trojúhelníkovou základnou je tvořen pěti plochami, z nichž dvě jsou rovnostranné trojúhelníky a tři jsou totožné obdélníky. Kromě čel má hranol šest vrcholů na základnách a devět hran. Počty uvažovaných prvků spolu souvisí podle Eulerovy věty:
počet hran=počet vrcholů + počet stran - 2.
Plocha pravého trojúhelníkového hranolu
Výše jsme zjistili, že dotyčný obrazec je tvořen pěti plochami dvou typů (dva trojúhelníky, tři obdélníky). Všechny tyto plochy tvoří celý povrch hranolu. Jejich celková plocha je plocha obrázku. Níže je rozvinutý trojúhelníkový hranol, který lze získat nejprve odříznutím dvou podstav z obrázku a poté řezáním podél jedné hrany a rozvinutím boční plochy.
Uveďme vzorce pro určení plochy povrchu tohoto tažení. Začněme podstavami pravého trojúhelníkového hranolu. Protože představují trojúhelníky, oblast S3 každého z nich lze nalézt následovně:
S3=1/2aha.
Zde a je strana trojúhelníku, ha je výška snížená od vrcholu trojúhelníku na tuto stranu.
Pokud je trojúhelník rovnostranný (pravidelný), pak vzorec pro S3závisí pouze na jednom parametru a. Vypadá to takto:
S3=√3/4a2.
Tento výraz lze získat uvažováním pravoúhlého trojúhelníku tvořeného úsečkami a, a/2, ha.
Plocha základen So pro normální číslo je dvojnásobkem hodnoty S3:
So=2S3=√3/2a2.
Pokud jde o boční povrch Sb, není těžké ji vypočítat. K tomu stačí vynásobit třemi plochami jednoho obdélníku tvořeného stranami a a h. Odpovídající vzorec je:
Sb=3ah.
Plochu pravidelného hranolu s trojúhelníkovou základnou tedy zjistíme podle následujícího vzorce:
S=So+ Sb=√3/2a2+ 3 ah.
Pokud je hranol rovný, ale nepravidelný, pak pro výpočet jeho plochy byste měli samostatně sečíst plochy obdélníků, které si nejsou rovné.
Určení objemu obrázku
Objem hranolu je chápán jako prostor ohraničený jeho stranami (čely). Výpočet objemu pravoúhlého trojúhelníkového hranolu je mnohem jednodušší než výpočet jeho povrchové plochy. K tomu stačí znát plochu základny a výšku postavy. Protože výška h rovného obrázku je délkou jeho boční hrany a jak vypočítat základní plochu, uvedli jsme v předchozíbodu, pak zbývá vynásobit tyto dvě hodnoty navzájem, abyste získali požadovaný objem. Vzorec pro to zní:
V=S3h.
Všimněte si, že součin plochy jedné základny a výšky dá objem nejen rovného hranolu, ale také šikmé postavy a dokonce i válce.
Řešení problémů
Skleněné trojúhelníkové hranoly se používají v optice ke studiu spektra elektromagnetického záření v důsledku jevu disperze. Je známo, že běžný skleněný hranol má délku základní strany 10 cm a délku hrany 15 cm. Jakou plochu mají jeho skleněné plochy a jaký objem obsahuje?
K určení oblasti použijeme vzorec napsaný v článku. Máme:
S=√3/2a2+ 3ah=√3/2102 + 3 1015=536,6 cm2.
K určení objemu V používáme také výše uvedený vzorec:
V=S3h=√3/4a2h=√3/410 215=649,5 cm3.
Navzdory tomu, že hrany hranolu jsou dlouhé 10 cm a 15 cm, objem figurky je pouze 0,65 litru (krychle o straně 10 cm má objem 1 litr).
