Koncept hranolu. Objemové vzorce pro hranoly různých typů: pravidelné, přímé a šikmé. Řešení problému

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-17 05:20

Objem je charakteristika každé postavy, která má nenulové rozměry ve všech třech rozměrech prostoru. V tomto článku se z hlediska stereometrie (geometrie prostorových obrazců) podíváme na hranol a ukážeme si, jak zjistit objemy hranolů různých typů.

Co je hranol?

Stereometrie má přesnou odpověď na tuto otázku. Hranolem se v něm rozumí obrazec tvořený dvěma stejnými polygonálními plochami a několika rovnoběžníky. Obrázek níže ukazuje čtyři různé hranoly.

Každý z nich lze získat následovně: musíte vzít mnohoúhelník (trojúhelník, čtyřúhelník atd.) a segment určité délky. Poté by měl být každý vrchol polygonu přenesen pomocí paralelních segmentů do jiné roviny. V nové rovině, která bude rovnoběžná s tou původní, bude získán nový polygon, podobný tomu, který byl vybrán původně.

Hranoly mohou být různých typů. Mohou tedy být rovné, šikmé a správné. Pokud boční hrana hranolu (segment,spojující vrcholy základen) kolmé k základnám obrázku, pak je druhý přímka. Pokud tedy tato podmínka není splněna, pak hovoříme o nakloněném hranolu. Pravidelný obrazec je pravý hranol s rovnoúhlou a rovnostrannou základnou.

Později v článku si ukážeme, jak vypočítat objem každého z těchto typů hranolů.

Objem běžných hranolů

Začněme tím nejjednodušším případem. Uvedeme vzorec pro objem pravidelného hranolu s n-gonální základnou. Objemový vzorec V pro jakýkoli údaj z uvažované třídy je následující:

V=S_oh.

To znamená, že pro určení objemu stačí vypočítat plochu jedné ze základen S_o a vynásobit ji výškou h obrázku.

U pravidelného hranolu označme délku strany jeho podstavy písmenem a a výšku, která se rovná délce boční hrany, písmenem h. Pokud je základna n-úhelníku správná, pak nejsnazší způsob, jak vypočítat její plochu, je použít tento univerzální vzorec:

S=n/4a²ctg(pi/n).

Dosazením hodnoty počtu stran n a délky jedné strany a do rovnosti můžete vypočítat plochu n-gonální základny. Všimněte si, že funkce kotangens je zde vypočítána pro úhel pi/n, který je vyjádřen v radiánech.

Vzhledem k rovnosti zapsané pro S získáme konečný vzorec pro objem pravidelného hranolu:

V=n/4a²hctg(pi/n).

Pro každý konkrétní případ můžete napsat odpovídající vzorce pro V, ale všechnyjednoznačně vyplývají z písemného obecného vyjádření. Například pro pravidelný čtyřboký hranol, což je v obecném případě pravoúhlý hranol, dostaneme:

V₄=4/4a²hctg(pi/4)=a² h.

Pokud v tomto výrazu vezmeme h=a, dostaneme vzorec pro objem krychle.

Objem přímých hranolů

Hned si všimneme, že pro rovné obrazce neexistuje obecný vzorec pro výpočet objemu, který byl uveden výše pro běžné hranoly. Při hledání příslušné hodnoty by měl být použit původní výraz:

V=S_oh.

Zde h je délka boční hrany, jako v předchozím případě. Pokud jde o základní plochu S_o, může nabývat různých hodnot. Úkol výpočtu přímého hranolu objemu se redukuje na nalezení plochy jeho základny.

Výpočet hodnoty S_oby měl být proveden na základě charakteristik samotného základu. Pokud se například jedná o trojúhelník, lze plochu vypočítat takto:

S_o3=1/2ah_a.

Zde h_a je apotém trojúhelníku, to znamená jeho výška snížená na základnu a.

Pokud je základna čtyřúhelník, pak to může být lichoběžník, rovnoběžník, obdélník nebo zcela libovolný typ. Pro všechny tyto případy byste měli k určení oblasti použít vhodný planimetrický vzorec. Například pro lichoběžník vypadá tento vzorec takto:

S_o4=1/2(a₁+ a₂)h _a.

Kde h_a je výška lichoběžníku, a₁ a a₂ jsou délky jeho rovnoběžných stran.

Abyste určili plochu pro mnohoúhelníky vyššího řádu, měli byste je rozdělit na jednoduché tvary (trojúhelníky, čtyřúhelníky) a vypočítat součet jejich ploch.

Tilted Prism Volume

Toto je nejobtížnější případ výpočtu objemu hranolu. Platí také obecný vzorec pro taková čísla:

V=S_oh.

Ke složitosti hledání plochy základny představující libovolný typ polygonu se však přidává problém určení výšky postavy. Je vždy menší než délka boční hrany v nakloněném hranolu.

Nejjednodušší způsob, jak zjistit tuto výšku, je, pokud znáte jakýkoli úhel postavy (plochý nebo dvoustěnný). Pokud je dán takový úhel, pak by se měl použít k sestrojení pravoúhlého trojúhelníku uvnitř hranolu, který by obsahoval výšku h jako jednu ze stran a pomocí goniometrických funkcí a Pythagorovy věty našel hodnotu h.

Problém s geometrickým objemem

Vzhledem k tomu, že pravidelný hranol s trojúhelníkovou základnou má výšku 14 cm a délku strany 5 cm. Jaký je objem trojúhelníkového hranolu?

Protože mluvíme o správném čísle, máme právo použít známý vzorec. Máme:

V₃=3/4a²hctg(pi/3)=3/45²141/√3=√3/42514=151,55 cm³.

Trojúhelníkový hranol je poměrně symetrický obrazec, v jehož podobě se často vytvářejí různé architektonické struktury. Tento skleněný hranol se používá v optice.