Prisma je jednou ze známých postav studovaných v kurzu tělesové geometrie na středních školách. Abyste mohli vypočítat různé charakteristiky pro postavy této třídy, musíte vědět, jaké typy hranolů existují. Pojďme se na tento problém podívat blíže.
Prisma ve stereometrii
Nejprve si definujme zmíněnou třídu figurek. Hranol je jakýkoli mnohostěn sestávající ze dvou paralelních mnohoúhelníkových základen, které jsou vzájemně propojeny rovnoběžníky.
Tento obrázek můžete získat následujícím způsobem: vyberte libovolný polygon na rovině a poté jej přesuňte na délku libovolného vektoru, který nepatří do původní roviny polygonu. Při takovém rovnoběžném pohybu budou strany mnohoúhelníku opisovat boční plochy budoucího hranolu a konečná poloha mnohoúhelníku se stane druhou základnou obrazce. Popsaným způsobem lze získat libovolný typ hranolu. Obrázek níže ukazuje trojúhelníkový hranol.
Jaké jsou typy hranolů?
Jde o klasifikaci tvarůdotyčná třída. Obecně se tato klasifikace provádí s ohledem na vlastnosti polygonální základny a stran obrázku. Obvykle se rozlišují následující tři typy hranolů:
- Přímé a šikmé (šikmé).
- Správné a špatné.
- Konvexní a konkávní.
Prizma kteréhokoli z uvedených typů klasifikace může mít čtyřúhelníkovou, pětiúhelníkovou, …, n-gonální základnu. Pokud jde o typy trojúhelníkového hranolu, lze jej klasifikovat pouze podle prvních dvou zmíněných bodů. Trojúhelníkový hranol je vždy konvexní.
Níže se blíže podíváme na každý z těchto typů klasifikace a uvedeme několik užitečných vzorců pro výpočet geometrických vlastností hranolu (plocha povrchu, objem).
Přímé a šikmé tvary
Na první pohled lze rozeznat přímý hranol od šikmého. Zde je odpovídající obrázek.
Zde jsou zobrazeny dva hranoly (šestihranný vlevo a pětiúhelníkový vpravo). Každý s jistotou řekne, že šestiúhelník je rovný a pětiúhelník je šikmý. Jaký geometrický znak odlišuje tyto hranoly? Samozřejmě typ bočního obličeje.
Přímý hranol, bez ohledu na jeho základnu, všechny plochy jsou obdélníky. Mohou si být rovny, nebo se mohou lišit, důležité je pouze to, že jsou to obdélníky a jejich úhly vzepětí se základnami jsou 90o.
Pokud jde o šikmou postavu, je třeba říci, že všechny nebo některé její boční plochy jsourovnoběžníky, které tvoří nepřímé dihedrální úhly se základnou.
U všech typů rovných hranolů je výškou délka boční hrany, u šikmých postav je výška vždy menší než jejich boční hrany. Znalost výšky hranolu je důležitá při výpočtu jeho povrchu a objemu. Vzorec pro objem je například:
V=Soh
Kde h je výška, So je plocha jedné základny.
Správné a nesprávné hranoly
Jakýkoli hranol je špatný, pokud není rovný nebo jeho základna není správná. Otázka přímých a šikmých hranolů byla diskutována výše. Zde uvažujeme, co znamená výraz „pravidelná polygonální základna“.
Mnohoúhelník je pravidelný, pokud jsou všechny jeho strany stejné (jejich délku označme písmenem a) a všechny jeho úhly jsou si rovny. Příklady pravidelných mnohoúhelníků jsou rovnostranný trojúhelník, čtverec, šestiúhelník se šesti rohy po 120o a tak dále. Plocha jakéhokoli pravidelného n-úhelníku se vypočítá pomocí tohoto vzorce:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Níže je schematické znázornění pravidelných hranolů s trojúhelníkovými, čtvercovými, …, osmibokými základnami.
Pomocí výše uvedeného vzorce pro V můžeme napsat odpovídající výraz pro pravidelné tvary:
V=n/4a2ctg(pi/n)h
Pokud jde o celkovou plochu povrchu, u pravidelných hranolů je tvořena plochami dvoushodné základny a n shodné obdélníky se stranami h a a. Tyto skutečnosti nám umožňují napsat vzorec pro povrchovou plochu jakéhokoli pravidelného hranolu:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nah
Zde první člen odpovídá ploše dvou základen, druhý člen určuje pouze plochu bočního povrchu.
Ze všech typů pravidelných hranolů mají své vlastní názvy pouze čtyřboké hranoly. Pravidelný čtyřboký hranol, ve kterém a≠h, se nazývá pravoúhlý hranol. Pokud má toto číslo a=h, pak mluví o krychli.
Konkávní tvary
Dosud jsme uvažovali pouze o konvexních typech hranolů. Právě jim je věnována hlavní pozornost při studiu uvažované třídy figur. Existují však i konkávní hranoly. Od konvexních se liší tím, že jejich základny jsou konkávní mnohoúhelníky, počínaje čtyřúhelníkem.
Na obrázku jsou například dva konkávní hranoly, které jsou vyrobeny z papíru. Levý v podobě pěticípé hvězdy je desetiboký hranol, pravý v podobě šesticípé hvězdy se nazývá dvanáctihranný konkávní rovný hranol.
